Tekst źródłowy strony Rugownik

'''Rugownik''' – typ [[Funkcja|funkcji]], której argumentami są pary [[wielomian]]ów lub – z innej perspektywy – ich współczynniki, co czyni rugownik [[Funkcja wielu zmiennych|funkcją wielu zmiennych]]; jest zdefiniowany [[wyznacznik]]iem opisanym niżej. Kluczową własnością rugownika jest to, że wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.

Rozpatrzmy dwa wielomiany w [[ciało liczbowe|ciele liczbowym]] <math>K{:}</math>
: <math>F(x)=a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \ldots + a_n,</math>
: <math>G(x)=b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + \ldots + b_m.</math>

Rugownikiem tych wielomianów nazywa się [[wyznacznik]] stopnia <math>n+m</math> postaci<ref group=uwaga>Współczynnik <math>a_n,</math> pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad <math>b_0.</math> Ich wzajemne położenie zależy od wartości <math>m,n.</math></ref><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN |id = 3969954 |tytuł = rugownik |data dostępu = 2023-04-26}}</ref>:
: <math>\mathrm{R}(F,G)=\begin{vmatrix}
a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & a_0 & a_1 & \dots & a_{n-1} & a_n & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_0 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \\
b_0 & b_1 & b_2 & \dots & b_m & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & b_0 & b_1 & \dots & b_{m-1} & b_m & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & b_0 & \dots & b_{m-2} & b_{m-1} & b_m & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & b_0 & b_1 & b_2 & \dots & b_m
\end{vmatrix}.</math>

Przyjmuje się dodatkowo, że <math>\mathrm{R}(0,G)=\mathrm{R}(F,0)=0.</math>

== Własności ==
Dla dowolnych wielomianów <math>F, G, H</math> zachodzi:
* <math>\mathrm{R}(F,G) = (-1)^{\deg F \cdot \deg G} \cdot \mathrm{R}(G,F),</math>
* <math>\mathrm{R}(F\cdot H,G) = \mathrm{R}(F,G) \cdot \mathrm{R}(H,G),</math>
* <math>\mathrm{R}(F,G) = 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>F</math> i <math>G</math> mają wspólny [[Wielomian#Pierwiastki|pierwiastek]].

* Istnieją takie wielomiany <math>v,w,</math> że <math>v \cdot F+w \cdot G = \mathrm{R}(F,G).</math>

Niech <math>F,G</math> będą postaci
: <math>F(t)=(t-x_1)(t-x_2) \dots (t-x_s),</math>
: <math>G(t)=(t-y_1)(t-y_2) \dots (t-y_r).</math>

Wtedy <math>\mathrm{R}(F,G)=\prod_{i=1}^s \prod_{j=1}^r (x_i-y_j)</math><ref group=uwaga>Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.</ref>.

== Zastosowanie ==
=== Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi ===
Rozpatrzmy [[układ równań]] wielomianowych <math>f(x,y)=0, g(x,y)=0;</math> <math>f,g</math> – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg <math>y</math> uzyskujemy:
: <math>f_0(x) y^s + f_1(x) y^{s-1} + f_2(x) y^{s-2} + \ldots + f_s(x),</math>
: <math>g_0(x) y^t + g_1(x) y^{t-1} + g_2(x) y^{t-2} + \ldots + g_t(x),</math>

gdzie <math>f_0,g_0</math> są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:
: <math>\mathrm{R}(x)=\begin{vmatrix}
f_0(x) & f_1(x) & f_2(x) & \dots & f_s(x) & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & f_0(x) & f_1(x) & \dots & f_{s-1}(x) & f_s(x) & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & f_0(x) & \dots & f_{s-2}(x) & f_{s-1}(x) & f_s(x) & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & f_0(x) & f_1(x) & f_2(x) & \dots & f_s(x) \\
g_0(x) & g_1(x) & g_2(x) & \dots & g_t(x) & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & g_0(x) & g_1(x) & \dots & g_{t-1}(x) & g_t(x) & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & g_0(x) & \dots & g_{t-2}(x) & g_{t-1}(x) & g_t(x) & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & g_0(x) & g_1(x) & g_2(x) & \dots & g_t(x)
\end{vmatrix}.</math>

Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg <math>x,</math> tworzy się rugownik <math>\mathrm{S}(y).</math> Można udowdnić, że gdy para <math>(a,b)</math> jest rozwiązaniem układu równań <math>f(x,y)=0, g(x,y)=0,</math> zachodzi <math>\mathrm{R}(a)=0</math> oraz <math>\mathrm{S}(b)=0.</math>

Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli <math>R,S</math> są wielomianami niezerowymi, ich [[rozkład na czynniki]] pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości <math>a_1,\dots,a_k</math> odciętej i <math>b_1,\dots,b_l</math> rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par <math>(a_i,b_j)</math> są rozwiązaniami układu równań.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |autor = Andrzej Mostowski |autor link = Andrzej Mostowski |autor2 = Marceli Stark |autor link2 = Marceli Stark |tytuł = Elementy algebry wyższej |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1972 |strony = 300–318}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Przemysław Koprowski, ''[https://www.youtube.com/watch?v=AdWniVzznDU Rugownik – twierdzenie Sylvestera]'', kanał autorski na [[YouTube]], 21 kwietnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
* {{MathWorld | adres = Resultant | tytuł = Resultant}} [dostęp 2023-04-26].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Resultant Resultant]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].

{{Wielomiany}}

[[Kategoria:Wielomiany]]
[[Kategoria:Przykłady wyznaczników]]