Tekst źródłowy strony Splot Hopfa

[[Plik:Hopf-Verschlingung 20230214 001.stl|thumb|Trójwymiarowy model splotu Hopfa]]
'''Splot Hopfa''' – najprostszy nietrywialny {{link-interwiki|Splot (teoria węzłów)|Q=Q1760728|tekst=splot}}{{odn|Allard|Gauthier|2022|s=11}}.
Składa się z dwóch [[Okrąg|okręgów]] jednokrotnie połączonych{{odn|Kusner|Sullivan|1998|s=[https://books.google.com/books?id=FIPcAxs29ikC&pg=PA77 77]}}. Nazwany imieniem matematyka [[Heinz Hopf|Heinza Hopfa]]{{odn|Prasolov|Sosinskij|1997|s=6}}. W notacji Alexandera-Briggsa jest oznaczany symbolem <math>2^2_1</math>{{odn|Jabłonowski|2023|s=29}}. Jego symbolem w komputerowych bazach danych jest <math>L2a1</math>{{odn|Choi|Chung|Kim|2014|s=7}}.

== Realizacja geometryczna ==
Konkretny model składa się z dwóch [[Okrąg jednostkowy|okręgów jednostkowych]] na prostopadłych płaszczyznach, każdy przechodzący przez środek drugiego{{odn|Kusner|Sullivan|1998|s=[https://books.google.com/books?id=FIPcAxs29ikC&pg=PA77 77]}}.
Taki model minimalizuje {{link-interwiki|długość sznurowa|Q=Q7366728|tekst=długość sznurową}} tego splotu{{odn|Cantarella|Kusner|Sullivan|2002|s=2}}.
Do 2002 splot Hopfa był jedynym, dla którego taka długość była znana{{odn|Cantarella|Kusner|Sullivan|2002|s=2}}.
[[Otoczka wypukła]] tych dwóch okręgów tworzy kształt zwany [[oloid]]em{{odn|Dirnböck|Stachel|1997}}.

== Własności ==
* {{link-interwiki|Indeks skrzyżowaniowy|Q=Q2548661}} splotu wynosi <math>2</math><ref group="uwaga">Główna liczba z notacji Alexandera-Briggsa <math>2^2_1.</math></ref>.
* {{link-interwiki|Liczba gordyjska|Q=Q7896949}} splotu to <math>1</math>{{odn|Bonchev|Rouvray|2000|s=11}}.
* {{link-interwiki|Nawias Kauffmana|Q=Q4953698}} splotu Hopfa to{{odn|Henrich|Kauffman|2017|s=184}}{{odn|Simula|2019|s=4–11}}
*: <math>-A^4-A^{-4}</math>
* Bez narzuconej [[Orientacja (geometria)|orientacji]] splot Hopfa nie wykazuje [[Symetria chiralna|chiralności]]{{odn|Sauvage|Dietrich-Buchecker|1999|s=12}}.
* Przy założeniu [[Orientacja (geometria)|orientacji]] składników istnieją dwa różne warianty splotu Hopfa oznaczane słowem „prawy/lewy”{{odn|Kholodenko|2013|s=29}}, znakiem „+/−”{{odn|Sulkowska|Sułkowski|2018|s=216}}{{odn|Amoroso|2018|s=190}} bądź przyrostkiem <math>\{0\}</math> lub <math>\{1\}</math> w symbolu bazodanowym{{odn|Henrich|Kauffman|2017|s=184}}.

{{Grafika rozwinięta
|opis=Dwie różne orientacje splotu Hopfa
|położenie=center
|rozmiar=600px
|grafika1=Linking Number -1.svg
|opis1=Indeks zaczepienia -1
|grafika2=Linking Number 1.svg
|opis2=Indeks zaczepienia +1
}}

; Ze względu na różne orientacje następujące niezmienniki mają podwójne wyniki:
* {{link-interwiki|Indels zaczepienia|Q=Q2000614}} wynosi <math>+1</math> lub <math>-1</math>{{odn|Adams|2004|s=19}}{{odn|Hao|Zheng|1998|s=410}}.
* {{link-interwiki|Spin (teoria węzłów)|tekst=Spin (liczba Taita)|Q=Q113533028}} to <math>+2</math> lub <math>-2</math>{{odn|Simula|2019|s=4–11}}.
* {{link-interwiki|Wielomian HOMFLYPT|tekst=Wielomiany HOMFLYPT|Q=Q996437}} mają postać{{odn|Sauvage|Dietrich-Buchecker|1999|s=11}}
*: <math>l^3m^{-1} + lm^{-1} - lm</math>
*: <math>l^{-3}m^{-1} + l^{-1}m^{-1} - l^{-1}m</math>
* {{link-interwiki|Wielomian Jonesa|tekst=Wielomiany Jonesa|Q=Q1528291}} to{{odn|Simula|2019|s=4–11}}
*: <math>-t^{1/2}-t^{5/2}</math>
*: <math>-t^{-1/2}-t^{-5/2}</math>
; Pozostałe własności
* Splot Hopfa to [[Węzeł (teoria węzłów)|węzeł torusowy (2,2)]]{{odn|Kauffman|1987|s=[https://books.google.com/books?id=BLvGkIY8YzwC&pg=PA373 373]}} [[Teoria warkoczy|grupy Bn]] ze słowem elementarnym <math>\sigma_1^2</math>{{odn|Adams|2004|s=[https://books.google.com/books?id=M-B8XedeL9sC&pg=PA133 133]|loc=Exercise 5.22}}.
* Jest to również {{link-interwiki|splot Brunna|Q=Q3055232}}{{odn|Jabłonowski|2023|s=44}}.
* {{link-interwiki|Dopełnienie węzła|Q=Q2017498|tekst=Dopełnieniem}} splotu Hopfa jest <math>R \times S^1 \times S^1,</math> czyli [[Walec (bryła)|walec]] nad [[Torus (matematyka)|torusem]]{{odn|Turaev|1994|s=194}}, [[iloczyn kartezjański]] torusa i [[Odcinek|odcinka]]{{odn|Gukov|Nawata|Saberi|Stošić|2016|s=91}}. Stanowi on [[grupa przemienna|grupę przemienną]] <math>\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}</math>{{odn|Allard|Gauthier|2022|s=86}}.

== Historia ==
Strukturę w kształcie splotu Hopfa analizował Gauss w swojej pracy o elektrodynamice{{odn|Ashtekar|Corichi|1997|s=2–4}}. Z wzajemnych zależności między [[Pole magnetyczne|polem magnetycznym]] i [[Pole elektryczne|elektrycznym]] wyprowadził niezależny od praw fizyki wzór na relację między dwiema zamkniętymi krzywymi, którą obecnie w topologii określa się mianem {{link-interwiki|Indels zaczepienia|Q=Q2000614|tekst=indeksu zaczepienia}}. W swojej notatce z 22 stycznia 1833 opisał ten bezwymiarowy współczynnik jako ''liczbę zwojów''{{odn|Nash|1999|s=360–363}}. Stąd w przypadku [[Prawo Ampère’a|prawa Ampère’a]] nazywany jest on ''liczbą Gaussa''{{odn|Broda|2004|s=120}}.

[[William Thomson]] opublikował w 1867 r. pracę, w której wysunął koncepcję budowy [[atom]]u opartą na węzłach i splotach{{odn|Broda|2004|s=121}}. Wśród wymienianych przykładów ''wirowych rurek'' był obecny splot Hopfa{{odn|Nash|1999|s=364}}, który miał reprezentować atom [[Sód|sodu]]{{odn|Allard|Gauthier|2022|s=16}}.

W 1931 r. [[Heinz Hopf]] opublikował pracę o {{link-interwiki|rozwłóknienie Hopfa|Q=Q1627604|tekst=rozwłóknieniu sfery}} <math>S^3</math> ([[Hipersfera|hipersfery]] z 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej){{odn|Lyons|2003|s=1}}, czyli utworzeniu jej mapy z wykorzystaniem klasycznej [[Sfera|sfery]] <math>S^2</math> w przestrzeni trójwymiarowej{{odn|Lyons|2003|s=2}}. Dla każdego [[Punkt (geometria)|punktu]] sfery przyporządkowane jest włókno w postaci [[Okrąg|okręgu]]{{odn|Lyons|2003|s=7–10}}. Cechą tego przekształcenia jest to, że dla dowolnych dwóch punktów odpowiadająca im para okręgów tworzy charakterystyczny splot{{odn|Lyons|2003|s=13–14}}.

== Biologia i chemia ==
* Struktury w postaci splotów Hopfa są obserwowane w budowie niektórych [[Białka|białek]]{{odn|Dabrowski-Tumanski|Sulkowska|2017}}.
* W wyniku działania rezolwazy ''Tn3'' powstaje najprostszy [[Katenany|2-katekan]], którego budowa odzwierciedla splot Hopfa{{odn|Dobrowolski|2003|s=8}}.

== Symbolika ==
* Symbolem trwałego [[Małżeństwo|małżeństwa]] są dwie splecione [[Obrączka ślubna|obrączki]] ułożone obok siebie{{odn|Olderr|2017|s=169}}.
* Dwa splecione pierścienie jeden nad drugim to symbol połączenia fizyczności i duchowości{{odn|Olderr|2017|s=169}}.
* W herbach niemieckich gmin [[Boos (powiat Mayen-Koblenz)|Boos]]<ref>{{Cytuj |url = https://www.boos-eifel.de/index.php/geschichte/wappen |tytuł = Booser Wappen |data = 8 lipca 2006 |opublikowany = boos-eifel.de |data dostępu = 2023-08-26 |język = de}}</ref>, [[Brieden (gmina)|Brieden]]<ref>{{Cytuj |url = https://www.brieden-eifel.de/wappen.html |tytuł = Die Ortsgemeinde Brieden in der Eifel stellt sich vor... |opublikowany = brieden-eifel.de |data dostępu = 2023-08-26 |język = de}}</ref>, [[Gransdorf]]<ref>{{Cytuj |url = https://www.gransdorf.de/index.php/ueber/wappen |tytuł = Gransdorf – Wappen |opublikowany = gransdord.de |data dostępu = 2023-08-26 |język = de}}</ref>, [[Großlittgen]]<ref>{{Cytuj |url = https://www.grosslittgen.de/geschichte/ |tytuł = Geschichte |opublikowany = grosslittgen.de |data dostępu = 2023-08-26 |język = de}}</ref>, [[Idenheim]]<ref>{{Cytuj |archiwum = https://web.archive.org/web/20140914072405/https://bitburgerland.de/index.php?id=370 |tytuł = Wappen |praca = Idenheim |opublikowany = bitburgerland.de |język = de}}</ref>, [[Maring-Noviand]]<ref>{{Cytuj |url = https://www.eifelmoselzeitung.de/themen/tourismus/ferien-und-weinort-maring-noviand-mit-siebenborn-16048/ |tytuł = Ferien und Weinort Maring-Noviand mit Siebenborn |data = 18 kwietnia 2012 |opublikowany = Eifel-Mosel Zeitung |data dostępu = 2023-08-26 |język = de}}</ref> i [[Pommern (gmina)|Pommern]]<ref>{{Cytuj |url = https://www.pommern-mosel.de/mein-pommern/ortwappen.html |tytuł = Ortwappen |opublikowany = pommern-mosel.de |data dostępu = 2023-08-26 |język = de}}</ref> znajdują się dwa splecione pierścienie, co ma podkreślać ich historyczne powiązania z {{link-interwiki|Opactwo Himmerod|Q=Q314998|tekst=opactwem Himmerod}}.
* Dwa splecione pierścienie widnieją także w herbie miasta [[Hettingen]], które pochodzą z herbu pierwotnie oddzielnej gminy {{k|de|Inneringen}}, włączonej do miasta w 1975 r.<ref>{{Cytuj |url = https://www.hettingen.de/geschichtewappen.php |tytuł = Geschichte Wappen |opublikowany = hettingen.de |data dostępu = 2023-08-26 |język = de}}</ref>
* W Australii w miejscu {{współrzędne|-33,8625963 151,2103345}} znajduje się pomnik o potocznej nazwie ''Więzy Przyjaźni'', który ma kształt dwóch splecionych ogniw<ref>{{Cytuj |url = https://monumentaustralia.org.au/themes/landscape/settlement/display/23178-first-fleet-memorial-%22bonds-of-friendship%22- |tytuł = First Fleet Memorial – „Bonds of Friendship” |opublikowany = Monument Australia |data dostępu = 2023-08-26}}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[Flaga olimpijska|koła olimpijskie]]
* [[pierścienie boromejskie]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Adams, Colin Conrad; |tytuł = The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots |wydawca = American Mathematical Society |data = 2004 |isbn = 9780821836781}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Allard, Casimir; Gauthier, Adélaïde |tytuł = Kombinatoryczna teoriawezłów |inni = Juliette Buis (tłum.) |wydanie = 3 |data = 2022 |wydawca = Antykwariat Czarnoksięski |url = https://www.math.uni.wroc.pl/~s265342/files/knot-theory.pdf}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor r = Amoroso, Richard L. |rozdział = Fundaments of ontological-phase topological fields theory |tytuł = Unified Field Mechanics II |data = 2018 |wydawca = World Scientific |isbn = 978-981-3232-03-7}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Ashtekar, Abhay; Corichi, Alejandro |tytuł = Gauss Linking Number and Electro-magnetic Uncertainty Principle |czasopismo = Phys. Rev. D |wolumin = 56 |data = 1997 |s = 2073–2079 |doi = 10.1103/PhysRevD.56.2073 |arxiv=hep-th/9701136}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Bai-Lin Hao; Wei-Mou Zheng |tytuł = Applied symbolic dynamics and chaos |wydawca = World Scientific Publishing |data = 1998 |isbn = 981-02-3512-7}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Bonchev, Danail; Rouvray, Dennis H. |tytuł = Chemical Topology. Applications and Techniques |wydawca = Gordon and Breach Science |data = 2000 |seria = Mathematical Chemistry |isbn = 90-5699-240-6 |issn = 1049-2801}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Broda, Bogusław |tytuł = Fizyka i topologia |czasopismo = Postępy Fizyki |data = 2004 |wolumin = 55 |numer = 3 |s = 120–122 |issn = 0032-5430}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Cantarella, Jason; Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. |tytuł = On the minimum ropelength of knots and links |czasopismo = Inventiones Mathematicae |data = 2002 |wolumin = 150 |numer = 2 |s = 257–286 |bibcode = 2002InMat.150..257C |arxiv = math/0103224 |doi = 10.1007/s00222-002-0234-y |id = MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1933586 1933586]}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Choi, Yoon-Ho; Chung, Yun Ki; Kim, Dongseok |tytuł = The complete list of prime knots whose flat plumbing basket number are 6 or less |czasopismo = Arxiv |data = 2014 |arxiv=1408.3729v1}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Dabrowski-Tumanski, Pawel; Sulkowska, Joanna I. |tytuł = Topological knots and links in proteins |czasopismo = PNAS |data = 28 marca 2017 |wolumin = 114 |numer = 13 |s = 3415–3420 |doi = 10.1073/pnas.1615862114 |pmid = 28280100 |pmc = 5380043}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth |numer = 2 |czasopismo = Journal for Geometry and Graphics |id = MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1622664 1622664] |s = 105–118 |tytuł = The development of the oloid |url = http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg01_05/jgg0113.pdf |wolumin = 1 |data = 1997}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Dobrowolski, Jan |tytuł = Węzły i sploty DNA |czasopismo = Polimery |data = styczeń 2003 |wolumin = XLVIII |numer = 1 |s = 3–15}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Gukov, Sergei; Nawata, Satoshi; Saberi, Ingmar; Stošić, Marko; Sułkowski, Piotr |tytuł = Sequencing BPS spectra |czasopismo = JHEP |data = 2 marca 2016 |doi = 10.1007/JHEP03(2016)004 |dostęp = o}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Henrich, Allison; Kauffman, Louis H. |rozdział = Tangle insertion invariants for pseudoknots, singular knots, and rigid vertex spatial graphs |tytuł = Knots, links, spatial graphs and algebraic invariants |data = 2017 |wydawca = AMS |seria = Contemporary Mathematics |numer = 689 |isbn = 9781470428471 |doi = 10.1090/conm/689}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Jabłonowski, Michał; |tytuł = Węzły i sploty w wymiarze 3 i 4 |data = 22 lipca 2023 |url = https://mat.ug.edu.pl/~mjablon/knots34.pdf |data dostępu = 2023-08-26}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Kauffman, Louis H.; |tytuł = On Knots |wydawca = Princeton University Press |data = 1987 |numer = 115 |seria = Annals of Mathematics Studies |isbn = 0-691-08435-1}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Kholodenko, Arkady Leonidovich |tytuł = Applications of contact geometry and topology in physics |data = 2013 |wydawca = World Scientific |isbn = 978-981-4412-08-7}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor r = Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. |rozdział = On distortion and thickness of knots |tytuł = Topology and geometry in polymer science |data = 1998 |wolumin = 103 |miejsce = New York |wydawca = Springer |seria = IMA Vol. Math. Appl. |s = 67–78 |doi = 10.1007/978-1-4612-1712-1_7 |id = MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1655037 1655037]}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Lyons, David W. |tytuł = An Elementary Introduction to the Hopf Fibration |czasopismo = Mathematics Magazine |data = kwiecień 2003 |wolumin = 76 |numer = 2 |s = 87–98 |doi = 10.1080/0025570X.2003.11953158 |arxiv=2212.01642 |jstor=3219300 |url = https://nilesjohnson.net/hopf-articles/Lyons_Elem-intro-Hopf-fibration.pdf}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor r = Nash, Charles |rozdział = Topology and Physics – a Historical Essay |redaktor = I.M. James |tytuł = History of topology |data = 1999 |wydawca = Elsevier |isbn = 0-444-82375-1}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Olderr, Steven |tytuł = Symbolism. A comprehensive dictionary |data = 2017 |wydanie = 2 |isbn = 978-0-7864-6955-0}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Prasolov, Viktor Vasil′evič; Aleksej Bronislavovič Sosinskij |tytuł = Knots, links, braids and 3-manifolds: An introduction to the new invariants in low-dimensional topology |data = 1997 |wolumin = 154 |miejsce = Providence, RI |wydawca = American Mathematical Society |seria = Translations of Mathematical Monographs |isbn = 0-8218-0588-6 |id = MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1414898 1414898]}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Turaev, Vladimir G. |tytuł = Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds |wydawca = Walter de Gruyter |data = 1994 |isbn = 3-11-013704-6 |s = 194 |seria = De Gruyter studies in mathematics |numer = 18}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Sauvage, Jean-Pierre; Dietrich-Buchecker, Christiane |tytuł = Molecular catacanes, rotaxanes and knots |data = 1999 |wydawca = Wiley |isbn = 3-527-29572-0}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor = Tapio Simula |tytuł = Quantised Vortices |data = 2019 |wydawca = Morgan & Claypool |doi = 10.1088/2053-2571/aafb9d |isbn = 978-1-64327-126-2 978-1-64327-123-1 978-1-64327-124-8}}
* {{Cytuj |odn = tak |autor r = Sulkowska, Joanna I.; Sułkowski, Piotr |rozdział = Entangled Proteins: Knots, Slipknots, Links and Lassos |redaktor = Sanju Gupta; Avadh Saxena |tytuł = The role of topology in materials |wydawca = Springer |data = 2018 |seria = Solid-State Sciences |issn = 0171-1873 |isbn = 978-3-319-76595-2 |doi = 10.1007/978-3-319-76596-9}}

== Linki zewnętrzne ==
{{commonscat|Hopf links|Sploty Hopfa}}
* {{MathWorld|tytuł=Hopf link |adres=HopfLink}}
* {{Cytuj |tytuł = Topology of a Twisted Torus |url = https://www.youtube.com/watch?v=3_VydFQmtZ8 |praca = Numberphile |opublikowany = [[YouTube]] |data = 27 stycznia 2014 |język = en}}

[[Kategoria:Topologia algebraiczna]]