Tekst źródłowy strony Test Craméra-von Misesa

'''Test Craméra-von Misesa''' – jeden z [[test statystyczny|testów statystycznych]] zgodności [[Rozkład prawdopodobieństwa|rozkładu]] z zadanym rozkładem wzorcowym lub drugą próbą. Zwykle stosuje się go do sprawdzenia zgodności z [[rozkład normalny|rozkładem normalnym]]. Wynaleziony przez [[Harald Cramér|Haralda Craméra]] i [[Richard von Mises|Richarda von Mises]], którzy zaproponowali go w latach [[1928]]–[[1930]].

== Statystyka Craméra-von Misesa ==
=== Wersja dla jednej próby i rozkładu wzorcowego ===
:: <math>W^2=n\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(F_n(x)-F(x))^2 dF(x),</math>

gdzie:
: <math>F_n(x)</math> – [[Dystrybuanta|dystrybuanta empiryczna]],
: <math>F(x)</math> – [[dystrybuanta]] rozkładu wzorcowego,
: <math>n</math> – liczność [[próba statystyczna|próby]].

Zwykle do obliczeń używany jest prostszy wzór:
:: <math>W^2=\frac{1}{12n}+\sum\limits_{i=1}^n\left( F(X_{(i)})-\frac{2i-1}{2n}\right)^2,</math>

gdzie:
: <math>X_{(i)}</math> – <math>i</math>-ta zaobserwowana wartość w próbie uporządkowanej rosnąco,
: <math>F(x)</math> – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,
: <math>n</math> – liczność próby.

=== Wersja dla dwóch prób ===
Niech <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math> i <math>y_1,y_2,\dots,y_m</math> będą obserwowanymi wartościami w pierwszej i drugiej próbie posortowane rosnąco. Niech <math>r_1,r_2,\dots,r_n</math> będą [[ranga (statystyka)|rangami]] obserwacji <math>x_i</math> w połączonej próbie (X i Y rangowane razem) i niech <math>s_1,s_2,\dots,s_m</math> będą rangami obserwacji <math>y_i</math> w połączonej próbie.

Wówczas
:: <math>W^2 = \frac{U}{n m (n+m)}-\frac{4 m n - 1}{6(m+n)},</math>

gdzie:
:: <math>U = n \sum_{i=1}^n (r_i-i)^2 + m \sum_{j=1}^m (s_j-j)^2.</math>

== Właściwości ==
Test ma lepsze właściwości niż [[test Kołmogorowa-Smirnowa]], lecz jest stosunkowo nieczuły na odstępstwa od rozkładu w punktach dalekich od średniej („ogony” rozkładu). W celu eliminacji tej wady powstała jego modyfikacja, zwana [[test Andersona-Darlinga|testem Andersona-Darlinga]].

== Zobacz też ==
* [[test Andersona-Darlinga]]
* [[test Kołmogorowa-Smirnowa]]
* [[test Shapiro-Wilka]]

== Bibliografia ==
* pomoc do programu SAS 9.1 autorstwa SAS Institute Inc.
* {{cytuj książkę |nazwisko = Koronacki |imię = Jacek |nazwisko2 = Mielniczuk |imię2 = Jan |tytuł = Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych |wydawca = WNT |rok = 2001 |miejsce = Warszawa |isbn = 83-204-2684-7 |strony = 254}}

== Linki zewnętrzne ==
* Anderson: [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.aoms/1177704477 ''On the Distribution of the Two-Sample Cramer-von Mises Criterion''], „Annals Math. Stat.” 33, #3 (1962), s. 1148–1159.
* Xiao, Gordon, Yakovlev: [http://www.jstatsoft.org/v17/i08/paper ''A C++ program for the Cramér-von-Mises two sample test''], „Journal of Statistical Software”, 17 #8, styczeń 2007.

[[Kategoria:Testy normalności rozkładu|Craméra-von Misesa]]
[[Kategoria:Statystyka nieparametryczna]]
[[Kategoria:Miary podobieństwa dwóch rozkładów]]