Tekst źródłowy strony Teoria liczb

[[Plik:Czech stamp 2000 m259.jpg|mały|Czeski znaczek pocztowy upamiętniający [[wielkie twierdzenie Fermata]] i jego dowód przez [[Andrew Wiles]]a]]

'''Teoria liczb''' – dziedzina [[Matematyka|matematyki]] badająca własności niektórych typów [[Liczba|liczb]]<ref group="uwaga">[[Moc zbioru|Liczby kardynalne]] i [[Liczby porządkowe|porządkowe]] są badane przez [[Teoria mnogości|teorię mnogości]].</ref>. Początkowo analizowała tylko [[liczby naturalne]] i [[Liczby wymierne|wymierne]], później rozszerzając zakres o inne [[liczby rzeczywiste]], zwłaszcza [[Liczby algebraiczne|algebraiczne]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | tytuł = Liczb teoria | id = 3932345 | data dostępu = 2022-02-15}}</ref>. Przynajmniej częściowo jest zaliczana do [[Matematyka dyskretna|matematyki dyskretnej]]<ref>{{MathWorld|DiscreteMathematics|Discrete Mathematics}} [dostęp 2022-02-15].</ref>.

Jest to jedna z najstarszych dziedzin matematyki obok [[Geometria|geometrii]]; obie dyscypliny od starożytności nie przestają na siebie oddziaływać. Rozwój teorii liczb miał też wpływ na inne gałęzie matematyki jak [[algebra]]<ref name="epwn" /> – w tym ogólna [[algebra przemienna]] – oraz [[geometria algebraiczna]], [[analiza zespolona]] i [[Teoria prawdopodobieństwa|probabilistyka]]{{odn|Iwaniec|1995|s=698}}. Kierunek zastosowań jest też odwrotny: teoria liczb sama skorzystała z osiągnięć algebry, geometrii algebraicznej i probabilistyki<ref name="epwn" />. Niektóre z wykorzystywanych metod są zaawansowane jak np. [[algebra homologiczna]]<ref name="epwn" /> i abstrakcyjna [[analiza harmoniczna]]{{odn|Iwaniec|1995|s=698}}. Teoria liczb obfituje w [[Problem otwarty|problemy otwarte]] postawione elementarnie – tj. zrozumiałe dla laików, nawet dla dzieci – ale czekające na rozwiązanie wyjątkowo długo, czasem stulecia. Niektóre z pytań zadanych w XVIII wieku – jak [[hipoteza Goldbacha]] i hipoteza [[Prostopadłościan idealny|prostopadłościanu idealnego]] – do dzisiaj pozostają bez odpowiedzi. Teorią liczb zajmowali się matematycy zaliczani do najwybitniejszych w historii jak [[Leonhard Euler]], [[Carl Friedrich Gauss]] i [[Bernhard Riemann]]; wkład w tę dziedzinę nagradzano też najwyższymi zaszczytami w matematyce jak [[Medal Fieldsa]], [[Nagroda Abela]] czy [[Medal Copleya]] przyznawany także innym naukowcom. Istnieją również nagrody poświęcone tej konkretnej dziedzinie – odpowiednie kategorie [[Nagroda Cole’a|Nagrody Cole’a]] i [[Nagroda Fermata|Nagrody Fermata]]. Teorię liczb nazywano „królową matematyki”{{odn|Iwaniec|1995|s=698}}<ref>{{Pismo Delta | url = 2022a/03/2022-03-delta-art-01-rotkiewicz.pdf | tytuł = 2<sup>2</sup>·5·7 urodziny | data = marzec 2022 | data dostępu = 2022-03-15}}</ref>.

W II połowie XX wieku znaleziono zastosowania tej dyscypliny w [[Kryptologia|kryptologii]] i [[Fizyka matematyczna|fizyce matematycznej]], zwłaszcza [[Kwantowa teoria pola|kwantowej teorii pola]], [[Teoria strun|teorii strun]] oraz teorii kwantowego [[Chaos (matematyka)|chaosu]]<ref>{{otwarty dostęp}} [[Piotr Sułkowski]], ''[https://zapytajfizyka.fuw.edu.pl/pytania/fizyka-i-teoria-liczb/ Fizyka i teoria liczb]'', 3 września 2016 [dostęp 2022-02-15].</ref>. Powstało całe [[czasopismo naukowe]] poświęcone związkom teorii liczb z fizyką<ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/cntp/_home/_main/index.php Communications in Number Theory and Physics]'' {{lang|en}}, intlpress.com [dostęp 2022-02-15].</ref>. Ta dziedzina matematyki wywarła też pewien wpływ na [[Kultura popularna|popkulturę]]; amatorskie badania [[Wielkie twierdzenie Fermata|wielkiego twierdzenia Fermata]] są motywem powieści młodzieżowej ''[[Szatan z siódmej klasy]]'' [[Kornel Makuszyński|Kornela Makuszyńskiego]] (1937).

== Podział teorii liczb ==
Główne działy teorii liczb to{{odn|Iwaniec|1995|s=698–726}}:
* [[elementarna teoria liczb]],
* [[algebraiczna teoria liczb]],
* [[analityczna teoria liczb]],
** [[multiplikatywna teoria liczb]]<ref>{{Cytuj |tytuł = Preface |data = 2006-11-16 |data dostępu = 2023-12-08 |wydawca = Cambridge University Press |s = xi–xii |doi= 10.1017/cbo9780511618314.001}}</ref>,
** [[addytywna teoria liczb]]<ref>{{Cytuj |tytuł = Additive number theory: the classical bases |czasopismo = Choice Reviews Online |data = 1997-09-01 |data dostępu = 2023-12-08 |issn = 0009-4978 |wolumin = 35 |numer = 01 |s = 35–0343-35-0343 |doi = 10.5860/choice.35-0343}}</ref>,
* [[geometryczna teoria liczb]],
* [[probabilistyczna teoria liczb]],
* [[kombinatoryczna teoria liczb]]<ref>{{Cytuj |autor = Izabella Łaba |tytuł = From harmonic analysis to arithmetic combinatorics |czasopismo = Bulletin of the American Mathematical Society |data = 2007-10-17 |data dostępu = 2023-12-08 |issn = 0273-0979 |wolumin = 45 |numer = 01 |s = 77–116 |doi = 10.1090/S0273-0979-07-01189-5 |url = http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0273-0979-07-01189-5 |język = en}}</ref>,
* [[teoria sit]].

Elementarna teoria liczb jest jej najstarszym działem; nie stosuje się w niej metod teorii funkcji analitycznych<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski |tytuł = Analytic Number Theory |data = 2004-06-08 |data dostępu = 2023-12-08 |isbn = 978-0-8218-3633-0 |czasopismo= Colloquium Publications |miejsce = Providence, Rhode Island |wydawca = American Mathematical Society |doi=10.1090/coll/053}}</ref>, jednakże w analitycznej teorii liczb stosuje się czasem metody elementarne<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cytuj |autor = D. Goldfeld |redaktor = David Chudnovsky, Gregory Chudnovsky, Melvyn Nathanson |tytuł = The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: An Historical Perspective |data = 2004 |data dostępu = 2023-12-08 |isbn = 978-1-4612-6490-3 |miejsce = New York, NY |wydawca = Springer New York |s = 179–192 |doi = 10.1007/978-1-4419-9060-0_10. isbn 978-0-387-40655-8. mr 2044518. |url = http://link.springer.com/10.1007/978-1-4419-9060-0_10 |język = en}}</ref>. Do najważniejszych osiągnięć metod elementarnych teorii liczb należą dowody [[Paul Erdős|Erdősa]] i [[Atle Selberg|Selberga]] [[Twierdzenie o liczbach pierwszych|twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych]] (ich dowody były niezależne, ale oba oparte na ''lemacie Selberga'')<ref name=":1" />. Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, algebraicznych (całkowitych i wymiernych) oraz (od niedawna) [[Liczby p-adyczne|liczb ''p''-adycznych]]<ref>{{Cytuj |autor = Zenon I. Borevič, Igorʹ R. Šafarevič, Zenon I. Borevič |tytuł = Number theory |data = 1987 |data dostępu = 2023-12-08 |isbn = 978-0-12-117851-2 |wydanie = 2. [print] |opis = Pure and applied mathematics |miejsce = Orlando |wydawca = Acad. Pr}}</ref>.

Według [[Henryk Iwaniec|Iwańca]] i [[Emmanuel Kowalski|Kowalskiego]], jako kryterium stosowane do tego, aby dane zagadnienie z teorii liczb można było zakwalifikować do analitycznej teorii liczb jest to, czy wykorzystuje się w nim [[Analiza zespolona|analizę zespoloną]]. Zamienne, jako kryterium można również uznać występowanie [[Analiza harmoniczna|analizy harmonicznej]]. Przez długi czas prace z analitycznej teorii liczb wykorzystywały jedynie abelową analizę harmoniczną (dot. [[Grupa przemienna|grup przemiennych]]). Współcześnie częściej wykorzystuje się również [[Automorfizm|funkcje automorficzne]]. Nowe metody wywodzą się m.in. z [[Analiza widmowa|analizy spektralnej]] i wyników [[Hans Maass|Maassa]] czy [[Atle Selberg|Selberga]]<ref name=":0" />.

Geometryczna teoria liczb korzysta z [[Geometria|geometrii]] do badania [[Liczby algebraiczne|liczb algebraicznych]]. [[Pierścień (matematyka)|Pierścień]] algebraicznych liczb całkowitych utożsamia się ze zbiorem [[Punkt kratowy|punktów kratowych]] w <math>\mathbb{R}^n</math><ref>{{Cytuj |tytuł = MSC2010 database |data dostępu = 2023-12-08 |opublikowany = mathscinet.ams.org |url = https://mathscinet.ams.org/msc/msc2010.html}}</ref>. Pierwsze prace z tej dziedziny zostały napisane przez [[Hermann Minkowski|Hermanna Minkowskiego]]<ref>{{Cytuj |autor = Hermann Minkowski |tytuł = Geometrie der Zahlen |data = 1910 |miejsce = Leipzig-Berlin |język = de}}</ref>.

Probabilistyczna teoria liczb korzysta z metod probabilistycznych do analizy zagadnień teorii liczb<ref>{{Cytuj |autor = Gérald Tenenbaum, Gérald Tenenbaum |tytuł = Introduction to analytic and probabilistic number theory |data = 1995 |data dostępu = 2023-12-08 |isbn = 978-0-521-41261-2 |opis = Cambridge studies in advanced mathematics |miejsce = Cambridge |wydawca = Cambridge Univ. Press}}</ref>. W szczególności, jest to np. [[centralne twierdzenie graniczne]]<ref>{{Cytuj |autor = Emmanuel Kowalski |tytuł = An Introduction to Probabilistic Number Theory |data = 2021-03-31 |data dostępu = 2023-12-08 |isbn = 978-1-108-88822-6 |wydawca = Cambridge University Press |doi=10.1017/9781108888226}}</ref>. Przykładowo, [[Kannan Soundararajan|Soundararajan]] i [[Maksym Radziwill|Radziwiłł]] korzystają z niego dla badania wartości logarytmu zespolonego funkcji zeta na linii krytycznej <math display="inline">\frac{1}{2}</math><ref>{{Cytuj |autor = Maksym Radziwiłł, Kannan Soundararajan |tytuł = Selberg’s central limit theorem for log ${{!}}\zeta(\tfrac 12+it){{!}}$ |czasopismo = L’Enseignement Mathématique |data = 2018-03-09 |data dostępu = 2023-12-08 |issn = 0013-8584 |wolumin = 63 |numer = 1 |s = 1–19 |doi = 10.4171/lem/63-1/2-1}}</ref>.

Kombinatoryczna teoria liczb korzysta w swoich badaniach z wyników teorii liczb, [[Kombinatoryka|kombinatoryki]], [[Analiza harmoniczna|analizy harmonicznej]] i [[Teoria ergodyczna|teorii ergodycznej]]. Przykładowo, [[twierdzenie Greena-Tao]] wykorzystuje [[twierdzenie Szemerédiego]] zmodyfikowane dla liczb pierwszych<ref>{{Cytuj |autor = Ben Green |tytuł = Book Review: Additive combinatorics |czasopismo = Bulletin of the American Mathematical Society |data = 2009-01-15 |data dostępu = 2023-12-08 |issn = 0273-0979 |wolumin = 46 |numer = 3 |s = 489–497 |doi = 10.1090/S0273-0979-09-01231-2 |url = http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0273-0979-09-01231-2 |język = en}}</ref><ref>{{Cytuj |autor = David Conlon, Jacob Fox, Yufei Zhao |tytuł = The Green-Tao theorem: an exposition |czasopismo = EMS Surveys in Mathematical Sciences |data = 2014 |data dostępu = 2023-12-08 |issn = 2308-2151 |wolumin = 1 |numer = 2 |s = 257–291 |doi = 10.4171/emss/6}}</ref>.

Niektórych gałęzi teorii liczb nie można jednoznacznie zaklasyfikować do danego działu, metody mogą się między nimi przeplatać. Przykładem może być [[teoria sit]], która korzysta przede wszystkim z twierdzeń elementarnych, ale bywa nazywana poddziedziną analitycznej teorii liczb, ponieważ korzysta z części jej wyników. Dodatkowo, w ostatnich pracach naukowych metody sit bywają często przeplatane z metodami analitycznej teorii liczb lub innych dziedzin<ref>{{cytuj | autor = [[Henryk Iwaniec]], Emmanuel Kowalski | tytuł = Analytic Number Theory | data = 2004-06-08 | isbn = 978-0-8218-3633-0 | wolumin = 53 | miejsce = Providence, Rhode Island | wydawca = American Mathematical Society | doi = 10.1090/coll/053 | język = en| dostęp = z}}</ref>.

== Historia ==
=== Starożytność i średniowiecze ===
[[Plik:Plimpton 322.jpg|mały|Gliniana tabliczka zapisana [[Pismo klinowe|pismem klinowym]], być może powiązana z [[Trójki pitagorejskie|trójkami pitagorejskimi]]]]

Początki teorii liczb sięgają starożytności; przykładowo starożytni mieszkańcy [[Mezopotamia|Mezopotamii]] oraz [[Starożytny Egipt|Egiptu]] mogli rozważać problem [[Trójki pitagorejskie|trójek pitagorejskich]]{{fakt|data=2022-02}}. Największe postępy w tej dziedzinie zrobiła jednak kultura [[Starożytna Grecja|starogrecka]]. Odnotowano serię postępów na przestrzeni niecałego tysiąclecia, od [[Okres klasyczny (starożytna Grecja)|okresu klasycznego]] do czasów [[Cesarstwo Rzymskie|cesarskiego panowania rzymskiego]]:

* [[Pitagorejczycy]] opisali:
** [[liczby niewymierne]] na przykładzie [[Pierwiastek kwadratowy z 2|pierwiastka kwadratowego z dwójki]];
** [[liczby zaprzyjaźnione]];
* o niewymierności pierwiastków z liczb naturalnych pisał też potem [[Teodor z Cyreny]];
* [[Euklides]] z Aleksandrii w dziele ''[[Elementy Euklidesa|Elementy]]'' wyłożył:
** [[algorytm Euklidesa]] znajdowania [[Największy wspólny dzielnik|największego wspólnego dzielnika]],
** dowód, że istnieje nieskończenie wiele [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]]<ref name="epwn" />;
** [[zasadnicze twierdzenie arytmetyki]] oparte na [[lemat Euklidesa|lemacie Euklidesa]];
** sposób znajdowania niektórych [[Liczby doskonałe|liczb doskonałych]];
* [[Eratostenes]]owi przypisuje się metodę znajdowania liczb pierwszych: [[sito Eratostenesa]];
* [[Diofantos]] został upamiętniony nazwą [[Równanie diofantyczne|równań diofantycznych]]<ref name="epwn" />.

Teorią liczb mógł się zajmować także [[Archimedes]], ale raczej marginesowo; {{fakt|nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić|data=2012-05}}.

Równolegle rozwijano matematykę w Indiach, w sposób komplementarny do tego greckiego i znaczący dla teorii liczb. [[Systemy pozycyjne]] uprościły wiele obliczeń i pozwoliły na sformułowanie [[Cecha podzielności|cech podzielności]] liczb całkowitych. Matematycy chińscy rozważali za to układy [[Arytmetyka modularna|kongruencji]], na temat których udowodnili [[chińskie twierdzenie o resztach]]. Uczeni [[Arabowie|arabscy]] mieli w tę dziedzinę ograniczony wkład – w matematyce skupili się na [[Trygonometria|trygonometrii]] i [[Algebra|algebrze]]{{odn|Iwaniec|1995|s=693}}, choć ta druga dziedzina później wpłynęła na rozwój teorii liczb.

W XIII-wiecznych [[Włochy|Włoszech]] kupiec [[Fibonacci|Leonardo Fibonacci]] podał jedną z metod generowania trójek pitagorejskich, a oprócz tego opisał [[ciąg Fibonacciego]], również istotny z punktu widzenia teorii liczb. Problem nieskończoności [[Liczby pierwsze Fibonacciego|liczb pierwszych w tym ciągu]] w lutym 2022 pozostaje otwarty.

=== XVII wiek ===
[[Plik:Pell's equation.svg|mały|Wykres przykładowego [[Równanie Pella|równania Pella]]; zaznaczono również jego podstawowe rozwiązania]]

XVII wiek to umowny początek nowożytnej teorii liczb i jej statusu samodzielnej nauki{{odn|Iwaniec|1995|s=693}}. Rozwijał ją wtedy [[Pierre de Fermat]] i miał w tej dziedzinie co najmniej pięć znaczących osiągnięć:
* [[małe twierdzenie Fermata]]<ref name="epwn" />, na którym opiera się m.in. [[test pierwszości Fermata]];
* hipoteza zwana [[Wielkie twierdzenie Fermata|Wielkim Twierdzeniem Fermata]], udowodniona potem w XX wieku<ref name="epwn" />;
* badania [[Liczby Fermata|liczb Fermata]]; wysunął hipotezę, że wszystkie z nich są [[Liczby pierwsze|liczbami pierwszymi]]. [[Leonhard Euler]] obalił ją kontrprzykładem, a do tej pory (luty 2022) nie znaleziono żadnego dalszego przykładu liczby pierwszej Fermata. Jest to sugestia, że prawdziwe może być [[twierdzenie przeciwne]] – brak liczb pierwszych Fermata dalszych niż te, które sam znalazł;
* [[twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów]];
* [[algorytm Fermata]] faktoryzacji liczb całkowitych.

W tym samym stuleciu:
* [[Marin Mersenne]] badał pewien ciąg liczbowy, nazwany potem [[Liczby Mersenne’a|liczbami Mersenne’a]]. Znalazł w nim nowe liczby pierwsze; w dalszych stuleciach znajdowano w nim jeszcze więcej takich liczb, co prowadzi do pytania, czy jest ich nieskończenie wiele. Znaleziono też związek liczb pierwszych Mersenne’a z rozważanymi od starożytności [[Liczby doskonałe|liczbami doskonałymi]]{{odn|Iwaniec|1995|s=694}};
* [[John Pell]] rozważał także pewne kwadratowe [[równanie diofantyczne]] nazwane potem od jego nazwiska ([[równanie Pella]]). Zrobił to jako pierwszy w Europie, choć już tysiąclecie wcześniej badali je matematycy indyjscy{{fakt|data=2022-02}}.

XVII wiek to także narodziny nowych dziedzin matematyki, które okazały się istotne dla teorii liczb:
* [[geometria analityczna]] dała nową, graficzną perspektywę na pewne fakty i problemy. Przykładowo rozwiązania równań diofantycznych to [[Punkt kratowy|punkty kratowe]] odpowiednich [[Krzywa|krzywych]] itp. figur w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]]; [[trójki pitagorejskie]] odpowiadają punktom kratowym [[Okrąg|okręgów]] o całkowitym promieniu. Geometria analityczna jest też korzeniem [[Geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]], blisko związanej z teorią liczb;
* [[Analiza matematyczna|analiza]] poszerzyła zakres badań arytmetyki i jej metody. Wprowadzona tam [[podstawa logarytmu naturalnego]] (''e'') stała się przedmiotem dociekań, a nowe tożsamości związane z [[Pi|liczbą pi]] (π) pozwoliły potem udowodnić jej niewymierność. Związki teorii liczb z analizą zacieśniły się później w XIX wieku;
* [[Teoria prawdopodobieństwa|probabilistyka]] dostarczyła teorii liczb nowych metod<ref name="epwn" />, m.in. [[algorytm]]ów{{fakt|data=2022-02}}.

=== XVIII wiek ===
[[Plik:Gamma-area.svg|mały|Wykres ilustrujący [[Stała Eulera|stałą Eulera-Mascheroniego]] (γ) – równą polu niebieskiego obszaru]]

W XVIII wieku [[Leonhard Euler]] – jak wspomniano wyżej – obalił hipotezę Fermata o [[Liczby Fermata|liczbach nazwanych jego nazwiskiem]]{{odn|Iwaniec|1995|s=694}}. Oprócz tego Euler:
* uogólnił [[małe twierdzenie Fermata]] na inne dzielniki (moduły), niekoniecznie pierwsze;
* podał rekordowo dużą liczbę pierwszą;
* w 1744 udowodnił, że suma odwrotności liczb pierwszych jest nieskończona (jest to [[szereg rozbieżny]]){{odn|Iwaniec|1995|s=720}}; rozszerzył tym znany wcześniej fakt o nieskończoności liczb pierwszych;
* wykazał, że każda parzysta [[Liczby doskonałe|liczba doskonała]] ma związek z liczbami pierwszymi [[Liczby Mersenne’a|Mersenne’a]]{{odn|Iwaniec|1995|s=694}};
* udowodnił, że [[podstawa logarytmu naturalnego]] (''e'') jest niewymierna. Był to pierwszy dowód niewymierności od czasów starożytnych{{fakt|data=2022-02}};
* wprowadził [[Stała Eulera|stałą nazywaną od jego nazwiska]], co zrobił potem niezależnie [[Lorenzo Mascheroni]]. Wymierność stałej γ była potem długo badana przez matematyków, a w lutym 2022 roku pozostaje to problem otwarty;
* wysunął pewną [[Hipoteza Eulera|hipotezę o sumach potęg]], jednak obalono ją w XX wieku metodami komputerowymi{{fakt|data=2022-02}}.

Postępy poczynili też inni matematycy:
* W 1719 roku [[Paul Halcke]] podał pierwszy przykład [[Cegiełka Eulera|cegiełki Eulera]], tj. [[prostopadłościan]]u o całkowitych krawędziach i przekątnych ścian. Jego rozwiązanie odpowiedniego układu równań diofantycznych to (44,117,240). Doprowadziło to do pytania o [[prostopadłościan idealny]], mający dodatkowo całkowitą przekątną (główną){{fakt|data=2022-02}}; w lutym 2022 problem pozostaje otwarty.
* [[Johann Heinrich Lambert]] udowodnił niewymierność liczby [[pi]] (π).
* [[Christian Goldbach]] wysunął pewną hipotezę o liczbach pierwszych, nazwaną potem [[Hipoteza Goldbacha|hipotezą Goldbacha]]. W XXI wieku ogłoszono dowód jej [[Słaba hipoteza Goldbacha|słabszej wersji]], w lutym 2022 czekający na pełną weryfikację.
* [[Joseph Louis Lagrange]] udowodnił [[Twierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych|twierdzenie nazwane jego nazwiskiem]]. Mówi ono, że każda liczba naturalna jest sumą czterech [[Liczby kwadratowe|kwadratów naturalnych]];
* [[Edward Waring]] rozwinął też badania [[Problem Waringa|problemu Waringa]]. Jego uczeń wysunął hipotezę nazywaną [[Twierdzenie Wilsona|twierdzeniem Wilsona]]; zostało udowodnione jeszcze w tamtym stuleciu przez [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange’a]] i jest [[Równoważność|warunkiem równoważnym]] pierwszości liczby naturalnej.

=== XIX wiek ===
[[Plik:Regular heptagon.svg|mały|[[Siedmiokąt]] foremny. Z [[Twierdzenie Gaussa-Wantzela|twierdzenia Gaussa-Wantzela]] oraz prostych obliczeń wynika, że figury tej nie da się [[Konstrukcje klasyczne|skonstruować klasycznie]]. To dlatego, że siedem jest liczbą nieparzystą, która nie jest iloczynem żadnych [[Liczby Fermata|liczb Fermata]] (3, 5, 17...)]]

XIX wiek to narodziny nowych gałęzi w teorii liczb:
* [[Carl Friedrich Gauss]] otworzył [[Algebraiczna teoria liczb|algebraiczną teorię liczb]], wprowadzając [[Kongruencja|kongruencje]], dowodząc [[Lemat Gaussa (teoria liczb)|lematu Gaussa]] i [[Prawo wzajemności reszt kwadratowych|prawa wzajemności reszt kwadratowych]]<ref name="epwn" />;
* [[Bernhard Riemann]] i [[August Ferdinand Möbius]] to pionierzy [[Analityczna teoria liczb|analitycznej teorii liczb]], w której wysunięto m.in. [[Hipoteza Riemanna|hipotezę Riemanna]];
* [[Joseph Liouville]] udowodnił istnienie [[Liczba przestępna|liczb przestępnych]]. [[Charles Hermite]] udowodnił, że należy do nich ''[[Podstawa logarytmu naturalnego|e]]'' (stała Eulera), a [[Ferdinand Lindemann]] wykazał przestępność [[pi]] (π). Pokrewnym tematem jest [[aproksymacja diofantyczna]] liczb niewymiernych, o której [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] udowodnił [[Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji|znaczące twierdzenie]];
* [[Hermann Minkowski]] zapoczątkował [[Geometria arytmetyczna|geometrię arytmetyczną]]<ref name="epwn" />.

Rozwinięto też „klasyczne” badania liczb naturalnych:
* w 1850 [[Pafnutij Czebyszew|Pafnutij Czebyszow]] udowodnił [[postulat Bertranda]] o rozmieszczeniu liczb pierwszych{{odn|Iwaniec|1995|s=721}}, przez co wynik ten nazwano również twierdzeniem Czebyszowa.
* [[Eugène Charles Catalan]] wysunął też [[Twierdzenie Mihăilescu|hipotezę]] o nierozwiązywalności pewnego [[Równanie diofantyczne|równana diofantycznego]]. Na rozstrzygnięcie czekała do XXI wieku.
* [[Twierdzenie Gaussa-Wantzela]] pokazało związek teorii liczb z geometrią płaską ([[Planimetria|planimetrią]]), a konkretniej teorią [[Konstrukcje klasyczne|konstrukcji klasycznych]]. Problem [[Liczby Fermata|liczb pierwszych Fermata]] okazał się istotny dla konstruowalności [[Wielokąt foremny|wielokątów foremnych]].

Ogłoszone na koniec stulecia 23 [[problemy Hilberta]] zawierały kilka pytań z teorii liczb jak hipotezy Riemanna i Golbacha.

=== XX wiek ===
[[Plik:Collatz-graph-50-no27.svg|mały|[[Graf skierowany]] przedstawiający zachowanie funkcji Collatza dla niektórych nieparzystych argumentów]]

Postęp w teorii liczb naturalnych był wieloraki – rozwiązano niektóre stare problemy oraz postawiono nowe:
* Najpóźniej wtedy sformułowano hipotezę o nieskończoności [[Liczby bliźniacze|bliźniaczych liczb pierwszych]]. [[Viggo Brun]] zredukował ten problem do badania wymierności [[Stałe Bruna|stałej nazwanej od jego nazwiska]] (''B''<sub>2</sub>).
* Pojawił się też [[problem Collatza]] o zachowaniu pewnej funkcji lub równoważnie – rodziny ciągów liczb naturalnych.
* [[Srinivasa Ramanujan]] zainspirował badania [[Liczby taksówkowe|liczb taksówkowych]] – pewnego rodzaju sum dwóch [[Sześcian (algebra)|sześcianów]] naturalnych;
* [[Hillel Furstenberg]] zastosował w teorii liczb [[Topologia|topologię]], podając nowy dowód twierdzenia Euklidesa o nieskończoności liczb pierwszych{{fakt|data=2022-02}}.
* Znaczące osiągnięcia przyniosły też obliczenia komputerowe – m.in.:
** obaliły [[Hipoteza Pólyi|hipotezę Pólyi]] o własnościach czynników pierwszych (1958);
** obaliły [[Hipoteza Eulera|hipotezę Eulera]] uogólniającą [[wielkie twierdzenie Fermata]] (1966){{fakt|data=2022-02}};
** rozwiązały jedno z sześciennych [[Równanie diofantyczne|równań diofantycznych]]: ''x''<sup>3</sup>+''y''<sup>3</sup>+''z''<sup>3</sup> = 30 (1999)<ref>{{Pismo Delta | url = 2022a/03/2022-03-delta-art-02-skalba.pdf | autor = Mariusz Skałba | tytuł = Popularne książki Sierpińskiego | data = marzec 2022 | data dostępu = 2022-03-15}}</ref>.
* W latach 90. [[Andrew Wiles]] udowodnił [[wielkie twierdzenie Fermata]] po przeszło 300 latach zmagań matematyków z tym problemem.
* Również w tamtej dekadzie [[Peter Shor]] opublikował [[Algorytm faktoryzacji Shora|nowy algorytm faktoryzacji]], aktywnie badany przez [[Informatyka kwantowa|informatykę kwantową]].
* W XX wieku rozwinięto też [[Test pierwszości|sprawdzanie pierwszości]], opracowując algorytmy o coraz lepszej [[Złożoność obliczeniowa|złożoności obliczeniowej]].

Naświetlono również same [[Aksjomaty i konstrukcje liczb|fundamenty]] arytmetyki liczb naturalnych. [[Kurt Gödel]] w swoim pierwszym [[Twierdzenia Gödla|twierdzeniu o niezupełności]] wykazał, że nie może ona być jednocześnie [[Zupełność|zupełna]] i [[Niesprzeczność|niesprzeczna]]. Wśród nowo poznanych liczb pierwszych znalazły się osobliwości jak [[Liczba pierwsza Belfegora|liczba Belfegora]]. Nie dość, że w zapisie dziesiętnym jest [[palindrom]]em, to jeszcze zawiera w nim [[Liczba Bestii|liczbę bestii]] (666), a liczba zer po obu stronach tego symbolu wynosi 13 – także oznakę nieszczęść.

Posunięto też badania nad [[Liczby niewymierne|niewymiernością]] i [[Liczba przestępna|przestępnością]]:
* w 1934 udowodniono [[twierdzenie Gelfonda-Schneidera]], rozwiązujące jeden z [[Problemy Hilberta|problemów Hilberta]]{{odn|Iwaniec|1995|s=713}};
* w latach 70. [[Mitchell Jay Feigenbaum]] w swoich pracach nad teorią [[Chaos (matematyka)|chaosu]] wprowadził dwie nowe stałe liczbowe, [[Stała Feigenbauma|nazwane jego nazwiskiem]] (α i δ). Ich wymierność stała się przedmiotem analiz;
* w 1979 roku [[Roger Apéry]] udowodnił, że suma ζ(3), nazwana potem [[Stała Apéry’ego|stałą Apéry’ego]], jest niewymierna.

Wiek XX przyniósł też zastosowania dla teorii liczb – w latach 70. rozbudowano [[Kryptografia klucza publicznego|kryptografię klucza publicznego]], w tym [[RSA (kryptografia)|szyfr RSA]]; opisano także pierwsze związki teorii liczb z fizyką.

Stulecie zwieńczono ogłoszeniem listy siedmiu [[Problemy milenijne|problemów millenijnych]]. Co najmniej dwa z nich mają bezpośredni związek z teorią liczb – jak [[hipoteza Riemanna]].

=== XXI wiek ===
[[Plik:Euler brick examples.svg|mały|Przykładowe [[Cegiełka Eulera|cegiełki Eulera]]; nie wiadomo, czy wśród figur tego typu znajduje się [[prostopadłościan idealny]] (stan na luty 2022)]]

Nowe tysiąclecie przyniosło między innymi:
* dowód [[Twierdzenie Mihăilescu|hipotezy Catalana]]; zrobił to [[Preda Mihăilescu]] w 2002 roku;
* [[twierdzenie Greena-Tao]] o [[Ciąg arytmetyczny|ciągach arytmetycznych]] wśród liczb pierwszych{{fakt|data=2022-02}}.

Ogłoszono też pewne sukcesy, które w lutym 2022 dalej czekają na pełną weryfikację, choć są aktywnie badane przez społeczność akademicką:
* [[Shin’ichi Mochizuki|Shinichi Mochizuki]] w 2012 roku przedstawił pracę, która jego zdaniem dowodzi [[Hipoteza ABC|hipotezy abc]];
* [[Harald Helfgott]] w 2013 roku zaproponował dowód [[Słaba hipoteza Goldbacha|słabej hipotezy Goldbacha]].

W 2018 roku [[Michael Atiyah]] ogłosił, że udało mu się udowodnić [[Hipoteza Riemanna|hipotezę Riemanna]] i zaprezentował swoją próbę dowodu. Została ona odrzucona przez matematyków jako błędna. Wiele innych problemów teorii liczb – także postawionych elementarnie – w lutym 2022 pozostaje nierozwiązanych. Niektóre z nich to:
* kwestia liczb pierwszych niektórych typów. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele [[Liczby pierwsze Fibonacciego|liczb pierwszych Fibonacciego]], [[Liczby Mersenne’a|Mersenne’a]], [[Liczby pierwsze Germain|Germain]], [[Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych|bliźniacznych]], [[Liczby czworacze|czworaczych]] ani czy istnieją jakiekolwiek liczby pierwsze w [[Liczby Fermata|ciągu Fermata]] poza pięcioma początkowymi wyrazami. Problem liczb pierwszych Mersenne’a ma konsekwencje dla teorii parzystych [[Liczby doskonałe|liczb doskonałych]] – nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele;
* [[hipoteza Goldbacha]];
* pytania dotyczące liczb całkowitych, ale nie wprost liczb pierwszych, np. [[prostopadłościan idealny]] i [[problem Collatza]]. Nie wiadomo też, czy istnieje jakakolwiek nieparzysta liczba doskonała ani czy ciąg [[Liczby zaprzyjaźnione|liczb zaprzyjaźnionych]] jest skończony;
* wymierność niektórych stałych jak [[Stała Eulera|Eulera-Mascheroniego]] (γ), [[Stała Feigenbauma|stałe Feigenbauma]] (α i δ) czy wartości [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcji dzeta Riemanna]] dla liczb nieparzystych większych od trzech: ζ(2''n''+1), ''n''>1. Niektóre problemy dotyczące liczb pierwszych sprowadzono do pytania o wymierność [[Stałe Bruna|stałych Bruna]] jak ''B''<sub>2</sub> i ''B''<sub>4</sub>;
* [[Liczba przestępna|przestępność]] niektórych liczb niewymiernych jak [[stała Apéry’ego]] ζ(3);
* zagadnienia obliczeniowe, np. czy [[Rozkład na czynniki|faktoryzacja]] liczb całkowitych należy do [[Problem P|problemów klasy P]] – tj. czy jej [[Złożoność obliczeniowa|złożoność]] może być [[wielomian]]owa.

{{związana kategoria|Otwarte problemy teorii liczb}}

== Teoria liczb w Polsce ==
[[Plik:A 150x150 Ulam spiral of dots with varying widths.svg|mały|Przykładowa ilustracja [[Spirala Ulama|spirali Ulama]] – na niebiesko zaznaczono [[liczby pierwsze]]]]
{{związana kategoria|Polscy teoretycy liczb}}

Wśród matematyków polskich znaczące wyniki w teorii liczb uzyskali między innymi:
* [[Wacław Sierpiński]]<ref name="epwn" /> – zob. [[liczby Sierpińskiego]], [[stała Sierpińskiego]];
* [[Stanisław Ulam]] – por. [[spirala Ulama]];
* [[Andrzej Schinzel]];
* [[Henryk Iwaniec]] – za swoje badania został nagrodzony m.in. [[Nagroda Shawa|Nagrodą Shawa]] w dziedzinie matematyki (2015);
* [[Stanisław Knapowski]].

Posiadaczem szeregu wyliczeniowych rekordów światowych jest [[Jarosław Wróblewski]]{{fakt|data=2022-02}}. Teorii liczb jest poświęcone polskie czasopismo „[[Acta Arithmetica]]”, założone w latach 30. XX w., później wydawane przez [[Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk]] (IM PAN).

Z polską narodowością i nauką polską bywa też wiązany [[Franciszek Mertens|Franz Mertens]] – pracownik m.in. [[Uniwersytet Jagielloński|Uniwersytetu Jagiellońskiego]], zajmujący się [[Analityczna teoria liczb|analityczną teorią liczb]]. Jego [[Funkcja Mertensa|hipoteza Mertensa]], implikująca [[Hipoteza Riemanna|hipotezę Riemanna]], okazała się jednak fałszywa – obalono ją w latach 80. XX w.{{fakt|data=2022-02}}.

== Ludzie ==
{{Grafika rozwinięta

| całkowita szerokość = 200
| liczba kolumn = 2

| grafika1 = Euclid statue, Oxford University Museum of Natural History, UK - 20080315.jpg
| grafika2 = Pierre de Fermat2.png
| grafika3 = Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg
| grafika4 = Andrew wiles1-3.jpg

| opis = Zasłużeni dla teorii liczb – w kolejnych wierszach:<br>
• [[Euklides]] z Aleksandrii (IV w. p.n.e.),<br>
• [[Pierre de Fermat]] (XVII w.),<br>
• [[Bernhard Riemann]] (XIX w.),<br>
• [[Andrew Wiles]] (XX–XXI w.)
}}
{{związana kategoria|Teoretycy liczb}}

Do znaczących naukowców w tej dziedzinie należą<ref name="epwn" />:
{{Układ wielokolumnowy |szerokość=20em <!-- od 8 do 23 --> |liczba=2 |
* [[Euklides]] z Aleksandrii (IV–III w. p.n.e.)
* [[Diofantos]] (III w. n.e.)
* Leonardo Pisano vel [[Fibonacci]] (1175–1250)
* [[Marin Mersenne]] (1588–1648)
* [[Pierre de Fermat]] (1601–1665)
* [[John Pell]] (1611–1685)
* [[Christian Goldbach]] (1690–1764)
* [[Leonhard Euler]] (1707–1783)
* [[Johann Heinrich Lambert]] (1728–1777)
* [[Adrien-Marie Legendre]] (1752–1833)
* [[Sophie Germain]] (1776–1831)
* [[Carl Friedrich Gauss]] (1777–1855)
* [[August Ferdinand Möbius]] (1790–1868)
* [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] (1804–1851)
* [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] (1805–1859)
* [[Gotthold Eisenstein]]<ref name="epwn" />,
* [[Joseph Liouville]] (1809–1882)
* [[Ernst Eduard Kummer]] (1810–1893)
* [[Eugène Charles Catalan]] (1814–1894)
* [[Pafnutij Czebyszew|Pafnutij Czebyszow]] (1821–1894)
* [[Joseph Louis François Bertrand]] (1822–1900)
* [[Leopold Kronecker]] (1823–1891)
* [[Bernhard Riemann]] (1826–1866)
* [[Richard Dedekind]] (1831–1916)
* [[Ferdinand Lindemann]] (1852–1939)
* [[David Hilbert]] (1862–1943)
* [[Hermann Minkowski]] (1864–1909)
* [[Viggo Brun]] (1882–1978)
* [[Wacław Sierpiński]] (1882–1969)
* [[George Pólya]] (1887–1985)
* [[Srinivasa Ramanujan]] (1887–1920)
* [[André Weil]] (1906–1998)
* [[Hillel Furstenberg]] (1935–)
* [[Andrew Wiles]] (1953–)
* [[Preda Mihăilescu]] (1955–)
* [[Terence Tao]] (1975–).
}}

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj |autor = [[Henryk Iwaniec]] |rozdział= Teoria liczb |tytuł = Leksykon matematyczny |wydawca = [[Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”]] |miejsce = Warszawa |data = 1995 |isbn = 83-214-0783-8 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} [[Wacław Sierpiński]], ''[http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.dl-catalog-a064b502-798f-4529-935f-9b132b5667dd?q=61bbbb1c-26a1-4b04-ada1-1a53e13d4b63$1&qt=IN_PAGE Teoria liczb]'', pldml.icm.edu.pl [dostęp 2022-02-16] – monografia z 1950 roku.
* {{MathWorld | adres = NumberTheory | tytuł = Number Theory}} [dostęp 2023-06-01].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Number_theory Number theory]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

{{Teoria liczb}}
{{Działy arytmetyki}}
{{Działy matematyki dyskretnej}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria liczb| ]]