Tekst źródłowy strony Test Andersona-Darlinga

'''Test [[Theodore Wilbur Anderson|Andersona]]-[[Donald Allan Darling|Darlinga]]''' – jeden z [[test statystyczny|testów statystycznych]] zgodności [[Rozkład prawdopodobieństwa|rozkładu]] z zadanym rozkładem wzorcowym. Zwykle stosuje się go do sprawdzenia zgodności z [[rozkład normalny|rozkładem normalnym]]. Jest modyfikacją [[test Craméra-von Misesa|testu Craméra-von Misesa]] dokonaną w celu poprawy jego czułości w „ogonach” testowanego rozkładu.

== Statystyka Andersona-Darlinga ==
:: <math>A^2 = n\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{(F_n(x)-F(x))^2}{F(x)(1-F(x))} dF(x),</math>

gdzie:
: <math>F_n(x)</math> – [[dystrybuanta]] empiryczna,
: <math>F(x)</math> – [[dystrybuanta]] rozkładu wzorcowego,
: <math>n</math> – liczność [[próba statystyczna|próby]].

Jest to zatem wersja testu Craméra-von Misesa [[średnia ważona|ważona]] czynnikiem <math>\tfrac{1}{F(x)(1-F(x))}.</math>

Zwykle do obliczeń używany jest prostszy wzór:
:: <math>A^2 = -n-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left( (2i-1)\ln F(X_{(i)})+(2n+1-2i)\ln(1-F(X_{(i)}))\right)</math>

lub (inna wersja):
:: <math>A^2 = -n-\sum_{i=1}^n \frac{2i-1}{n}\left[\ln F(X_{(i)}) + \ln\left(1-F(X_{(n+1-i)})\right)\right],</math>

gdzie:
: <math>X_{(i)}</math> – <math>i</math>-ta zaobserwowana wartość w próbie uporządkowanej rosnąco,
: <math>F(x)</math> – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,
: <math>n</math> – liczność próby.

Dla rozkładu normalnego stosuje się czasem poprawkę na wielkość próby:
:: <math>A^{2\star} = A^2\left(1+\frac{0{,}75}{n}+\frac{2{,}25}{n^2}\right).</math>

Dla rozkładu normalnego, gdy <math>A^{2\star}</math> przekracza 0,752, to hipoteza o normalności rozkładu w populacji jest odrzucana na poziomie 5%. Dla innych rozkładów test także może być stosowany, ale ma inne [[wartość krytyczna|wartości krytyczne]].

== Zobacz też ==
* [[test Craméra-von Misesa]]
* [[test Kołmogorowa-Smirnowa]]
* [[test Shapiro-Wilka]]

== Bibliografia ==
* Pomoc do programu SAS 9.1 autorstwa SAS Institute Inc.

[[Kategoria:Testy normalności rozkładu|Andersona-Darlinga]]
[[Kategoria:Statystyka nieparametryczna]]
[[Kategoria:Miary podobieństwa dwóch rozkładów]]