Tekst źródłowy strony Test istotności dla dwóch średnich

'''Test istotności dla dwóch średnich''' – [[test istotności]], służący do [[wnioskowanie statystyczne|wnioskowania]] o równości dwóch [[średnia arytmetyczna|średnich]] w dwóch [[Populacja statystyczna|populacjach]] normalnych. W zależności od posiadanych informacji o porównywanych populacjach wyróżnia się trzy modele, w których można zweryfikować hipotezę <math>H_0 : m_1 = m_2,</math> gdzie <math>m_1</math> i <math>m_2,</math> to średnie podanych populacji generalnych. Natomiast postać hipotezy alternatywnej <math>H_1</math> decyduje o [[Obszar krytyczny testu|obszarze krytycznym]], który może być jednostronny lub dwustronny.

== Test dla znanych odchyleń standardowych ==
Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych <math>N(m_1, \sigma_1)</math> i <math>N(m_2, \sigma_2),</math> których odchylenia standardowe są znane. Test istotności wygląda następująco:
: <math>u=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}</math>

gdzie:
* <math>\overline{x_1},\overline{x_2}</math> – średnie z prób,
* <math>\sigma_1, \sigma_2</math> – [[odchylenie standardowe|odchylenia standardowe]] z populacji,
* <math>n_1, n_2</math> – liczebności prób.

W tym przypadku <math>u</math> ma [[rozkład normalny]] <math>N(0, 1)</math> jeśli hipoteza o równości średnich jest prawdziwa.

== Test dla nieznanych odchyleń standardowych, ale <math>\sigma_1=\sigma_2</math> ==
{{osobny artykuł|test t Studenta}}
Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych <math>N(m_1, \sigma_1)</math> i <math>N(m_2, \sigma_2),</math> których odchylenia standardowe nie są znane, wiemy jednak, że <math>\sigma_1=\sigma_2.</math> Test istotności wygląda następująco:
: <math>t=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{(n_1-1) s_1^2+(n_2-1) s_2^2}{n_1+n_2-2} (\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}},</math>

gdzie:
* <math>\overline{x_1},\overline{x_2}</math> – średnie z prób,
* <math>s_1, s_2</math> – odchylenia standardowe z prób,
* <math>n_1, n_2</math> – liczebności prób.

Rozkład statystyki testowej <math>t</math> jest [[Rozkład Studenta|rozkładem ''t''-Studenta]] o <math>n_1+n_2-2</math> stopniach swobody.

== Test dla nieznanych odchyleń standardowych ==
{{osobny artykuł|test t Welcha}}
Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych <math>N(m_1, \sigma_1)</math> i <math>N(m_2, \sigma_2),</math> których odchylenia standardowe nie są znane a wielkości prób są przynajmniej 30. Test istotności wygląda następująco:
: <math>u=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}},</math>

gdzie:
* <math>\overline{x_1},\overline{x_2}</math> – średnie z prób,
* <math>s_1, s_2</math> – odchylenia standardowe z prób,
* <math>n_1, n_2</math> – liczebności prób.

[[Liczba stopni swobody (statystyka)|Liczba stopni swobody]] <math>\nu</math> rozkładu t-Studenta związana z tą [[estymata|estymatą]] wariancji jest przybliżana za pomocą [[równanie Welcha-Satterthwaite'a|równania Welcha-Satterthwaite’a]]:
:<math>\nu =
\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}
{\frac{s_1^4}{n_1^2 \cdot (n_1 -1)}+\frac{s_2^4}{n_2^2 \cdot (n_2-1)}}\cdot
</math>

== Zobacz też ==
{{Wikiźródła|tekst=nie|Tablica rozkładu normalnego|tablicę rozkładu normalnego}}
{{Wikiźródła|tekst=nie|Tablica rozkładu t-Studenta|tablicę rozkładu Studenta}}
* [[statystyka]]
* [[test istotności]]
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu statystyki|przegląd zagadnień z zakresu statystyki]]
* [[weryfikacja hipotez statystycznych]]

[[Kategoria:Testy statystyczne|istotności dla dwóch średnich]]