Tekst źródłowy strony Symbol q-Pochhammera

{{spis treści}}
'''Symbol <math>q</math>-Pochhammera''' – [[q-analog|<math>q</math>-analog]] zwykłego [[symbol Pochhammera|symbolu Pochhammera]]. Definiuje się ją wzorem
: <math>(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k) = (1-a)(1-aq)(1-aq^2) \dots (1-aq^{n-1}).</math>

Symbol <math>q</math>-Pochhammera jest zasadniczym elementem konstrukcyjnym <math>q</math>-analogów; na przykład w teorii [[podstawowy szereg hipergeometryczny|podstawowych szeregów hipergeometrycznych]] (lub <math>q</math>-szereg hipergeometryczny; ang. ''basic hypergeometric series'', ''hypergeometric <math>q</math>-series'') odgrywa on tę samą rolę, co zwykły symbol Pochhammera w teorii [[szereg hipergeometryczny|szeregów hipergeometrycznych]].

W przeciwieństwie do zwykłego symbolu Pochhammera symbol <math>q</math>-Pochhammera może być rozwinięty w [[iloczyn nieskończony]]:
: <math>(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^\infty (1-aq^k).</math>

Jest to [[funkcja holomorficzna]] zmiennej <math>q</math> we wnętrzu [[Okrąg jednostkowy|koła jednostkowego]], może być ona również rozważana jako [[formalny szereg potęgowy]] zmiennej <math>q.</math> Przypadek szczególny
: <math>\phi(q) = (q;q)_\infty = \prod_{k=1}^\infty (1-q^k)</math>

jest znany jako [[Funkcja φ|funkcja Eulera]] i jest ważny w [[kombinatoryka|kombinatoryce]], [[teoria liczb|teorii liczb]] i teorii [[forma modularna|form modularnych]].

<math>q</math>-szereg to [[szereg (matematyka)|szereg]], którego współczynnikami są funkcje zmiennej <math>q,</math> zazwyczaj zależne od <math>q</math> poprzez symbole <math>q</math>-Pochhammera.

== Tożsamości ==
Skończony iloczyn może być wyrażony jako iloczyn nieskończony postaci
: <math>(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty},</math>

który rozszerza definicję na ujemne liczby całkowite <math>n.</math> Dla nieujemnych <math>n</math> otrzymuje się więc
: <math>(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}</math>

oraz
: <math>(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}.</math>

Symbol <math>q</math>-Pochhammera jest przedmiotem wielu tożsamości <math>q</math>-szeregów, w szczególności rozwinięć szeregów nieskończonych
: <math>(x;q)_\infty = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n</math>

oraz
: <math>\frac{1}{(x;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n},</math>

które są przypadkami szczególnymi [[twierdzenie o q-dwumianie|twierdzenia o <math>q</math>-dwumianie]]:
: <math>\frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n.</math>

== Interpretacja kombinatoryczna ==
{{Zobacz też|rozbicie zbioru}}
Symbol <math>q</math>-Pochhammera jest blisko związany z kombinatoryką zliczania podziałów. Współczynnik <math>q^m a^n</math> w
: <math>(a;q)_\infty^{-1} = \prod_{k=0}^\infty (1-aq^k)^{-1}</math>

jest liczbą podziałów <math>m</math> na co najwyżej <math>n</math> części.

Z własności sprzężenia podziałów liczba ta jest równa liczbie podziałów <math>m</math> na części wielkości co najwyżej <math>n,</math> utożsamienie szeregów generujących daje tożsamość wspomnianą w powyższej sekcji:
: <math>(a;q)_\infty^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \left(\prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j} \right) a^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{(q;q)_k}.</math>

Jest też, że współczynnik <math>q^m a^n</math> w
: <math>(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^\infty (1+aq^k)</math>

jest liczbą podziałów <math>m</math> na <math>n</math> bądź <math>n - 1</math> różnych części.

Usunąwszy podział trójkątny o <math>n-1</math> częściach z takiego podziału uzyskuje się arbitralny podział na co najwyżej <math>n</math> części. Daje to zachowującą wagę [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcję]] między zbiorem podziałów na <math>n</math> lub <math>n-1</math> różnych części oraz zbiorem par składających się z podziałów trójkątnych o <math>n-1</math> częściach i podziałem na co najwyżej <math>n</math> części. Utożsamienie szeregów generujących prowadzi do następującej tożsamości:
: <math>(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^\infty (1+aq^k)
= \sum_{k=0}^\infty \left(q^{k\choose 2} \prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j}\right) a^k
= \sum_{k=0}^\infty \frac{q^{k\choose 2}}{(q;q)_k} a^k,</math>

również opisanej w sekcji wyżej.

Samo twierdzenie o <math>q</math>-dwumianie może być także opisane za pomocą bardziej kombinatorycznych argumentów podobnego rodzaju.

== Konwencja wielu argumentów ==
Ponieważ tożsamości zawierające symbole <math>q</math>-Pochhammera często zawierają iloczyny wielu symboli, standardową konwencją jest zapis iloczynu jako pojedynczego symbolu wieloargumentowego:
: <math>(a_1, a_2, \dots, a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \dots (a_m;q)_n.</math>

== Związek z <math>q</math>-nawiasem i <math>q</math>-dwumianem ==
Zauważając, iż
: <math>\lim_{q \to 1} \frac{1-q^n}{1-q}=n,</math>

można zdefiniować <math>q</math>-analog ''n'', znany także jako '''<math>q</math>-nawias''' lub '''<math>q</math>-liczbę''' ''n'' jako
: <math>[n]_q = \frac{1-q^n}{1-q}.</math>

Za jego pomocą można zdefiniować <math>q</math>-analog [[silnia|silni]], '''<math>q</math>-silnię''', jako
: <math>\begin{align} \big[n]_q! & = [1]_q [2]_q \dots [n-1]_q [n]_q \\[1ex]
& = \frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \dots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} \\[1ex]
& = 1(1 + q) \dots (1 + q + \ldots + q^{n-2})(1 + q + \ldots + q^{n-1}) \\[1ex]
& = \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.
\end{align}</math>

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się, dążąc z <math>q</math> do <math>1.</math> Może to być interpretowane jako liczba [[flaga (algebra liniowa)|flag]] w <math>n</math>-wymiarowej [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] nad ciałem <math>q</math>-elementowym; biorąc granicę przy <math>q</math> dążącym do <math>1,</math> uzyskuje się interpretację uporządkowania zbioru ([[permutacja|permutacji]]) jako flagi w przestrzeni liniowej nad [[ciało jednoelementowe|ciałem jednoelementowym]].

Za pomocą <math>q</math>-silnii można zdefiniować [[dwumian Gaussa|'''współczynniki <math>q</math>-dwumianowe''']], znane również jako '''współczynniki Gaussa''', '''wielomiany Gaussa''' bądź '''dwumiany Gaussa''':
: <math>\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q = \frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.</math>

Można sprawdzić, że
: <math>\begin{bmatrix} n+1 \\ k \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q + q^{n-k+1} \begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q.</math>

Definiuje się również <math>q</math>-analog [[funkcja Γ|funkcji Gamma]] nazywany '''funkcją <math>q</math>-Gamma''':
: <math>\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}.</math>

Zachodzą wzory
: <math>\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x)</math>

oraz
: <math>\Gamma_q(n+1)=[n]_q!.</math>

Funkcja <math>q</math>-Gamma zbiega do zwykłej funkcji Gamma wraz z <math>q</math> dążącym do <math>1</math> wewnątrz koła jednostkowego.

== Zobacz też ==
* [[q-pochodna|<math>q</math>-pochodna]]

== Bibliografia ==
* George Gasper i Mizan Rahman, ''Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition'', (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, '''96''', Cambridge University Press, Cambridge. {{ISBN|0-521-83357-4}}.
* Roelof Koekoek i Rene F. Swarttouw, ''[http://fa.its.tudelft.nl/~koekoek/askey/ The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues]'', rozdział 0.2.

== Linki zewnętrzne ==
* {{lang|en}} {{MathWorld|adres=q-Analog|tytuł=<math>q</math>-analog}}
* {{lang|en}} {{MathWorld|adres=q-Bracket|tytuł=<math>q</math>-nawias}}
* {{lang|en}} {{MathWorld|adres=q-Factorial|tytuł=<math>q</math>-silnia}}
* {{lang|en}} {{MathWorld|adres=q-BinomialCoefficient|tytuł=Współczynnik <math>q</math>-dwumianowy}}

[[Kategoria:Teoria liczb]]
[[Kategoria:Q-analogi]]