Tekst źródłowy strony Twierdzenia Legendre’a (geometria absolutna)

Twierdzenia Legendre’a – kilka twierdzeń [[geometria absolutna|geometrii absolutnej]] udowodnionych przez [[Adrien-Marie Legendre|Legendre’a]] „przy okazji” jego wieloletnich nieskutecznych prób udowodnienia [[postulat Euklidesa|aksjomatu Euklidesa]] w oparciu o pozostałe aksjomaty [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]]<ref>{{cytuj książkę |autor =Н. В. Ефимов |tytuł =Высшая Геометрия |wydawca =Наука |miejsce =Москва |rok =1978 |strony =21–31 |isbn =}}</ref>.

== Twierdzenia ==
# Jeśli suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to jest spełniony aksjomat Euklidesa.
# W każdym trójkącie suma kątów jest nie większa od [[Kąt|kąta półpełnego]].
# Jeśli suma kątów choć jednego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli jest spełniony aksjomat Euklidesa.
# Jeśli istnieje taki kąt ostry, że prostopadła wystawiona w każdym punkcie jednego z ramion przecina drugie ramię, to jest spełniony aksjomat Euklidesa.
# Jeśli prawdziwa jest hipoteza kąta ostrego dla pewnego [[czworokąt Saccheriego|czworokąta Saccheriego]], to jest ona prawdziwa dla każdego czworokąta Saccheriego.

=== Dowód twierdzenia 1 ===
[[Plik:Legendre 1b.png|thumb|600px|Ilustracja do pierwszego twierdzenia Legendre’a]]
Niech <math>a</math> będzie pewną prostą, a punkt <math>A</math> pewnym punktem leżącym poza tą prostą. Niech <math>AB</math> będzie prostopadłą opuszczoną z punktu <math>A</math> na prostą <math>a</math> (tzn. <math>B</math> leży na prostej <math>a</math>). Prosta <math>a'</math> prostopadła do <math>AB</math> w punkcie <math>A</math> nie przecina prostej <math>a</math> w punkcie <math>C,</math> bo powstały trójkąt <math>ABC,</math> na podstawie [[twierdzenie o kącie zewnętrznym|twierdzenia o kącie zewnętrznym]], miałby [[kąt zewnętrzny]] przy wierzchołku <math>A</math> większy od [[kąt wewnętrzny|kąta wewnętrznego]] przy wierzchołku <math>B,</math> co jest sprzeczne z tym, że oba te kąty są proste. Niech [[półprosta|promień]] <math>b</math> o wierzchołku leży wewnątrz kąta między <math>AB</math> i <math>a'.</math> Tworzy on wtedy z <math>AB</math> kąt ostry <math>\beta.</math>

Niech <math>(B_n)</math> będzie ciągiem punktów prostej <math>a</math> leżących po tej samej stronie prostej <math>AB,</math> co promień <math>b</math> określonym następująco (rysunek):
# <math>|AB| = |BB_1|</math>
# <math>|BB_n| = |AB_{n-1}|</math>

Wtedy trójkąty <math>AB_{n-1}B_n</math> są równoramienne oraz kąt <math>AB_{n-2}B_{n-1}</math> jest kątem zewnętrznym trójkąta <math>AB_{n-1}B_n.</math> Wynika stąd, że
# kąt <math>BAB_1</math> jest równy <math>\frac{\pi}{4},</math>
# kąt <math>BAB_n</math> jest równy <math>\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2^n}.</math>

Istnieje taka najmniejsza liczba naturalna <math>N,</math> że dla każdego <math>n</math> nie mniejszego od <math>N</math>
: <math>\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2^n} > \beta.</math>

Stąd wynika, że promień <math>b</math> leży między promieniem <math>AB_{n-1}</math> i <math>AB_n.</math> Z [[aksjomat Pascha|aksjomatu Pascha]] wynika wtedy, że promień <math>b</math> przecina bok <math>B_{n-1}B_n</math> trójkąta <math>AB_{n-1}B_n,</math> czyli prostą <math>a.</math> Zatem przy założeniu twierdzenia, każda prosta przechodząca przez <math>A</math> różna od <math>a'</math> przecina prostą <math>a.</math> Stąd wynika, że przez punkt poza prostą można poprowadzić dokładnie jedną prostą jej nieprzecinającą, co jest jedną z wersji aksjomatu Euklidesa.

== Zobacz też ==
* [[czworokąt Saccheriego]]
* [[kąt równoległości]]
* [[model Poincarégo]]
* [[prosta pochyła]]
* [[prosta zagradzająca kąt]]
* [[proste nadrównoległe]]
* [[punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej]]
* [[równoległość w geometrii hiperbolicznej]]
* [[trójkąt asymptotyczny]]
* [[trójkąt podwójnie asymptotyczny]]
* [[trójkąt potrójnie asymptotyczny]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Geometria absolutna]]
[[Kategoria:Twierdzenia geometrii]]