Tekst źródłowy strony Silnia

{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"
|+ Wybrane wartości silni
! <math>n</math> || <math>n!</math>
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 6 || 720
|-
| 7 || 5040
|-
| 8 || 40 320
|-
| 9 || 362 880
|-
| 10 || 3 628 800
|-
| 11 || 39 916 800
|-
| 12 || 479 001 600
|-
| 13 || 6 227 020 800
|-
| 14 || 87 178 291 200
|-
| 15 || 1 307 674 368 000
|-
| 16 || 20 922 789 888 000
|-
| 17 || 355 687 428 096 000
|-
| 18 || 6 402 373 705 728 000
|-
| 19 || 121 645 100 408 832 000
|-
| 20 || 2 432 902 008 176 640 000
|-
| 25 || ∼1,551 121 004 · 10<sup>25</sup>
|-
| 50 || ~3,041 409 32 · 10<sup>64</sup>
|-
| 70 || ~1,197 857 167 · 10<sup>100</sup>
|-
| 100 || ~9,332 621 544 · 10<sup>157</sup>
|-
| 450 || ~1,733 368 733 · 10<sup>1000</sup>
|-
| 1000 || ~4,023 872 601 · 10<sup>2567</sup>
|-
| 10 000 || ~2,846 259 681 · 10<sup>35 659</sup>
|-
| 100 000 || ~2,824 229 408 · 10<sup>456 573</sup>
|-
| 1 000 000 || ~8,263 931 688 · 10<sup>5 565 708</sup>
|-
| 10 000 000 || ~1,202 423 401 · 10<sup>65 657 059</sup>
|-
|[[googol|10<sup>100</sup>]] || ~10<sup>9,956 570 552 · 10<sup>101</sup></sup>
|}
'''Silnia [[liczby naturalne]]j''' '''''n''''' – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż <math>n</math><ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Silnia | id = 3975225 | data dostępu = 2021-07-21}}</ref>. Zapis <math>n!,</math> <math>2!</math> itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

== Definicja formalna ==
Silnia jest [[Funkcja#Funkcje liczbowe|funkcją liczbową]], której [[Dziedzina (matematyka)|dziedziną]] są [[liczby naturalne]] z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera
: <math>! \colon \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_+</math>

Silnia liczby naturalnej n jest to [[Mnożenie|iloczyn]] wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n
: <math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n</math>

Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników
: <math>n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{dla }n\geqslant1.</math>

Wartość 0! określa się osobno<ref name=cke>{{Cytuj |url = https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf |tytuł = Wybrane wzory matematyczne |miejsce = Warszawa |data = 2015 |wydawca = Centralna Komisja Egzaminacyjna |isbn = 978-83-940902-1-0 |s = 2}}</ref>:
: <math>0! = 1.</math>

[[Rekurencja|Definicja rekurencyjna]] silni ma postać:
: <math>n!=\begin{cases}
1 & \mbox{ dla }n=0 \\[2pt]
n\cdot(n-1)! & \mbox{ dla }n\geqslant1
\end{cases}</math>

== Przykłady ==
: <math>3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6</math>
: <math>4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24</math>
: <math>5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>
: <math>6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720</math>

== Obliczanie ==
Ze względu na szybki [[Silnia#Wzrost|wzrost wartości silni]] w obliczeniach komputerowych może wystąpić [[przekroczenie zakresu liczb całkowitych]]. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), nastąpi ono już dla <math>n=13.</math>
<pre>
n = 1 n! = 1
n = 2 n! = 2
n = 3 n! = 6
n = 4 n! = 24
n = 5 n! = 120
n = 6 n! = 720
n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow
</pre>

=== Przybliżona wartość ===
Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci [[wzór Stirlinga|wzoru Stirlinga]]:
: <math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Wynika z niego także postać logarytmu silni:
: <math>\ln n! \approx n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln (2\pi n).</math>

Przydatne jest również oszacowanie:
: <math>n!=o(n^n).</math>

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:
: <math>n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\alpha_n},</math>

gdzie:
: <math>\frac{1}{12n+1} \leqslant \alpha_n \leqslant \frac{1}{12n}.</math>

== Właściwości ==
=== Wzrost ===
[[Plik:Log-factorial.svg|thumb|250px|Wykres [[logarytm naturalny|logarytmu naturalnego]] silni '''ln(''x''!)''']]
Wzrost funkcji silni jest szybszy niż [[wzrost wykładniczy]], ale wolniejszy niż {{link-interwiki|Double exponential function|tekst=podwójnej funkcji wykładniczej|Q=Q3075235}}<ref>{{Cytuj książkę |nazwisko = Cameron |imię = Peter J. |autor link =: en:Peter Cameron (mathematician) |tytuł = Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms |cytat = 2.4: Orders of magnitude |isbn = 978-0-521-45133-8 |strony = 12–14 |wydawca = Cambridge University Press |rok = 1994}}</ref>. Tempo wzrostu jest podobne do <math>n^n,</math> ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.

=== Rozkład silni na czynniki pierwsze ===
==== Lemat ====
Jeżeli liczba <math>n!</math> rozkłada się na [[Czynnik pierwszy|czynniki pierwsze]]:
: <math>n!=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k},</math>

to
: <math>\mbox{ord}_{p_i}(n!) = \sum_{j=1}^{\left\lfloor \log_{p_i}n\right\rfloor} \left\lfloor \frac{n}{p_i^j} \right\rfloor,</math>

tzn. liczba pierwsza <math>p_i</math> pojawia się z wykładnikiem:
: <math>\alpha_i = \sum_{j=1}^{\left\lfloor \log_{p_i}n\right\rfloor} \left\lfloor \frac{n}{p_i^j} \right\rfloor,</math>

gdzie <math>\lfloor x \rfloor</math> oznacza [[Podłoga i sufit|część całkowitą]] liczby <math>x.</math>

=== Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni ===
Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym <math>n!,</math> przy czym <math>n</math> jest [[liczby naturalne|liczbą naturalną]], można ustalić na podstawie wzoru
: <math>f(n) = \sum_{i=1}^k \left\lfloor \frac{n}{5^i} \right\rfloor
= \left\lfloor \frac{n}{5^1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac{n}{5^k} \right\rfloor,</math>

gdzie <math>k</math> musi spełniać warunek
: <math>5^k \leqslant n < 5^{k+1}.</math>

Na przykład: 5<sup>3</sup> > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się
: <math>\left\lfloor \frac{26}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{5^2} \right\rfloor = 5 + 1 = 6</math> zerami.

Jeżeli <math>n<5,</math> nierówności są spełnione przez <math>k=0;</math> w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

== Historia ==
Oznaczenie <math>n!</math> dla silni wprowadził w [[1808]] roku [[Christian Kramp]].

== Zastosowania ==
Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:
* [[analiza matematyczna]], np. mianownik każdego składnika [[wzór Taylora|wzoru Taylora]] ma postać <math>k!;</math>
* [[geometria]] <math>n</math>-wymiarowa, np. stosunek miary <math>n</math>-wymiarowego [[Równoległościan wielowymiarowy|równoległościanu]] do miary [[Sympleks (matematyka)|sympleksu]] rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy <math>n!;</math>
* [[kombinatoryka]], np. liczba wszystkich [[permutacja|permutacji]] zbioru <math>n</math>-elementowego jest równa <math>n!.</math>

== Powiązane ciągi i inne funkcje ==
[[Plik:Mplwp factorial gamma stirling.svg|mały|Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga]]

=== Factorion ===
Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w [[Język angielski|języku angielskim]] nosi nazwę ''factorion''. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585<ref>{{MathWorld|adres=Factorion |tytuł=Factorion |data dostępu=2017-05-25}}</ref>.

=== Funkcja gamma ===
{{osobny artykuł|Funkcja Γ}}
Uogólnieniem silni na zbiór liczb [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] jest [[funkcja Γ]], która spełnia
: <math>\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z).</math>

Ponieważ <math>\Gamma(1)=1,</math> więc z powyższego wynika
: <math>\Gamma(n+1)=n!</math>

dla wszystkich [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] <math>n.</math>

Funkcja <math>\Gamma</math> jest jedyną [[funkcja meromorficzna|funkcją meromorficzną]] [[Funkcja logarytmicznie wypukła|logarytmicznie wypukłą]] będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma [[Biegun (analiza zespolona)|bieguny]].

=== Silnia wielokrotna ===
Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną <math>n!!!</math> oraz ogólnie silnie <math>k</math>-tą, którą oznaczamy jako <math>n!^{(k)}.</math> Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:
: <math>n!^{(k)}=\begin{cases}
1 & \mbox{ gdy } n=0 \\[2pt]
n & \mbox{ gdy }0<n\leqslant k \\[2pt]
n\cdot(n-k)!^{(k)} & \mbox{ gdy }n > k
\end{cases}</math>

==== Silnia podwójna ====
Silnią podwójną liczby naturalnej <math>n</math> określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do <math>n.</math> Silnię podwójną oznacza się <math>n!!.</math>

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:
: <math>n!!=\begin{cases}
1 & \mbox{ dla }n=0\mbox{ lub }n=1 \\[2pt]
n\cdot(n-2)!! & \mbox{ dla }n\geqslant 2
\end{cases}</math>

'''Przykład:'''
: <math>8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384</math>
: <math>9!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945</math>

'''Własności podwójnej silni:'''
: <math>n!=n!!(n-1)!!</math>
: <math>(2n)!!=2^nn!</math>
: <math>(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}=\frac{(2n+1)!}{2^nn!}</math>

zależność od funkcji gamma:
: <math>\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\sqrt\pi\frac{(2n-1)!!}{2^n},</math> więc:
: <math>\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2^n}{\sqrt\pi}\right)=(2n-1)!!</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* Thomas Koshy, ''Discrete Mathematics with Applications'', Elsevier Publications 2006, s. 219.

== Linki zewnętrzne ==
{{Wikisłownik|silnia}}
{{Wikibooks|tekst=nie|Silnia|tabelę początkowych wartości silni}}
{{Wikibooks|tekst=nie|Kody źródłowe/Silnia|kod źródłowy programu obliczającego silnię}}
* {{MathWorld|adres=Factorial |tytuł=Factorial |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* {{Cytuj |url = https://www.youtube.com/watch?v=v_HeaeUUOnc |tytuł = How to Take the Factorial of Any Number |data = 2022-08-13 |praca = Lines That Connect |opublikowany = [[YouTube]] |język = en}}
* http://factorielle.free.fr {{lang|en|fr|cs}}

{{Kombinatoryka}}
{{Ciągi liczbowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Działania jednoargumentowe]]
[[Kategoria:Działania na liczbach]]