Tekst źródłowy strony Rozwinięcie Laplace’a

'''Rozwinięcie Laplace’a''' – wzór [[rekurencja|rekurencyjny]] określający [[wyznacznik]] <math>n</math>-tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach <math>n \times n.</math> Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka [[Pierre Simon de Laplace|Laplace’a]].

Niech <math>A \in M_{n\times n}(K).</math> Wówczas:
* dla każdego ustalonego <math>j = 1 \dots n</math> zachodzi <math>\det A = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij},</math>
* dla każdego ustalonego <math>i = 1 \dots n</math> zachodzi <math>\det A = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij},</math>

gdzie:
: <math>a_{ij}</math> jest elementem macierzy w <math>i</math>-tym wierszu i <math>j</math>-tej kolumnie,
: <math>A_{ij}</math> jest [[dopełnienie algebraiczne|dopełnieniem algebraicznym]] elementu <math>a_{ij}.</math>

Powyższe wzory nazywamy ''rozwinięciami Laplace’a'', pierwszy względem <math>j</math>-tej kolumny, a drugi względem <math>i</math>-tego wiersza<ref>{{cytuj |url = https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/tiki-index.php?page=Metoda+Laplace%27a+obliczania+wyznacznik%C3%B3w |język = pl |data dostępu = 2018-07-06 |tytuł = Metoda Laplace’a obliczania wyznaczników |opublikowany = Open AGH e-podręczniki |autor = Agnieszka Kowalik |data = 2016-09-19}}</ref>.

== Przykład ==
Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub [[kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.

Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:
: <math>A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 & 7 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
-1 & 1 & -1 & 1
\end{bmatrix}.</math>

Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:
: <math>\det A = \begin{vmatrix}
0+\color{Brown} 7 & 1-\color{Brown} 7 & 2+\color{Brown} \color{Brown} 7 & \color{Brown} 7 \\
1+\color{Brown} 4 & 2-\color{Brown} 4 & 3+\color{Brown} 4 & \color{Brown} 4 \\
5+\color{Brown} 8 & 6-\color{Brown} 8 & 7+\color{Brown} 8 & \color{Brown} 8 \\
-1+\color{Brown} 1 & 1-\color{Brown} 1 & -1+\color{Brown} 1 & \color{Brown} 1
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
7 & -6 & 9 & 7 \\
5 & -2 & 7 & 4 \\
13 & -2 & 15 & 8 \\
0 & 0 & 0 & {\color{blue} 1}
\end{vmatrix}.</math>

Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych [[minor]]ów) dostaniemy:
: <math>\det A
= (-1)^{4+1} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} -6 & 9 & 7 \\ -2 & 7 & 4 \\ -2 & 15 & 8 \end{vmatrix}
+ (-1)^{4+2} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 9 & 7 \\ 5 & 7 & 4 \\ 13 & 15 & 8 \end{vmatrix}
+ (-1)^{4+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 7 \\ 5 & -2 & 4 \\ 13 & -2 & 8 \end{vmatrix}
+ (-1)^{4+4} \cdot {\color{blue} 1} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix}.</math>

Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo – odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:
: <math>\det A =  {\color{blue} 1}
\cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} 7 & -6 & 2 \\ 5 & -2 & 2 \\ 13 & -2 & 2 \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} 7 & {\color{red} -4} & 2 \\ 5 & 0 & 2 \\ 13 & 0 & 2 \end{vmatrix}.</math>

Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:
: <math>\det A
= (-1)^{1+2} \cdot ({\color{red} -4}) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 13 & 2 \end{vmatrix}
= 4 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 13 & 2 \end{vmatrix}.</math>

Z kolei zredukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:
: <math>\det A
= 4 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 13 & 2 \end{vmatrix}
= 4 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ {\color{OliveGreen} 8} & 0 \end{vmatrix}.</math>

i po raz ostatni korzystamy z twierdzenia, tym razem rozwijając względem drugiego wiersza:
: <math>\det A
= 4 \cdot (-1)^{2+1} \cdot {\color{OliveGreen} 8} \cdot \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix}
= 4 \cdot (-1) \cdot 8 \cdot 2 = -64.</math>

== Zobacz też ==
* [[macierz]]
* [[Przekształcenie liniowe|operator liniowy]]
* [[wyznacznik]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Algebra liniowa}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Twierdzenia o wyznacznikach]]