Tekst źródłowy strony Szereg harmoniczny

{{Inne znaczenia|matematyki|[[szereg harmoniczny (muzyka)|artykuł dotyczący muzyki]]}}
'''Szereg harmoniczny''' – [[szereg (matematyka)|szereg]] liczbowy postaci<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3910130 | tytuł = szereg harmoniczny | data dostępu = 2022-07-19}}</ref>:
: <math>\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots</math><ref name=ES>{{Cytuj |tytuł = Matematyka |seria = Encyklopedia szkolna |miejsce = Warszawa |data = 1990 |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne |s = 277 |isbn = 83-02-02551-8}}</ref>

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego
: <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},</math>

nazywają się [[liczby harmoniczne|liczbami harmonicznymi]].

Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest [[średnia harmoniczna|średnią harmoniczną]] dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących<ref name=ES />:
: <math>\operatorname{H}\left(\frac{1}{n-1},\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2}{\left(\frac{1}{n-1}\right)^{-1}+\left(\frac{1}{n+1}\right)^{-1}} = \frac{2}{(n-1)+(n+1)}= \frac{1}{n}.</math>

Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

== Rozbieżność szeregu harmonicznego ==
Szereg harmoniczny jest [[granica ciągu|rozbieżny]] do nieskończoności{{odn|Jahnke|2003|s=118}}
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty.</math>

=== Dowód Mikołaja z Oresme ===
Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od [[Mikołaj z Oresme|Mikołaja z Oresme]] i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.
: <math>1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots+ \underbrace{\left(\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}}\right)}_{2^n\ \text{składników}} + \ldots</math>

Ponieważ
: <math>\frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}</math>
: <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ >\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}</math>
: <math>\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\ >\ \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} = \frac{1}{2}</math>

i ogólnie
: <math>\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}}\ >\ \underbrace{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}}}_{2^n\ \text{identycznych składników}} = \frac{1}{2},</math>

więc
: <math>H_{2^n}\geqslant 1+\tfrac{1}{2}n.</math>

Oznacza to, że ciąg sum częściowych <math>H_i</math> jest rozbieżny do <math>\infty</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=226}}.

=== Dowód Pietra Mengolego ===
W 1650 w pracy ''{{j|la|Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum}}'' dowód rozbieżności podał [[Pietro Mengoli]]<ref>{{Cytuj |autor = Krzysztof Maślanka |tytuł = Pietro Mengoli i szeregi liczbowe |czasopismo = Kwartalnik Historii Nauki i Techniki |data = 2004 |wolumin = 49 |numer = 1 |s = 47–64 |url = http://bazhum.muzhp.pl/media//files/Kwartalnik_Historii_Nauki_i_Techniki/Kwartalnik_Historii_Nauki_i_Techniki-r2004-t49-n1/Kwartalnik_Historii_Nauki_i_Techniki-r2004-t49-n1-s47-64/Kwartalnik_Historii_Nauki_i_Techniki-r2004-t49-n1-s47-64.pdf |data dostępu = 2019-02-08 |język = pl}}</ref>.

Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:
: <math>1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}\right)+\ldots</math>

Ponieważ
: <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > 1</math>
: <math>\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} > \frac{1}{2}</math>
: <math>\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10} > \frac{1}{3}</math>

i ogólnie
: <math>\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1} =\frac{27k^2-1}{3k(9k^2-1)}
=\frac{1}{k}+\frac{2}{3k(9k^2-1)}>\frac{1}{k},</math>

więc
: <math>H_{3k+1}>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}=1+H_k,</math>

co w efekcie daje
: <math>H_{3k+1}-H_k>1.</math>

Oznacza to, że ciąg sum częściowych <math>H_i</math> nie spełnia [[Ciąg Cauchy’ego|warunku Cauchy’ego]]; nie jest więc zbieżny.

=== Dowód Bradleya ===
Bradley podał w roku 2000<ref>D.M. Bradley, ''A note on the divergence of the harmonic series'', „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651.</ref> następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.

Dla dowolnej liczby <math>x > -1</math> spełniona jest nierówność
: <math>x \geqslant \ln(x + 1),</math>

a stąd
: <math>\frac{1}{k}\geqslant \ln\left(1+ \frac{1}{k}\right)= \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) = \ln(k+1) - \ln k.</math>

Ciąg sum częściowych można więc oszacować:
: <math>\begin{align}H_n & = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \geqslant \sum_{k=1}^n (\ln(k+1) - \ln k) = \ln(n+1). \end{align}</math>

Ponieważ
: <math>\lim_{n \to \infty} \ln(n + 1) = \infty,</math>

zachodzi
: <math>\lim_{n \to \infty} H_n= \infty.</math>

== Ciąg liczb harmonicznych ==
Ciąg [[liczby harmoniczne|liczb harmonicznych]] <math>(H_n)</math> jest rozbieżny do <math>\infty,</math> ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:
: <math>\lim_{n \to \infty} (\ H_n - \ln(n)\ ) = \gamma,</math>

gdzie <math>\gamma</math> = 0,5772156649… jest tzw. [[stała Eulera|stałą Eulera]]. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja [[logarytm naturalny]]. Dokładniejsze oszacowanie liczby <math>H_n</math> jest dane wzorem
: <math>H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{12 n^2} + O \left( \frac{1}{n^4} \right).</math>

== Niektóre uogólnienia ==
'''Uogólniony szereg harmoniczny''' postaci
: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{an+b}</math>

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach <math>a \ne 0, b\in \mathbb{R}, an+b \ne 0.</math>

[[Leonhard Euler|Euler]] udowodnił rozbieżność szeregu
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n},</math>

gdzie <math>p_n</math> jest <math>n</math>-tą [[Liczby pierwsze|liczbą pierwszą]].

== Szeregi harmoniczne wyższych rzędów ==
'''Szeregiem harmonicznym rzędu α''' nazywa się szereg postaci:
: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}=1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\frac{1}{4^\alpha}+\ldots</math><ref name=ES />

Szereg ten jest [[zbieżność|zbieżny]] dla <math>\alpha > 1</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=227}} i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by <math>\alpha</math> przyjmowało wartości [[liczby zespolone|zespolone]] i każdej liczbie <math>\alpha,</math> dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji '''[[Funkcja dzeta Riemanna|dzeta]]''' <math>\zeta</math> [[Bernhard Riemann|Riemanna]]:
: <math>\zeta(\alpha) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}.</math>

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w [[teoria liczb|teorii liczb]]. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj [[hipoteza Riemanna]].

Ponadto, [[szereg naprzemienny]]
: <math>\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = \ln 2.</math>

jest zbieżny, jednak tylko [[Szereg (matematyka)#Zbieżność bezwzględna i warunkowa|warunkowo]]. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji [[logarytm naturalny]] w [[Wzór Taylora|szereg Taylora]].

Natomiast szereg:
: <math>\sum_{n = 1}^\infty \epsilon_n\frac{1}{n},</math>

gdzie <math>\epsilon_n</math> to [[Zmienna losowa|zmienne losowe]] przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny [[prawie na pewno]]. Wynika to z [[Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach|twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach]], bo [[Wartość bezwzględna|wartości bezwzględne]] zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe <math>\frac{1}{n^2},</math> co jest szeregiem zbieżnym.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Fichtenholz |imię = Grigorij Michajłowicz |autor link = Grigorij Fichtenholz |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy |tom = 2 |miejsce = Warszawa |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |rok = 1966 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |imię=Hans Niels |nazwisko=Jahnke |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |data dostępu = 2021-07-19 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = American Mathematical Society |oclc = 51607350 |odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=en4J-c34dxk Sławny dowód rozbieżności szeregu harmonicznego]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 13 sierpnia 2016 [dostęp 2024-06-22].

{{Ciągi liczbowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Szeregi|harmoniczny]]