Tekst źródłowy strony Stowarzyszone funkcje Legendre’a

{{dopracować|źródła=2019-11}}
'''Stowarzyszone funkcje Legendre’a (stowarzyszone wielomiany Legendre’a)''' – [[Funkcja|funkcje]] <math>P_l^m(x)</math> zmiennej rzeczywistej <math>x \in [-1,1],</math> będące '''kanonicznymi''' rozwiązaniami '''równania różniczkowego Legendre’a'''
: <math>\left[ (1-x^2)\frac{d^2}{dx^2} - 2x\frac{d}{dx}+ \lambda - \frac{m^2}{1-x^2} \right] f(x) = 0,</math>

gdzie <math>\lambda, m</math> – '''parametry''' równania.

Równanie to ma niezerowe i nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb całkowitych <math>\lambda, m,</math> takich że

(1) <math>\lambda = l(l+1)</math> oraz

(2) <math>l, m</math> są liczbami całkowitymi, takimi że <math>0\leqslant m \leqslant l.</math>

Funkcje te są związane z [[Wielomiany Legendre’a|wielomianami Legendre’a]] <math>P_l(x)</math> zależnością
: <math>P^m_l(x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_l(x).</math>

Stowarzyszone funkcje Legendre’a stanowią zasadniczą część tzw. [[harmoniki sferyczne|harmonik sferycznych]].

== Ogólne rozwiązanie równania Legendre’a ==
Ogólne rozwiązanie <math>f(x)</math> można wyrazić za pomocą [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] dwóch lub większej liczby funkcji <math>P_l^m(x)</math> o różnych wartościach parametrów <math>l, m.</math> Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie [[Zagadnienie Cauchy’ego|warunki początkowe]] lub brzegowe.

== Przykłady wielomianów Legendre’a <math>P_l^m(x)</math> ==
[[Plik:Associated legendre functions 4.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Associated_legendre_functions_4.svg|prawo|469x469px|Associated Legendre functions for m = 4]]
Kilka pierwszych stowarzyszonych wielomianów Legendre’a, włączając te z ujemnymi wartościami <math>m,</math> są następujące:

'''(0)'''
: <math>P_0^0(x)=1</math>
'''(1)'''
: <math>\begin{alignat}{1}
&P_1^{-1}(x)\ &= -\tfrac{1}{2}P_1^1(x) \\
&P_1^0(x)\ &= x \\
&P_1^1(x)\ &= -(1-x^2)^{1/2}
\end{alignat}</math>
'''(2)'''
: <math>\begin{alignat}{1}
&P_2^{-2}(x)\ &= \tfrac{1}{24}P_2^2(x) \\
&P_2^{-1}(x)\ &= -\tfrac{1}{6}P_2^1(x) \\
&P_2^0(x)\ &= \tfrac{1}{2}(3x^2-1) \\
&P_2^1(x)\ &= -3x(1-x^2)^{1/2} \\
&P_2^2(x)\ &= 3(1-x^2)
\end{alignat}</math>
'''(3)'''
: <math>\begin{alignat}{1}
&P_3^{-3}(x)\ &= -\tfrac{1}{720}P_3^3(x) \\
&P_3^{-2}(x)\ &= \tfrac{1}{120}P_3^2(x) \\
&P_3^{-1}(x)\ &= -\tfrac{1}{12}P_3^1(x) \\
&P_3^0(x)\ &= \tfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\
&P_3^1(x)\ &= -\tfrac{3}{2}(5x^2-1)(1-x^2)^{1/2} \\
&P_3^2(x)\ &= 15x(1-x^2) \\
&P_3^3(x)\ &= -15(1-x^2)^{3/2}
\end{alignat}</math>
'''(4)'''
: <math>\begin{alignat}{1}
&P_4^{-4}(x)\ &= \tfrac{1}{40320}P_4^4(x) \\
&P_4^{-3}(x)\ &= -\tfrac{1}{5040}P_4^3(x) \\
&P_4^{-2}(x)\ &= \tfrac{1}{360}P_4^2(x) \\
&P_4^{-1}(x)\ &= -\tfrac{1}{20}P_4^1(x) \\
&P_4^0(x)\ &= \tfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\
&P_4^1(x)\ &= -\tfrac{5}{2}(7x^3-3x)(1-x^2)^{1/2} \\
&P_4^2(x)\ &= \tfrac{15}{2}(7x^2-1)(1-x^2) \\
&P_4^3(x)\ &= -105x(1-x^2)^{3/2} \\
&P_4^4(x)\ &= 105(1-x^2)^2
\end{alignat}</math>

== Funkcje Legendre’a wyrażone za pomocą kąta <math>\theta</math> ==
=== Funkcje <math>P_{l }^m(\cos \theta )</math> ===
Stowarzyszone funkcje Legendre’a są najbardziej użyteczne, gdy ich argument wyrazi się w funkcji kąta: podstawiając do równania Legendre’a (por. wstęp do artykułu) wielkość <math>x = \cos\theta</math> oraz używając relacji <math>(1 - x^2)^{1/2} = \sin\theta</math> otrzymuje się równanie różniczkowe zależne od '''dwóch parametrów''' <math>\lambda, m</math> postaci
: <math>\left[\frac{d^2}{d\theta^2} + \operatorname{ctg} \theta \frac{d}{d\theta} + \lambda - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\,f(\theta) = 0.</math>

Rozwiązaniami tego równania są funkcje <math>P_l^m(\cos \theta )</math> zmiennej <math>\theta \in [0, \pi]</math> takie że
: <math>P_l^m(\cos\theta) = (-1)^m (\sin \theta)^m\ \frac{d^m}{d(\cos\theta)^m}P_l(\cos\theta),</math>

gdzie <math>P_l(\cos \theta)</math> [[Wielomiany Legendre’a|wielomianami Legendre’a]] z argumentem <math>x = \cos\theta,</math> przy czym rozwiązania są nieosobliwe tylko gdy spełnione są warunki:

(1) <math>\lambda = l(l+1)</math> oraz

(2) <math>l, m</math> są liczbami całkowitymi, takimi że <math>0\leqslant m \leqslant l.</math>

=== Relacje ortogonalności ===
'''(1)''' Dla ustalonego <math>m</math> funkcje <math>P_l^m(\cos\theta)</math> z parametrem <math>\theta \in [0, \pi]</math> są ortogonalne z wagą <math>\sin\theta</math>
: <math>\int_0^\pi P_k^m(\cos\theta) P_l^m(\cos\theta)\,\sin\theta\,d\theta = \frac{2 (l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}\ \delta_{k,l},</math>

'''(2)''' Także, dla danego <math>l</math> mamy
: <math>\int_0^\pi P_l^m(\cos\theta) \, P_l^n(\cos\theta) \operatorname{cosec}(\theta)\,d\theta = \begin{cases} 0 & \text{if } m\neq n \\ \frac{(l+m)!}{m(l-m)!} & \text{if } m=n\neq0 \\ \infty & \text{if } m=n=0.\end{cases}</math>

=== Ogólne rozwiązanie ===
Ogólne rozwiązanie <math>f(\theta)</math> można wyrazić za pomocą [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] dwóch lub większej liczby funkcji <math>P_l^m(\cos \theta)</math> o różnych wartościach parametrów <math>l, m.</math> Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie [[Zagadnienie Cauchy’ego|warunki początkowe]] lub brzegowe.

== Przykłady stowarzyszonych funkcji Legendre’a <math>P_l^m(\cos\theta)</math> ==
<math>\begin{align}
P_0^0(\cos\theta) & = 1 \\[8pt]
P_1^0(\cos\theta) & = \cos\theta \\[8pt]
P_1^1(\cos\theta) & = -\sin\theta \\[8pt]
P_2^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (3\cos^2\theta-1) \\[8pt]
P_2^1(\cos\theta) & = -3\cos\theta\sin\theta \\[8pt]
P_2^2(\cos\theta) & = 3\sin^2\theta \\[8pt]
P_3^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (5\cos^3\theta-3\cos\theta) \\[8pt]
P_3^1(\cos\theta) & = -\tfrac{3}{2} (5\cos^2\theta-1)\sin\theta \\[8pt]
P_3^2(\cos\theta) & = 15\cos\theta\sin^2\theta \\[8pt]
P_3^3(\cos\theta) & = -15\sin^3\theta \\[8pt]
P_4^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{8} (35\cos^4\theta-30\cos^2\theta+3) \\[8pt]
P_4^1(\cos\theta) & = -\tfrac{5}{2} (7\cos^3\theta-3\cos\theta)\sin\theta \\[8pt]
P_4^2(\cos\theta) & =  \tfrac{15}{2} (7\cos^2\theta-1)\sin^2\theta \\[8pt]
P_4^3(\cos\theta) & = -105\cos\theta\sin^3\theta \\[8pt]
P_4^4(\cos\theta) & = 105\sin^4\theta
\end{align}</math>

== Zastosowania w fizyce ==
{{Osobny artykuł|Harmoniki sferyczne}}

=== Równania opisujące układy i pola o symetrii sferycznej ===
Stowarzyszone wielomiany Legendre’a są głównymi składnikami rozwiązań równań fizycznych w wielu sytuacjach, gdy układy i pola mają symetrią sferyczną. Np. [[równanie Schrödingera]] zapisane dla atomu wodoru, gdy na atom nie działa żadne pole zewnętrzne (np. pole magnetyczne) ma symetrię sferyczną. W takich sytuacjach wygodnie jest zapisać równanie różniczkowe w układzie współrzędnych sferycznych <math>r, \phi, \theta</math> i rozwiązać je metodą separacji zmiennych. Część równania, która zostaje po odrzuceniu części radialnej zależnej od <math>r,</math> ma zwykle postać <math>\Delta\psi(\theta, \phi) + \lambda\,\psi(\theta, \phi) = 0,</math> przy czym <math>\Delta</math> oznacza [[operator Laplace’a]] zapisany we współrzędnych sferycznych, przy założeniu '''stałości współrzędnej radialnej''' <math>r.</math> Rozwiązaniami tego równania są tzw. harmoniki sferyczne, będące iloczynami wielomianów Legendre’a (zależnych od kąta <math>\theta</math>) i funkcji zależnych od kąta <math>\phi.</math>

=== Równanie <math>\Delta\psi + \lambda\psi = 0</math> ===
Wielomiany Legendre’a stanowią główny składnik rozwiązania równania <math>\Delta\psi + \lambda\psi = 0</math> określonego na powierzchni sfery dla zmiennych <math>\phi, \theta.</math> Zapisując [[operator Laplace’a]] <math>\Delta</math> we współrzędnych sferycznych dla stałej współrzędnej radialnej <math>r,</math> równanie to przyjmie postać
: <math>\left[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\right]\psi+\lambda\psi=0,</math>

które rozwiązuje się '''metodą separacji zmiennych''', tj. przyjmując <math>\psi(\theta, \phi)=X(\phi)\cdot Y(\theta).</math> Otrzymuje się stąd dwa równania:

(1) równanie zależne od <math>\phi</math>
: <math>\frac{d^2 X}{d\phi^2} + m^2 X = 0</math>

– jego rozwiązania są postaci <math>\sin(m\phi)</math> lub <math>\cos(m\phi),</math> przy czym <math>m=0,\pm1,\pm2,\dots,</math> aby rozwiązania były jednoznaczne dla powtarzających się wartości kąta co <math>2\pi,</math> tj. <math>X(\phi+ 2\pi m)=X(\phi).</math>

(2) równanie zależne od <math>\theta</math>
: <math>\left[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right]Y
- \left[\lambda + \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\,Y = 0</math>
– jego rozwiązaniami są wielomiany Legendre’a <math>P_l^m(\cos\theta)</math> mnożone przez dowolną stałą, przy czym <math>l\geqslant m</math> oraz <math>\lambda = l(l+1),</math> aby rozwiązania nie były osobliwe.

Równanie <math>\Delta\psi + \lambda\psi = 0</math> posiada więc nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb <math>\lambda</math> takich że <math>\lambda = l(l+1),</math> przy czym rozwiązania te są proporcjonalne do
: <math>P_l^m(\cos \theta)\ \cos (m\phi)\quad 0 \leqslant m \leqslant l</math>

i
: <math>P_l^m(\cos \theta)\ \sin (m\phi)\quad 0 < m \leqslant l.</math>

Dla każdej liczby <math>l</math> mamy <math>2\ell + 1</math> funkcji o różnych wartościach <math>m</math> oraz dwie funkcje sin i cos. Funkcje te są ortogonalne zarówno dla różnych wartości liczb <math>\ell</math> oraz <math>m,</math> jeżeli całkuje się je po całej powierzchni sfery.

Rozwiązania te zapisuje się zwykle z użyciem zespolonej [[Funkcja wykładnicza|funkcji eksponencjalnej]]
: <math>Y_l^m(\theta, \phi) =  \sqrt\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}\ P_l^m(\cos \theta)\ e^{im\phi}\qquad -l \leqslant m \leqslant l.</math>

Funkcje <math>Y_l^m(\theta, \phi)</math> nazywa się '''harmonikami sferycznymi'''; wielkość pod pierwiastkiem jest czynnikiem normalizacyjnym. Z powyższego wzoru wynika, że zależność między harmonikami sferycznymi o tych samych wartościach <math>l,</math> a przeciwnych wartościach <math>m,</math> spełnia zależność
: <math>Y_l^{m\,*}(\theta, \phi) = (-1)^m Y_l^{-m\,*}(\theta, \phi),</math>

gdzie <math>*</math> oznacza sprzężenie zespolone.

[[Kategoria:Funkcje elementarne]]