Tekst źródłowy strony Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a

'''Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a''' ([[język angielski|ang.]] ''generalized Laguerre polynomials'', ''associated Laguerre polynomials'') – [[wielomiany ortogonalne]] zdefiniowane w sposób:
: <math>L_n^{(\alpha)}(x) \stackrel\mathrm{df}{=} \frac{x^{- \alpha} e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x} x^{n+\alpha} \right).</math>

''Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a'' stanowią rozwiązanie następującego równania różniczkowego II rzędu zwanego [[Stowarzyszone równanie Laguerre’a|stowarzyszonym równaniem Laguerre’a]]:
: <math>x \frac{d^2 f(x)}{dx^2} + (\alpha + 1 - x) \frac{d f(x)}{dx} + n f(x) = 0.</math>

''Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a'' są uogólnieniem ‘zwykłych’ [[Wielomiany Laguerre’a|wielomianów Laguerre’a]] <math>L_n(x),</math> które stanowią szczególny przypadek wielomianów stowarzyszonych dla <math>\alpha = 0{:}</math>
: <math>L_n(x) = L_n^{(0)}(x)</math>

== Początkowe stowarzyszone wielomiany Laguerre’a ==
: <math>L_0^{(\alpha)}(x) = 1</math>
: <math>L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha + 1</math>
: <math>L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{2} x^2 - (\alpha + 2) x + \frac{(\alpha + 1)(\alpha + 2)}{2}</math>
: <math>L_3^{(\alpha)}(x) = -\frac{1}{6} x^3 + \frac{\alpha + 3}{2} x^2 - \frac{(\alpha + 2)(\alpha + 3)}{2} x + \frac{(\alpha + 1)(\alpha + 2)(\alpha + 3)}{6}</math>

: <math>L_1^1 (x) = -1</math>
: <math>L_2^1 (x) = 2x - 4</math>
: <math>L_2^2 (x) = 2</math>
: <math>L_3^1 (x) = -3 x^2 + 18 x -18</math>
: <math>L_3^2 (x) = -6 x + 18</math>
: <math>L_3^3 (x) = -6</math>
: <math>L_4^1 (x) = 4 x^3 - 48 x^2 + 144 x - 96</math>
: <math>L_4^2 (x) = 12 x^2 - 96 x + 144</math>
: <math>L_4^3 (x) = 24 x - 96</math>
: <math>L_4^4 (x) = 24</math>

== Własności stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a ==
Dla naturalnych <math>\alpha</math> pierwszy wyraz wielomianu ma współczynnik:
: <math>C_0 = \frac{(-1)^n}{n!},</math>

a wartość wielomianu w punkcie 0 wynosi:
: <math>L_n^{(\alpha)}(0) = \binom{n + \alpha}{n}.</math>

Stowarzyszony wielomian Laguerre’a <math>L_n^{(\alpha)}(x)</math> posiada <math>n</math> pierwiastków rzeczywistych zawartych w przedziałach <math>\left( 0; n + \alpha + (n-1) \sqrt{n+\alpha} \right].</math>

== Wzory rekurencyjne ==
Wzory te pozwalają na wyznaczanie wielomianów wyższego rzędu korzystając z wielomianów niższego rzędu lub wielomianów o wyższych górnych wskaźnikach, korzystając z wielomianów o niższych górnych wskaźnikach:
: <math>L_n^{(\alpha+\beta+1)}(x+y)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) L_{n-i}^{(\beta)}(y),</math>

: <math>L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n L_{n-i}^{(\alpha+i)}(y)\frac{(y-x)^i}{i!},</math>

: <math>L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x),</math>

: <math>L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x),</math>

: <math>L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x),</math>

: <math>L_n^{(\alpha)}(x) = L_n^{(\alpha+1)}(x) - L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) = \sum_{j=0}^k {k \choose j} L_{n-j}^{(\alpha-k+j)}(x),</math>

: <math>\begin{align}
n L_n^{(\alpha)}(x) & = (n + \alpha )L_{n-1}^{(\alpha)}(x) - x L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) \\
& \text{or } \frac{x^k}{k!}L_n^{(\alpha)}(x) = \sum_{i=0}^k (-1)^i {n+i \choose i} {n+\alpha \choose k-i} L_{n+i}^{(\alpha-k)}(x),
\end{align},</math>

: <math>n L_n^{(\alpha+1)}(x) =(n-x) L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) + (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x),</math>

: <math>x L_n^{(\alpha+1)}(x) = (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha)}(x),</math>

: <math>\begin{align}
L_n^{(\alpha)}(x)&= \left(2+\frac{\alpha-1-x}n \right) L_{n-1}^{(\alpha)}(x)- \left(1+\frac{\alpha-1}n \right) L_{n-2}^{(\alpha)}(x) \\[1ex]
&= \frac{\alpha+1-x}n L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)- \frac x n L_{n-2}^{(\alpha+2)}(x)
\end{align},</math>

: <math>\frac{(-x)^i}{i!} L_n^{(i-n)}(x) = \frac{(-x)^n}{n!} L_i^{(n-i)}(x),</math>

: <math>\begin{align}
\frac{L_n^{(\alpha)}(x)}{n+ \alpha \choose n} &= 1- \sum_{j=1}^n \frac{x^j}{\alpha + j} \frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!} \\
&= 1-\sum_{j=1}^n (-1)^j \frac{j}{\alpha + j} {n \choose j}L_n^{(-j)}(x) \\
&= 1-x \sum_{i=1}^n \frac{L_{n-i}^{(-\alpha)}(x) L_{i-1}^{(\alpha+1)}(-x)}{\alpha +i}.
\end{align}.</math>

== Pochodne stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a ==
Podstawowy wzór na pochodną rzędu <math>k</math> stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:
: <math>\frac{d^k}{d x^k} L_n^{(\alpha)} (x) = (-1)^k L_{n-k}^{(\alpha+k)} (x).</math>

W szczególności dla pierwszej pochodnej stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a mamy:
: <math>\frac{d}{d x} L_n^{(\alpha)} (x) = -L_{n-1}^{(\alpha+1)} (x).</math>

Wzór na pochodną rzędu <math>k</math> iloczyn funkcji potęgowej i stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:
: <math>\frac{1}{k!} \frac{d^k}{d x^k} \left\{ x^\alpha L_n^{(\alpha)} (x) \right\} = {n+\alpha \choose k} x^{\alpha-k} L_n^{(\alpha-k)}(x).</math>

W szczególności dla pierwszej pochodnej mamy:
: <math>\frac{d}{d x} \left\{ x^\alpha L_n^{(\alpha)} (x) \right\} = (n + \alpha) x^{\alpha-1} L_n^{(\alpha-1)}(x).</math>

Pochodna stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a względem parametru <math>\alpha{:}</math>
: <math>\frac{d}{d \alpha} L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{n-i} L_n^{(\alpha)} (x).</math>

== Ortogonalność stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a ==
Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a są ortogonalne w przedziale <math>[0; \infty]</math> z funkcją wagową <math>x^\alpha e^{- x}</math>
: <math>\int_0^\infty x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x) L_m^{(\alpha)}(x) dx = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!} \delta_{n,m}.</math>

W szczególności dla <math>n = m</math> mamy:
: <math>\int_0^\infty x^{\alpha +1} e^{-x} \left[ L_n^{(\alpha)}(x) \right]^2 dx = \frac{(n+\alpha)!}{n!} (2n + \alpha + 1).</math>

== Zastosowania ==
Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a pojawiają się w rozwiązaniach równania Helmholza w sferycznym układzie współrzędnych. Występują też w rozwiązaniu [[Równanie Schrödingera|równania Schrödingera]] dla modelu atomu wodoru.

== Bibliografia ==
* Bayin S.S.: ''Mathematical Methods in Science and Engineering'', Wiley, (2006).
* Spain B., Smith M.G.: ''Functions of Mathematical Physics'', Van Nostrand Reinhold Company, London, (1970).
* Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: ''Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy'', Moskva, (1971).

[[Kategoria:Funkcje specjalne]]
[[Kategoria:Wielomiany ortogonalne]]