Tekst źródłowy strony Test Kruskala-Wallisa

'''Test [[William Kruskal|Kruskala]]-[[Wilson Allen Wallis|Wallisa]]''' – [[metody rangowe|rangowy]] [[test statystyczny]] porównujący [[Rozkład prawdopodobieństwa|rozkłady]] zmiennej w <math>k>2</math> [[populacja statystyczna|populacjach]]. Test nie zakłada [[rozkład normalny|normalności]] rozkładów. Niekiedy uważany jest<ref>{{Cytuj |tytuł = Glosariusz. Test Kruskala-Wallisa |data dostępu = 2024-07-11 |opublikowany = www.statsoft.pl |url = https://www.statsoft.pl/textbook/glost.html}}</ref><ref>{{Cytuj |tytuł = Test Kruskala-Wallisa |data dostępu = 2024-07-11 |opublikowany = Pogotowie Statystyczne |url = https://pogotowiestatystyczne.pl/slowniki/test-kruskala-wallisa/ |język = pl-PL}}</ref> za [[statystyka nieparametryczna|nieparametryczną]] alternatywę dla [[jednoczynnikowa analiza wariancji|jednoczynnikowej analizy wariancji]] pomiędzy grupami.

[[Weryfikacja hipotez statystycznych|Hipotezą zerową]] <math>H_0</math> jest równość [[dystrybuanta|dystrybuant]] rozkładów w porównywanych populacjach.

Danymi wejściowymi jest <math>n</math> -elementowa [[próba statystyczna]] podzielona na <math>k</math> rozłącznych grup o licznościach <math>n_1, n_2, \dots n_k.</math> Zakłada się, że każda grupa jest losowana z innej populacji.

Wykonywane jest [[Ranga (statystyka)|rangowanie]] całej próby (połączone wszystkie grupy).
Niech <math>R_{ij}</math> oznacza rangę w całej próbie <math>j</math>-tego elementu z <math>i</math>-tej grupy.

Statystyka testowa Kruskala-Wallisa:
::<math>T=\frac{12}{n(n+1)}\sum\limits_{i=1}^k n_i\left( \overline{R}_i-\frac{n+1}{2}\right)^2,</math>

gdzie:
: <math>\overline{R}_i=\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}R_{ij}.</math>

Statystyka ta jest miarą odstępstwa średnich próbkowych rang od wartości średniej wszystkich rang, równej <math>(n+1)/2.</math>

Dokładne obliczenie rozkładu tej statystyki wymagałoby sprawdzenia wszystkich układów rang. W praktyce, do obliczania [[Wartość p|p-wartości]] korzysta się z twierdzenia, mówiącego, że przy (jednocześnie):
* spełnionej hipotezie H<sub>0</sub>
* [[Ciągły rozkład prawdopodobieństwa|ciągłym rozkładzie]] [[cecha statystyczna|cechy]] w porównywanych populacjach
* minimalnych licznościach grup <math>n_1,n_2,n_3>5</math> dla <math>k=3</math> lub <math>n_1,n_2,\dots,n_k>4</math> dla <math>k>3</math>
zachodzi:
:: <math>P\{T\leqslant t\}\to P\{\chi_{k-1}^2\leqslant t\}</math> dla <math>t\to \infty,</math>

gdzie <math>\chi_{k-1}^2</math> to zmienna o [[Rozkład chi kwadrat|rozkładzie chi-kwadrat]] z <math>k-1</math> stopniami swobody.

== Zobacz też ==
{{Wikiźródła|tekst=nie|Tablica rozkładu chi-kwadrat|tablicę rozkładu chi-kwadrat}}
* [[test Wilcoxona dla par obserwacji]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor = [[William Kruskal]], [[Wilson Allen Wallis]] |tytuł = Use of ranks in one-criterion variance analysis |url = http://homepages.ucalgary.ca/~jefox/Kruskal%20and%20Wallis%201952.pdf |czasopismo = Journal of the American Statistical Association |wolumin = 47 | numer=260 |s = 583–621 |data = grudzień 1952 |data dostępu = 2020-04-08}}
* {{cytuj |autor = Koronacki, Jacek; Mielniczuk, Jan |tytuł = Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych |wydawca = WNT |data = 2001 |miejsce = Warszawa |isbn = 83-204-2684-7 |s = 476–478}}

[[Kategoria:Testy statystyczne|Kruskala-Wallisa]]
[[Kategoria:Statystyka nieparametryczna]]
[[Kategoria:Miary podobieństwa dwóch rozkładów]]