Tekst źródłowy strony Trójkąt prostokątny

[[Plik:Pole Trójkąta Prostokątnego.svg|thumb|300px|'''Trójkąt prostokątny'''<br />a, b – długości przyprostokątnych,<br />c – długość przeciwprostokątnej,<br />α, β – miary kątów ostrych,<br />h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną]]

'''Trójkąt prostokątny''' – [[trójkąt]], którego jeden z [[kąt wewnętrzny|kątów wewnętrznych]] jest [[kąt prosty|prosty]]<ref>{{Encyklopedia PWN |id = 3989371 |tytuł = trójkąt prostokątny |data dostępu = 2021-09-29}}</ref>.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są '''przyprostokątnymi''', trzeci bok '''przeciwprostokątną'''.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest [[Trójki pitagorejskie|trójkąt pitagorejski]], tj. taki, w którym długości boków są [[Liczby naturalne|liczbami naturalnymi]]. Najprostszy z nich to '''[[trójkąt egipski]]''' o stosunkach długości boków 3:4:5<ref group="uwaga">Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w [[piramida Cheopsa|piramidzie Cheopsa]] znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5.</ref>.

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] kątów przy przeciwprostokątnej.

== Własności geometryczne ==
* środek przeciwprostokątnej jest środkiem [[Okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]] na trójkącie prostokątnym;
* przyprostokątne trójkąta prostokątnego są jego [[Wysokość (geometria)|wysokościami]];
* [[Symetralna odcinka|symetralne]] przyprostokątnych są [[linia środkowa|liniami środkowymi]];
* [[środkowa trójkąta|środkowa]] opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa [[trójkąt równoramienny|trójkąty równoramienne]];
* [[wysokość trójkąta]] opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Powstałe trójkąty są [[Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)|podobne]] tak do siebie, jak i całego trójkąta.

== Związki metryczne ==
=== [[Pole powierzchni]] ===
Dane jest wzorami:

<math>\begin{align}
S &= \tfrac{1}{2}ab = \tfrac{1}{2}ch = \\
&= \tfrac{1}{2} b^2 \operatorname{tg}\alpha = \tfrac{1}{2}a^2\operatorname{tg}\beta = \\
&= \tfrac{1}{4}c^2 \sin2\alpha = \tfrac{1}{4}c^2 \sin2\beta.
\end{align}</math>

=== Długości odcinków ===
* Boki trójkąta prostokątnego spełniają [[twierdzenie Pitagorasa]];
* Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość<ref name=cke />:
: <math>h = \frac{ab}{c} = \sqrt{c_1 c_2}.</math>
: Drugi wzór to [[średnia geometryczna]] długości odcinków, na które spodek wysokości dzieli przeciwprostokątną.
* Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem<ref name=cke>{{Cytuj |url = https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf |tytuł = Wybrane wzory matematyczne |miejsce = Warszawa |data = 2015 |wydawca = [[Centralna Komisja Egzaminacyjna]] |isbn = 978-83-940902-1-0 |s = 8}}</ref>: <math>R = \tfrac{1}{2}c.</math>
* Promień [[Okrąg wpisany|okręgu wpisanego]] wyraża się wzorem<ref name=cke />: <math>r = \frac{a+b-c}{2}.</math>
: '''Dowód''': Zgodnie z [[Wzory skróconego mnożenia|wzorem na różnicę kwadratów]]: <math>(a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^2-c^2.</math> Z [[Twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]] wynika: <math>(a+b)^2-c^2=2ab.</math> Zatem z wzorów na [[Trójkąt|pole trójkąta]]: <math>S=pr=\frac{1}{2}ab=\frac{a+b-c}{2} p</math> i <math>r=\frac{a+b-c}{2}.</math>
* Niech <math>r_1,r_2</math> oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:
: <math>r+r_1+r_2=h.</math>
: '''Dowód''': Z wzoru na promień okręgu wpisanego: <math>r = \frac{a+b-c}{2},</math> <math>r_1 = \frac{y+h-a}{2},</math> <math>r_2 = \frac{x+h-b}{2},</math> gdzie <math>x,y</math> to długości odcinków, na które wysokość dzieli <math>c.</math> Zatem <math>(x+y=c)</math> <math>\frac{a+b-c}{2}+\frac{y+h-a}{2}+\frac{x+h-b}{2}= \frac{2h}{2}</math>
: <math>r_1^2+r_2^2=r^2,</math>

: co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.
* Niech <math>r_a,r_b,r_c</math> oznaczają promienie [[Okrąg dopisany|okręgów dopisanych]]. Wówczas są spełnione:
: <math>r=\frac{r_a r_b}{r_c},</math>
: <math>r_c=r+r_a+r_b.</math>

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Pawłowski |imię = Henryk |autor link = Henryk Pawłowski |tytuł = Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria |wydanie = 1 uzupełnione |wydawca = Oficyna Wydawnicza „Tutor” |miejsce = Toruń |rok = 2003 |strony = 224–225 |isbn = 83-86007-63-X |język = pl}}

== Linki zewnętrzne ==
{{wikisłownik|trójkąt prostokątny}}
* {{Pismo Delta | url = 2016/12/najlatwiejsze-zadanie/ | autor = Kamil Rychlewicz, [[Mariusz Skałba]] | tytuł = Najłatwiejsze zadanie? | data = grudzień 2016 | data dostępu = 2024-11-03 }}
* {{Pismo Delta | url = 2017/08/srodek-przeciwprostokatnej/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = Środek przeciwprostokątnej | data = sierpień 2017 | data dostępu = 2024-10-30 }}
* {{MathWorld | adres = RightTriangle | tytuł = Right Triangle }} [dostęp 2023-06-01].

{{Wielokąty}}
{{Trygonometria}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rodzaje trójkątów|prostokątny]]