Tekst źródłowy strony Trójkąt

{{inne znaczenia|figury geometrycznej|[[trójkąt (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
{{Wielokąt infobox
 |tytuł        = Trójkąt
 |grafika      = Triangle illustration.svg
 |opis grafiki = 
 |rodzaj       = 
 |boki         = 3
 |przekątne    = 0
 |schläfli     = {3} (trójkąt równoboczny)
 |coxeter      = 
 |symetria     =
 |pole         =
 |obwód        =
 |kąt          = 60° (trójkąt równoboczny)
 |własności    =
 |wikisłownik  = trójkąt
 |commons      = Category:Triangles
 |wikicytaty   = Trójkąt
}}
'''Trójkąt''' – [[wielokąt]] o trzech bokach{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}}. Trójkąt to najmniejsza (w sensie [[podzbiór|inkluzji]]) [[figura geometryczna|figura]] [[zbiór wypukły|wypukła]] i [[zbiór domknięty|domknięta]], zawierająca pewne trzy ustalone i [[prosta|niewspółliniowe]] [[punkt (geometria)|punkty]] [[płaszczyzna|płaszczyzny]] ([[otoczka wypukła]] wspomnianych trzech punktów).

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy [[Wierzchołek (geometria)|wierzchołkami]] trójkąta{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}}<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3989361 | tytuł = trójkąt | data dostępu = 2021-09-29 }}</ref>. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}}.

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}}, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz [[#Nierówność trójkąta|dalej]]).

== Rodzaje ==
[[Plik:Triangle with notations 2.svg|thumb|200px|''A'', ''B'', ''C'' – wierzchołki<br />''a'', ''b'', ''c'' – boki<br />''α'', ''β'', ''γ'' – kąty<br />∡CAB, ∡ABC, ∡ACB — kąty (inny sposób oznaczania)]]
Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:
* '''trójkąt różnoboczny''' ma każdy bok innej długości;
* '''[[trójkąt równoramienny]]''' ma dwa boki (ramiona) tej samej długości{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}};
* '''[[trójkąt równoboczny]]''' ma wszystkie trzy boki tej samej długości{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}}; wszystkie jego kąty są tej samej miary.

{|style="text-align: center; margin-left: 40px"
|[[Plik:Triangle.Equilateral.svg|180px|równoboczny]]
|[[Plik:Triangle.Isosceles.svg|100px|równoramienny]]
|[[Plik:Triangle.Scalene.svg|280px|różnoboczny]]
|-
|''równoboczny''
|''równoramienny''
|''różnoboczny''
|}

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:
* '''trójkąt ostrokątny''', którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}};
* '''[[trójkąt prostokątny]]''' to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest [[kąt prosty|prosty]]{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}} (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się '''przyprostokątnymi''', pozostały bok nosi nazwę '''przeciwprostokątnej'''{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=288}}; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
* '''trójkąt rozwartokątny''', którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}}.

{|style="text-align: center; margin-left: 40px"
|[[Plik:Triangle.Acute.svg|240px|ostrokątny]]
|[[Plik:Triangle.Right.svg|200px|prostokątny]]
|[[Plik:Triangle.Obtuse.svg|150px|rozwartokątny]]
|-
|''ostrokątny''
|''prostokątny''
|''rozwartokątny''
|}

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne [[relacja równoważności|relacje równoważności]], np. [[podobieństwo]], [[przystawanie (geometria)|przystawanie]].

== Ważne pojęcia ==
'''[[Wysokość trójkąta]]''' to [[odcinek]], który łączy wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok i który jest [[Prostopadłość|prostopadły]] do tej prostej<ref name=":1">{{Cytuj |autor = I.N. Bronsztejn; H. Muhlig; G. Musiol; K.A. Siemiendiajew |tytuł = Nowoczesne kompendium matematyki |data = 2022 |isbn = 9788301141486 |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |s = 142-143 |język = pl}}</ref><ref name=":0">{{Cytuj |autor = Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda |tytuł = Matematyka 1: podręcznik do liceów i techników: zakres rozszerzony |data = 2019 |data dostępu = 2024-02-04 |isbn = 978-83-7594-172-2 |wydanie = Wydanie I |miejsce = Warszawa |wydawca = Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro |s = 332-338 |język = pl}}</ref>. Często wysokością nazywa się również długość tego odcinka. Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta (lub jego przedłużenia) nazywa się '''spodkiem''' tej '''wysokości'''. Każdy trójkąt ma trzy wysokości<ref name=":0" />. Wysokości trójkąta (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy [[Wysokość trójkąta|'''ortocentrum''']]<ref name=":1" /><ref name=":0" />.

'''[[Środkowa trójkąta]]''' to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku<ref name=":1" /><ref name=":0" />. Każdy trójkąt ma trzy środkowe<ref name=":0" />, które przecinają się w jednym punkcie, nazywanym '''środkiem ciężkości''' (barycentrum, środkiem masy) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku<ref name=":1" /><ref name=":0" />.

'''[[Symetralna odcinka|Symetralna]] boku trójkąta''' to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}}. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem [[Okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]] na tym trójkącie{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}}.

'''[[Dwusieczna kąta|Dwusieczne]] kątów wewnętrznych''' trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem [[okrąg wpisany|okręgu wpisanego]] w ten trójkąt{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=287}}.

'''[[Symediana]]''' jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

'''[[Punkt Nagela]]''' – punkt, w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

'''[[Punkt Gergonne'a]]''' – punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

'''[[Punkty Brocarda]]''' – w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

'''[[Punkt Fermata]]''' – punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

{|align="center"
|align="center"| [[Plik:Triangle.Orthocenter.svg]]
|align="center"| [[Plik:Triangle.Centroid.svg]]
|align="center"| [[Plik:Triangle.Circumcenter.svg]]
|align="center"| [[Plik:Triangle.Incircle.svg]]
|-
|align="center"| ''wysokości i [[Wysokość trójkąta|ortocentrum]]''
|align="center"| ''środkowe i barycentrum''
|align="center"| ''symetralne i [[Okrąg opisany na wielokącie|okrąg opisany]]''
|align="center"| ''dwusieczne i [[okrąg wpisany]]''
|}

[[Plik:Euler line.svg|thumb|250px|Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie]]
W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków <math>S_1,</math> symetralnych boków <math>S_2,</math> wysokości <math>S_3</math> (odpowiednio: barycentrum, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej [[prosta Eulera|prostą Eulera]]. Ponadto <math>|S_1 S_3|=2|S_1 S_2|.</math>

== Pole powierzchni ==
[[Plik:Trojkat-Liczenie pola.svg|thumb|200px]]
Przyjmując dla trójkąta <math>ABC</math> następujące oznaczenia:
: <math>a,\ b,\ c</math> – długości boków;
: <math>h_a,\ h_b,\ h_c</math> – wysokości opuszczone na boki odpowiednio <math>a,\ b,\ c;</math>
: <math>\alpha,\ \beta,\ \gamma</math> – kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio <math>a,\ b,\ c;</math>
: <math>S</math> – pole powierzchni;
: <math>R</math> – promień [[Okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]];
: <math>r</math> – promień [[Okrąg wpisany|okręgu wpisanego]];
: <math>p</math> – połowa obwodu; <math>p=\frac{a+b+c}{2};</math>

dostaniemy następujące wzory na [[pole powierzchni]]{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=288}}:
[[Plik:Triangle area.gif|thumb|170px|Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości.]]

: <math>S = \frac{ah_a}{2} = \frac{b h_b}{2} = \frac{c h_c}{2};</math>
: <math>S = \frac{ab\sin\gamma}{2} = \frac{bc\sin\alpha}{2} = \frac{ca\sin\beta}{2};</math>
: <math>S = pr = \frac{abc}{4R};</math>
: <math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math> ([[wzór Herona]]);
: <math>S = \frac{1}{4}\sqrt{-\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a^2 & b^2 \\ 1 & a^2 & 0 & c^2 \\ 1 & b^2 & c^2 & 0 \end{vmatrix}}</math> (postać [[wyznacznik]]owa).

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:
: <math>S = \frac{a^2 \sin\beta \sin\gamma}{2 \sin\alpha} = \tfrac{1}{4} \sqrt{\left((a + b)^2 - c^2\right)\left(c^2 - (a - b)^2\right)}  =</math>
: <math>= 2R^2 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma.</math>

W [[geometria analityczna|geometrii analitycznej]] przyjmując dla wierzchołków trójkąta{{odn|''Encyklopedia szkolna''|s=288}}
: <math>A = (x_A, y_A),</math>
: <math>B = (x_B, y_B),</math>
: <math>C = (x_C, y_C),</math>

dostaniemy także następujące wzory:
: <math>S = \left| \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}\right|,</math> czyli
: <math>S =\frac{1}{2}\left|\det\begin{bmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{bmatrix}\right|= \frac{1}{2}\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|= \frac{1}{2}|x_A y_B + x_B y_C + x_C y_A - x_C y_B - x_A y_C - x_B y_A |;</math>
: <math>S  = \frac{1}{2}\left|\det \begin{bmatrix}x_B - x_A & y_B - y_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A\end{bmatrix}\right|.</math>

== Środek geometryczny ==
{{Osobna sekcja|Środek masy|Środek geometryczny}}
Trójkąt, którego wierzchołki mają [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędne kartezjańskie]]:
: <math>A=(x_A,y_A),</math>
: <math>B=(x_B,y_B),</math>
: <math>C=(x_C,y_C),</math>

ma środek geometryczny (barycentrum) w punkcie:
: <math>Q=\left(\frac{x_A + x_B + x_C} 3,\ \frac{y_A + y_B + y_C} 3\right).</math>

== Nierówność trójkąta ==
{{Osobny artykuł|Nierówność trójkąta}}
[[Plik:Nierownosc trojkata.svg|thumb|200px|Wizualizacja „działania” nierówności trójkąta]]
W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą <math>a,</math> <math>b</math> i <math>c</math> zachodzi następująca nierówność, zwana ''nierównością trójkąta'':
: <math>a < b+c,</math>

i analogicznie
: <math>b < c+a,</math>
: <math>c < a+b.</math>

Trójkąt o bokach, których długości wynoszą <math>a,</math> <math>b</math> i <math>c</math> istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:
: <math>|b-c|<a<b+c.</math>

== Geometrie nieeuklidesowe ==
Na płaszczyźnie [[przestrzeń euklidesowa|euklidesowej]] suma miar [[kąt]]ów wewnętrznych trójkąta jest równa [[Kąt|kątowi półpełnemu]], czyli <math>180^\circ = \pi.</math>

W [[geometria]]ch innych niż [[geometria euklidesowa|euklidesowa]] suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z [[biegun północny|bieguna północnego]] 10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód, a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°, a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na [[sfera|sferze]] (dobre przybliżenie powierzchni [[geoida|geoidy]]) obowiązuje [[geometria eliptyczna]], a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180°, opiera się na [[Postulat Euklidesa|piątym aksjomacie Euklidesa]], który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych [[geometria absolutna|geometrii]].

== Zobacz też ==
* [[okrąg dziewięciu punktów]]
* [[sympleks (matematyka)|sympleks]]
* [[trójkąt Penrose’a]]
* [[trójkąt sferyczny]]
* [[trójkąt wymierny]]
* twierdzenia: [[twierdzenie sinusów|sinusów]], [[twierdzenie cosinusów|cosinusów]], [[twierdzenie tangensów|tangensów]]
* [[twierdzenie Cevy]], [[twierdzenie Cevy (trygonometryczne)|trygonometryczne]]
* [[twierdzenie Menelaosa]]
* [[twierdzenie Pitagorasa]]
* [[wzór Herona]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj | tytuł = Matematyka | seria = Encyklopedia szkolna | miejsce = Warszawa | data = 1990 | wydawca = [[Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne]] | isbn = 83-02-02551-8 | odn = {{odn/id|''Encyklopedia szkolna''}} }}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2009/04/dziesiec-wzorow-na-pole-trojkata/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = Dziesięć wzorów na pole trójkąta | data = kwiecień 2009 | data dostępu = 2024-11-01 }}
* {{Pismo Delta | url = 2011/10/p-1-2-ah/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = P = 1/2 ah | data = październik 2011 | data dostępu = 2024-11-01 }}
* {{Pismo Delta | url = 2021/06/jak-wyznaczyc-najbardziej-dowolny-trojkat/ | autor = Piotr Pikul | tytuł = Jak wyznaczyć najbardziej dowolny trójkąt? | data = czerwiec 2021 | data dostępu = 2024-11-02 }}
* {{MathWorld | adres = Triangle | tytuł = Triangle }} [dostęp 2023-06-01].

{{Obiekty określone dla trójkąta}}
{{wielokąty}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Trójkąty| ]]