Tekst źródłowy strony Tożsamość czterech kwadratów Eulera

'''Tożsamość czterech kwadratów Eulera''' – [[tożsamość algebraiczna]] zachodząca dla dowolnych ośmiu [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej:
: <math>\begin{align}
&(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) \\
=\; &(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 \\
+\; &(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 \\
+\; &(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 \\
+\; &(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2.
\end{align}</math>

Tożsamość podał [[Leonhard Euler]] w [[1748]] w liście do [[Christian Goldbach|Christiana Goldbacha]]{{odn|Bradley|Sandifer|2007|s=193}}{{odn|Shenitzer|Stillwell|2002|s=174}}. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie [[Twierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych|twierdzenia Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych]].

Jeśli <math>a_k</math> i <math>b_k</math> są [[liczby rzeczywiste|liczbami rzeczywistymi]], tożsamość wyraża się w inny sposób: moduł iloczynu dwóch [[kwaterniony|kwaternionów]] równy jest iloczynowi ich modułów{{odn|Conway|Guy|1996|s=232}}; podobną równość dla [[liczby zespolone|liczb zespolonych]] ustala [[tożsamość Brahmagupty]].

Tożsamość jest prawdziwa dla <math>a_1,a_2,a_3,a_4,b_1,b_2,b_3,b_4</math> z dowolnego [[Pierścień przemienny|pierścienia przemiennego]], gdyż może być udowodniona przy użyciu elementarnej algebry (poprzez rozpisanie nawiasów i zamianę kolejności czynników w iloczynach).

Dla liczb rzeczywistych można ją wywnioskować z następującej tożsamości dla [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]] (gdyż kwadrat modułu to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej):
: <math>(|u_1|^2+|u_2|^2)(|v_1|^2+|v_2|^2) = |u_1 v_1 - u_2 \overline{v_2}|^2 + |u_1 v_2 + u_2 \overline{v_1}|^2,</math>

której dowód polega na zastosowaniu tożsamości <math>|z|^2 = z\overline{z}</math> do wszystkich wyrazów po lewej, zaś tożsamości <math>|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2 Re(u\overline{v})</math> do wyrazów po prawej.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Conway |imię = John |autor link = John Horton Conway |nazwisko2 = Guy |imię2 = Richard |tytuł = The book of Numbers |rok = 1996 |wydawca = [[Springer Science+Business Media|Springer]] |język = en |isbn = 0-387-97993-X|odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bradley |imię = Robert E. |nazwisko2 = Sandifer |imię2 = Ed |tytuł = Leonhard Euler: Life, Work and Legacy |wydawca = [[Elsevier]] |rok = 2007 |język = en |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Shenitzer |imię = Abe |nazwisko2 = Stillwell |imię2 = John |tytuł = Mathematical Evolutions |wydawca = Math. Assoc. America |rok = 2002 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = EulerFour-SquareIdentity | tytuł = Euler Four-Square Identity }} [dostęp 2024-02-02].
* [http://math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0841.pdf List CXV Eulera do Goldbacha]

{{Tożsamości algebraiczne}}

[[Kategoria:Teoria liczb]]
[[Kategoria:Tożsamości algebraiczne|C]]