Tekst źródłowy strony Trygonometryczne wzory redukcyjne

'''Wzory redukcyjne''' – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] dowolnego [[kąt skierowany|kąta skierowanego]] do obliczenia wartości funkcji dla [[Kąt|kąta ostrego]], a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 90° do 180°

W poniższych wzorach używana jest [[miara łukowa kąta|miara łukowa]] kąta. Korzystając z [[miara kąta|miary stopniowej]] należy w poniższych wzorach podstawić 180° w miejsce π.

== Sinus i cosinus ==
{| class="wikitable" border="1" width="80%" align="center"
|<math>\sin \left(-\alpha\right)=-\sin \alpha</math>
|<math>\cos \left(-\alpha\right)= \cos \alpha</math>
|-
|<math>\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha</math>
|<math>\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha</math>
|-
|<math>\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha</math>
|<math>\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha</math>
|-
|<math>\sin \left(\pi-\alpha\right)=\sin \alpha</math>
|<math>\cos \left(\pi-\alpha\right)=-\cos \alpha</math>
|-
|<math>\sin \left(\pi+\alpha\right)=-\sin \alpha</math>
|<math>\cos \left(\pi+\alpha\right)=-\cos \alpha</math>
|-
|<math>\sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha</math>
|<math>\cos \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin \alpha</math>
|-
|<math>\sin \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos \alpha</math>
|<math>\cos \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha</math>
|-
|<math>\sin \left(2\pi-\alpha\right)=-\sin \alpha</math>
|<math>\cos \left(2\pi-\alpha\right)=\cos \alpha</math>
|-
|<math>\sin \left(2\pi+\alpha\right)=\sin \alpha</math>
|<math>\cos \left(2\pi+\alpha\right)=\cos \alpha</math>
|}

== Tangens i cotangens ==
{| class="wikitable" border="1" width="80%" align="center"
|<math>\operatorname{tg} (-\alpha)=-\operatorname{tg}\ \alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg} (-\alpha)=-\operatorname{ctg}\ \alpha</math>
|-
|<math>\operatorname{tg}\ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{ctg}\ \alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{tg}\ \alpha</math>
|-
|<math>\operatorname{tg}\ \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\operatorname{ctg}\ \alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\operatorname{tg}\ \alpha</math>
|-
|<math>\operatorname{tg}\ \left(\pi-\alpha\right)=-\operatorname{tg}\ \alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg} \left(\pi-\alpha\right)=-\operatorname{ctg}\ \alpha</math>
|-
|<math>\operatorname{tg}\ \left(\pi+\alpha\right)=\operatorname{tg}\ \alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg} \left(\pi+\alpha\right)=\operatorname{ctg}\ \alpha</math>
|}

Podawanie wzorów typu <math>\operatorname{tg}\ \left( \frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =-\operatorname{ctg} \alpha</math> nie jest potrzebne, bo [[Funkcja okresowa|okresem funkcji]] ''tangens'' i ''cotangens'' jest π.

Wzory redukcyjne można wywieść z [[Symetria figury|symetrii]] wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Mianowicie, [[wykres funkcji]] sinus jest [[symetria środkowa|środkowo symetryczny]] względem dowolnego punktu osi ''OX'' o współrzędnej postaci ''k''π i [[symetria osiowa|osiowo symetryczny]] względem dowolnej [[prosta|prostej]] o równaniu ''x'' = π/2 + ''k''π. Dla cosinusa odpowiednie symetrie wypadają dla ''x'' =π/2 + ''k''π oraz ''x'' = ''k''π. Dla tangensa i cotangensa mamy jedynie symetrie środkowe odpowiednio względem punktów ''x''=''k''π oraz ''x''=π/2 + ''k''π.

== Interpretacja na wykresie ==
Wykresy pozwalają też na wyobrażenie sobie (i szybkie odtworzenie w pamięci lub na kartce) wzorów redukcyjnych.

1. W tym celu trzeba tylko zapamiętać jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształcamy wykres tej funkcji, którą mamy obliczyć:
:* jeśli w argumencie jest <math>(x+\alpha)</math> gdzie <math>\alpha</math> jest równe np. <math>\frac{\pi}{2},</math> <math>\pi,</math> <math>\frac{3}{2}\pi,</math> lub <math>2\pi,</math> to przesuwamy wykres odpowiedniej funkcji o <math>\alpha</math> w lewo.
:* jeśli w argumencie jest <math>(x-\alpha)</math> to przesuwamy wykres o <math>\alpha</math> w prawo.
:* jeśli w argumencie jest <math>(\alpha-x)</math> to przesuwamy wykres o <math>\alpha</math> w lewo i odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY.

2. Jeśli przed funkcją stoi minus, odbijamy wykres względem osi OX.

3. Na koniec spoglądamy na powstały wykres w miejscu, w którym przecina oś OY:
:* Jeśli przecina ją w punkcie <math>y=1,</math> to wynikiem jest <math>\cos (x)</math>
:* Jeśli przecina ją w punkcie <math>y=-1,</math> to wynikiem jest <math>-\cos (x)</math>
:* Jeśli przecina ją w środku [[Układ współrzędnych|układu współrzędnych]] i rośnie, to wynikiem jest <math>\sin(x)</math> (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub <math>\operatorname{tg}(x)</math> (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
:* Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i maleje, to wynikiem jest <math>-\sin(x)</math> (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub <math>-\operatorname{tg}(x)</math> (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
:* Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do <math>\pi</math> rośnie, to wynikiem jest <math>\operatorname{ctg}(x)</math>
:* Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do <math>\pi</math> maleje, to wynikiem jest <math>-\operatorname{ctg}(x)</math>

== Przykłady zastosowania ==
Dla odmiany użyta zostanie miara stopniowa. Należy pamiętać, że funkcje trygonometryczne są okresowe – jeżeli miara kąta przekracza 360° można wyodrębnić z niej wielokrotność 360° i przeprowadzać obliczenia dla pozostałej części.

<math>\sin 135^\circ = \sin (90^\circ + 45^\circ)=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}</math>

<math>\cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ)=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>

<math>\operatorname{tg}\ 585^\circ = \operatorname{tg}\ (3\cdot 180^\circ + 45^\circ)=\operatorname{tg}\ 45^\circ=1</math>

<math>\sin (-1035^\circ)=-\sin 1035^\circ=-\sin (2\cdot 360^\circ+315^\circ)=</math><math>-\sin 315^\circ=-\sin (360^\circ-45^\circ)=-(-\sin 45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}</math>

W obu ostatnich przykładach pominięto okres funkcji.

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=X900RTfxIuQ Funkcje trygonometryczne cz. II Wzory redukcyjne]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].

{{Trygonometria}}

[[Kategoria:Twierdzenia trygonometrii]]