Tekst źródłowy strony Rozmaitość różniczkowa

[[Plik:Nondifferentiable atlas.png|thumb|260x260px|('''1''') Przykład wprowadzenia '''rozmaitości różniczkowej klasy <math>C^0</math>''' na sferze: mapy tworzące tę rozmaitość zawierają '''linie współrzędnych,''' które są krzywymi w ogólności '''niegładkimi''' (na mapie środkowej i z prawej strony [[zwrotnik Raka]] jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie – ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia). ('''2''') Aby rozmaitość różniczkowa była '''klasy <math>C^1</math>''' (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach [[współrzędne krzywoliniowe]], których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.]] 

'''Rozmaitość różniczkowa''' lub '''rozmaitość różniczkowalna''' to [[zbiór]], który lokalnie tzn. w otoczeniu każdego punktu wygląda jak <math>\mathbb R^n </math> (ściślej: jak [[zbiór otwarty]] w <math>\mathbb R^n </math>), ponadto nie ma ''kantów''. Rozmaitości różniczkowe są podstawowym obiektem badań [[Geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]].

Naturalne przykłady rozmaitości różniczkowych to podzbiory <math>\mathbb R^n </math> takie jak [[sfera]] i [[Torus (matematyka)|torus]] jednakże rozmaitości różniczkowe nie muszą być podzbiorami <math>\mathbb R^n </math> i mogą mieć bardzo złożoną naturę. 

Rozmaitość różniczkową definiuje się jako [[przestrzeń Hausdorffa]] wyposażoną w zbiór ''map'', które pokrywają całą rozmaitość. Mapy składają się z podzbioru rozmaitości oraz funkcji, która przyporządkowuje punktom tego podzbioru współrzędne. Tę funkcję nazywa się ''układem współrzędnych''. Dopuszcza się istnienia wielu map dla danej rozmaitości, ponieważ w ogólności jedna mapa nie wystarcza do opisania jej w całości. Np. dla [[Sfera|sfery]] nie istnieje (w sensie geometrii różniczkowej) globalny układ współrzędnych,  ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się [[Układ współrzędnych sferycznych|współrzędne sferyczne]] (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy <math>C^\infty</math>).

Bardzo ważnym obiektem związanym z rozmaitościami różniczkowymi jest [[przestrzeń styczna]]. Przestrzeń styczna do rozmaitości różniczkowej w punkcie <math>p</math> to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Geometria różniczkowa formalizuje tę intuicję. Przestrzeń styczna pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] i umożliwia zdefiniowanie [[Pole wektorowe|pól wektorowych]] i [[Pole tensorowe|tensorowych]] na rozmaitościach. Poprzez zdefiniowanie [[Forma różniczkowa|form różniczkowych]] i całki z formy możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego i całkowego na rozmaitościach.   

Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w [[Szczególna teoria względności|szczególnej]] i [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej [[Czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]], która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. [[tensor metryczny]]).

== Definicja ==
''Mapą'' na [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] <math>M</math> w otoczeniu punktu <math>p\in M</math> nazwiemy parę <math>(U, \varphi)</math>, gdzie <math>U \subset M </math> zawiera <math>p</math>, a <math>\varphi : U \to \varphi(U) \subset \mathbb R^n </math> jest [[homeomorfizm]]em. Zbiór <math>U</math> nazywamy ''dziedziną mapy <math>(U, \varphi)</math>'', funkcję <math>\varphi </math> nazywamy ''układem współrzędnych w otoczeniu punktu <math>p</math>'', funkcję do niej odwrotną <math>\varphi^{-1}</math> nazywa się ''parametryzacją w otoczeniu punktu <math>p</math>'', a funkcje <math>x^i:=\pi^i \circ \varphi: U \to \mathbb R</math>, gdzie <math>\pi^i: \mathbb R^n \to \mathbb R</math> są rzutowaniami na <math>i</math>-tą współrzędną względem bazy standardowej <math>\mathbb R^n</math>:
:<math>\pi^i(x_1, x_2, \ldots, x_n):=x_i</math> 
nazywamy ''współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę <math>(U, \varphi)</math>''. Zbiór map, których dziedziny pokrywają całe <math>M</math> nazywamy ''atlasem'' na <math>M</math>. Przestrzeń Hausdorffa na której istnieje <math>n</math>-wymiarowy atlas nazywamy <math>n</math>-wymiarową [[Rozmaitość topologiczna|rozmaitością topologiczną]].

Atlas <math>\mathfrak M</math> na <math>M</math> nazwiemy klasy <math>C^r </math> jeżeli dla dowolnych dwóch map <math>(U, \varphi),\ (V, \psi)\in \mathfrak M</math> takich, że <math>U \cap V\neq \emptyset </math> ''odwzorowania zamiany współrzędnych'' <math>\varphi \circ \psi^{-1}: \psi(U \cap V) \to \varphi(U \cap V)</math> i <math>\psi \circ \varphi^{-1}: \varphi(U \cap V) \to \psi(U\cap V)</math> są klasy <math>C^r </math>.  

Mapę <math>(U, \varphi)</math> na <math>M</math> nazwiemy <math>C^r</math>-zgodną z atlasem <math>\mathfrak M </math> na <math>M</math> jeżeli dla każdej mapy <math>(V, \psi) \in \mathfrak M</math> takiej, że <math>U \cap V \neq \emptyset</math> odwzorowania zamiany współrzędnych są klasy <math>C^r </math>. 

Mając dany atlas <math>\mathfrak M</math> klasy <math>C^r </math> na <math>M</math> możemy dołączyć do niego wszystkie mapy <math>C^r</math>-zgodne z nim. W ten sposób otrzymamy maksymalny atlas <math>\overline \mathfrak M </math>. Parę: rozmaitość topologiczną wraz z maksymalnym atlasem klasy <math>C^r </math> nazywamy ''rozmaitością różniczkową'' klasy <math>C^r</math><ref name=":5">{{Cytuj |autor = Wojciech Wojtyński |tytuł = Grupy i algebry Liego |data = 1986 |s = 69}}</ref>.

== Funkcje różniczkowalne pomiędzy rozmaitościami ==
Niech <math>M, \ N</math> będą rozmaitościami różniczkowymi klasy <math>C^k </math> i niech <math>f:M \to N</math>. Powiemy, że funkcja <math>f</math> jest różniczkowalna klasy <math>C^r</math> (<math>r \leqslant k</math>) w punkcie <math>p</math> jeżeli dla pewnej mapy <math>(U, \varphi)</math> w otoczeniu punktu <math>p</math> i dla pewnej mapy <math>(V, \psi)</math> w otoczeniu punktu <math>f(p)</math> funkcja <math>F:=\psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \to \psi(V)</math> jest różniczkowalna, klasy <math>C^r</math> w punkcie <math>\varphi(p)</math><ref name=":0">{{Cytuj |autor = Wojciech Wojtyński |tytuł = Grupy i algebry Liego |data = 1986 |s = 71}}</ref>. 

W definicji korzystamy z pewnych map, ale definicja nie zależy od wyboru map, gdyż dla innych map <math>(U_1, \varphi_1),\ (V_1, \psi_1)</math> w otoczeniu odpowiednio <math>p</math> i <math>f(p)</math> mamy 
:<math>F_1=\psi_1 \circ f \circ \varphi_1^{-1}=(\psi_1\circ \psi^{-1}) \circ (\psi \circ f \circ \varphi^{-1}) \circ (\varphi \circ \varphi_1^{-1})=(\psi_1 \circ \psi^{-1})\circ F \circ (\varphi \circ \varphi _1 ^{-1}). </math>
Ponieważ odwzorowania zamiany współrzędnych <math>\psi_1 \circ \psi^{-1}</math> i <math>\varphi \circ \varphi_1 ^{-1}</math> są klasy <math>C^k </math>, to <math>F</math> i <math>F_1</math> są tej samej klasy gładkości.

Funkcję <math>f:M\to N</math> pomiędzy rozmaitościami nazywamy ''różniczkowalną'' klasy <math>C^r</math> jeżeli jest różniczkowalna klasy <math>C^r</math> w każdym punkcie swojej dziedziny.

== Przestrzeń styczna ==
{{Zobacz też|Przestrzeń styczna}}
Przestrzeń styczna do <math>n</math>-wymiarowej rozmaitości różniczkowej <math>M</math> w punkcie <math>p</math> to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Wektory te rozpinają <math>n</math>-wymiarową [[Przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] co pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej. Poniższa konstrukcja formalizuje tę intuicję.

Krzywą klasy <math>C^r</math> na <math>M</math> przechodzącą przez punkt <math>p</math> nazwiemy odwzorowanie <math>\gamma</math> klasy <math>C^r</math> dowolnego przedziału <math> (-\epsilon, \epsilon)\subset \mathbb R</math> w <math>M</math> takie, że <math>\gamma(0)=p</math>. Oznaczmy zbiór krzywych klasy <math>C^1</math> przechodzących przez punkt <math>p</math> przez <math>\bar T_pM</math>. W <math>\bar T_pM</math> dokonamy utożsamienia krzywych, które po przeniesieniu do <math>\mathbb R^n</math> za pomocą pewnej mapy <math>(U, \varphi)</math> mają równy wektor styczny w zerze. Mianowicie w <math>\bar T_pM</math> wprowadźmy relację 
:<math> \gamma_1 \sim \gamma_2 \Leftrightarrow \frac{d}{dt}(\varphi \circ \gamma_1)(0)=\frac{d}{dt}(\varphi \circ \gamma_2)(0).</math>
Relacja <math>\sim</math> jest [[Relacja równoważności|relacją równoważności]]. Relacja ta nie zależy od wyboru mapy <math>(U, \varphi)</math><ref>{{Cytuj |autor = Wojciech Wojtyński |tytuł = Grupy i algebry Liego |data = 1986 |s = 72}}</ref>. Oznaczmy zbiór [[Klasa abstrakcji|klas abstrakcji]] relacji <math>\sim</math> przez <math>T_pM</math>. <math>T_pM</math> nazywamy ''przestrzenią styczną do <math>M</math> w punkcie <math>p</math>''<ref name=":3">{{Cytuj |autor = Wojciech Wojtyński |tytuł = Grupy i algebry Liego |data = 1986 |s = 73}}</ref>. 

Zdefiniujmy funkcję <math>\Theta_\varphi: T_pM \to \mathbb R^n </math> wzorem 
:<math>\Theta_\varphi([\gamma]):= \frac{d}{dt}(\varphi \circ \gamma)(0)</math>,
gdzie <math>[\gamma]</math> oznacza klasę abstrakcji krzywej <math>\gamma</math>. <math>\Theta_\varphi</math> jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z <math>\mathbb R^n </math> do <math>T_pM</math>. Działania dodawania wektorów z <math>T_pM</math> i mnożenia ich przez skalar definiujemy mianowicie w następujący sposób. 

:<math>v+w:=\Theta_{\varphi}^{-1}(\Theta_\varphi(v)+\Theta_\varphi(w))</math>,

:<math>\alpha \cdot v:=\Theta_\varphi^{-1}(\alpha \cdot \Theta_\varphi(v)).</math>
Struktura liniowa w <math>T_pM</math> uzyskana w ten sposób nie zależy od wyboru mapy <math>(U, \varphi)</math><ref name=":3" />.

Mapa <math>(U, \varphi)</math> w otoczeniu punktu <math>p\in M</math> na <math>n</math>-wymiarowej rozmaitości indukuje bazę <math>T_pM</math> daną wzorami 
:<math>\frac{\partial }{\partial \varphi_i}:=\Theta_\varphi^{-1}(e_i),\ i=1,\ldots, n, </math> 
gdzie <math>(e_i)</math> oznacza bazę standardową <math>\mathbb R^n </math><ref name=":3" />. Bazę tę nazywamy ''bazą naturalną dla mapy <math>(U, \varphi)</math>''. Wektory tej bazy oznacza się również <math>\frac{\partial }{\partial x_i}, \ \partial_i</math> lub podobnie.

== Algebry funkcji C<sup>r</sup>(M) i C<sup>r</sup>(M, p) == 
{{Zobacz też|Kiełek funkcji gładkiej}}
Dla rozmaitości różniczkowej <math>M</math> klasy <math>C^r</math> oznaczmy zbiór funkcji <math>f:M\to \mathbb R</math> różniczkowalnych klasy <math>C^r</math> przez <math>C^r(M).</math> <math>C^r(M)</math> tworzy [[Algebra nad ciałem|algebrę]] nad <math>\mathbb R</math> z działaniami zdefiniowanymi punktowo. 

Dla punktu <math>p</math> na rozmaitości różniczkowej <math>M</math> rozpatrzmy zbiór par postaci <math>(f,U)</math>, gdzie <math>U</math> jest pewnym otoczeniem punktu <math>p</math>, a <math>f:U \to \mathbb R</math> jest [[Funkcja różniczkowalna|funkcją różniczkowalną]] klasy <math>C^r</math>. W zbiorze tym wprowadźmy relację <math>\sim</math>
:<math> (f_1, U_1) \sim (f_2, U_2) \Leftrightarrow</math> istnieje otoczenie <math>U \subset U_1 \cap U_2 </math> punktu <math>p</math> takie, że <math>f_1(x)=f_2(x)</math> dla <math>x \in U </math> 
Relacja <math>\sim</math> jest [[Relacja równoważności|relacją równoważności]]. [[Klasa abstrakcji|Klasy abstrakcji]] tej relacji nazywamy ''kiełkami'' funkcji klasy <math>C^r</math> w otoczeniu punktu <math>p</math>. Ich zbiór oznaczamy <math>C^r(M, p)</math>. W <math>C^r(M,p)</math> możemy wprowadzić strukturę algebry nad <math>\mathbb R</math> definiując działania<ref name=":0" /> 
:<math>[(f, U)]+[(g, V)]:=[(f+g, U \cap V)],</math>
:<math>\alpha[(f, U)]:=[(\alpha f, U)],</math>
:<math>[(f, U)]\cdot [(g, V)]:=[(f\cdot g, U \cap V)],</math>
gdzie <math>[(f,U)]</math> oznacza klasę abstrakcji pary <math>(f, U).</math>

== Przestrzeń kostyczna ==
{{Zobacz też|Moduł dualny|o1=Przestrzeń dualna}}
Przestrzeń <math>T^*_pM</math> dualną do przestrzeni <math>T_pM</math> nazywamy ''przestrzenią kostyczną do <math>M</math> w punkcie <math>p</math>''<ref name=":1">{{Cytuj |autor = Wojciech Wojtyński |tytuł = Grupy i algebry Liego |data = 1986 |s = 76}}</ref>.

Dla funkcji <math>f \in C^\infty(M, p)</math> zdefiniujmy odwzorowanie <math>df:T_pM \to \mathbb R</math> wzorem 
:<math>df([\gamma]):=\frac{d}{dt}(f \circ \gamma)(0).</math>
Dla <math>x^i:=\pi^i \circ \varphi</math> różniczki <math>dx^i: T_pM \to \mathbb R</math> są bazą dualną do bazy <math>\left(\frac{\partial }{\partial x_i}\right)</math> naturalnej dla mapy <math>(U, \varphi)</math> tzn. spełniają równania 
:<math>dx^i(v)=dx^i \left(\sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial }{\partial x_j} \right)=v_i, \ i=1,\ldots, n. </math><ref name=":1" />

== Odwzorowanie styczne ==
{{Zobacz też|Pochodna zupełna}}
Uogólnieniem [[Pochodna zupełna|pochodnej]] funkcji <math>f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m </math> na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami jest tzw. ''odwzorowanie styczne''. Niech <math>M,N</math> będą rozmaitościami różniczkowymi. Odwzorowaniem stycznym funkcji <math>f:M\to N</math> różniczkowalnej w punkcie <math>p \in M</math> nazywamy odwzorowanie <math>T_pf: T_pM \to T_{f(p)}N</math> dane wzorem 
:<math>T_pf([\gamma]):=[f\circ \gamma].</math><ref name=":1" />
Odwzorowanie styczne przyjmuje jako argumenty wektory styczne z <math>T_pM</math> i "przenosi je" do przestrzeni stycznej <math>T_{f(p)}N</math> analogicznie do pochodnej <math>Df(p)</math> funkcji <math>f:\mathbb R^n \to \mathbb R^m</math>, która przenosi wektory z <math>\mathbb R^n</math> do <math>\mathbb R^m</math>. Odwzorowanie <math>T_pf</math> nazywa się również pochodną funkcji <math>f</math> w punkcie <math>p</math> lub różniczką funkcji <math>f</math> w punkcie <math>p</math> i oznacza <math>d_pf</math> lub podobnie.

Korzystając z mapy <math>(U, \varphi)</math> w otoczeniu punktu <math>p\in M</math> oraz mapy <math>(V, \psi)</math> w otoczeniu punktu <math>f(p)</math> można badanie różniczkowalnej funkcji <math>f:M \to N</math> sprowadzić do badania odwzorowania <math>\Phi:= \psi \circ f \circ \varphi^{-1} </math>. Wówczas odwzorowanie styczne <math>T_p\Phi</math> można zinterpretować jako pochodną <math>D\Phi(p)</math> w sensie zwykłego rachunku różniczkowego na <math>\mathbb R^n </math><ref>{{Cytuj |autor = Wojciech Wojtyński |tytuł = Grupy i algebry Liego |data = 1986 |s = 77}}</ref>.

== Pola tensorowe na rozmaitościach ==
{{Zobacz też|Tensor|Pole tensorowe}}
Niech <math>T^{r,s}(V)</math> oznacza zbiór tensorów typu <math>(r,s)</math> <math>r</math>-krotnie kowariantnych i <math>s</math>-krotnie kontrawariantnych na przestrzeni liniowej <math>V</math>. Funkcję 
<math>t: M \to \bigcup_{p\in M} T^{r,s}(T_pM)</math> taką, że <math>t(p) \in T^{r,s}(T_pM)</math> nazywamy polem tensorowym typu <math>(r,s)</math> na <math>M</math> <math>r</math>-krotnie kowariantnym i <math>s</math>-krotnie kontrawariantnym. Innymi słowy pole tensorowe to funkcja, która każdemu punktowi <math>p</math> przyporządkowuje [[tensor]] na przestrzeni stycznej do rozmaitości w tym punkcie<ref>{{Cytuj |autor = Maciej Skwarczyński |tytuł = Geometria rozmaitości Riemanna |data = 1993 |s = 46}}</ref>. 

W bazie naturalnej dla mapy <math>(U, \varphi)</math> można pole tensorowe <math>t</math> na <math>n</math>-wymiarowej rozmaitości przedstawić lokalnie tzn. w dziedzinie tej mapy w następujący sposób<ref name=":4">{{Cytuj |autor = Wojciech Skwarczyński |tytuł = Geometria rozmaitości Riemanna |data = 1993 |s = 47}}</ref> 
:<math>t=\sum_{i_1, \ldots, i_r, j_1, \ldots, j_s=1}^nt_{i_1, \ldots, i_r}^{j_1, \ldots, j_s}dx^{i_1}\otimes \ldots \otimes dx^{i_r} \otimes \frac{\partial }{\partial x_{j_1}}\otimes \ldots \otimes \frac{\partial }{\partial x_{j_s}},</math>
gdzie <math>\otimes </math> oznacza [[Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych|iloczyn tensorowy]], a <math>(dx^i(p))</math> oznacza bazę dualną do bazy <math>\left( \frac{\partial}{\partial x_i}\right)</math> tzn. daną wzorami
:<math>dx^i(p)(v)=dx^i (p)\left(\sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial }{\partial x_j} \right)=v_i.</math>

Funkcje <math>t_{i_1, \ldots, i_r}^{j_1, \ldots, j_s}: U \to \mathbb R</math> nazywamy ''naturalnymi współrzędnymi pola <math>t</math>'' (w mapie <math>(U, \varphi)</math>)<ref name=":4" />. Jeżeli funkcje te są klasy <math>C^k</math> (gładkie) w punkcie <math>p \in M</math> to pole <math>t</math> nazywamy klasy <math>C^k </math> (gładkim) w punkcie <math>p</math>. Definicja ta nie zależy od wyboru mapy<ref name=":4" />. Pole <math>t</math> nazywamy klasy <math>C^k</math> (gładkim) jeżeli jest klasy <math>C^k</math> (gładkim) w każdym punkcie rozmaitości.

== Rachunek różniczkowy i całkowy na rozmaitościach == 
{{Zobacz też|Forma różniczkowa}}
Bardzo ważnymi polami tensorowymi są antysymetryczne, kowariantne pola tensorowe, czyli [[Forma różniczkowa|formy różniczkowe]], ponieważ to jedyne pola tensorowe, które można całkować. W lokalnym układzie współrzędnych <math>x^i:=\pi^i \circ \varphi </math> można lokalnie, tzn. w dziedzinie mapy <math>(U, \varphi)</math>, przedstawić <math>k</math>-formę różniczkową <math>\omega</math> na <math>n</math>-wymairowej rozmaitości różniczkowej <math>M \supset U</math> w postaci 
:<math>\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots < i_k \leqslant n } f_{i_1,\ldots, i_k}dx^{i_1}\wedge \ldots \wedge dx^{i_k},</math>
gdzie <math>\wedge</math> oznacza tzw. iloczyn zewnętrzny. 

Jeżeli forma różniczkowa <math>\omega</math> na <math>M</math> ma nośnik zwarty i zawarty w dziedzinie mapy <math>U \subset M</math> to całkę z niej definiujemy 
:<math>\int_U \omega:= \int_{\varphi(U)}(\varphi^{-1})^*\omega, </math>
gdzie <math>(\varphi^{-1})^* \omega </math> to forma cofnięta przez parametryzację <math>\varphi^{-1}</math>. <math>(\varphi^{-1})^* \omega </math> jest już formą różniczkową na zbiorze otwartym w <math>\mathbb R^n</math> i całkę z niej można zdefiniować jako [[Całka Lebesgue'a|całkę Lebesgue'a]].

W przypadku ogólnej formy różniczkowej <math>\omega</math> na zwartej rozmaitości różniczkowej <math>M</math> korzystamy z [[Rozkład jedności|gładkiego rozkładu jedynki]], żeby przedstawić <math>\omega</math> w postaci
:<math>\omega = \sum_{i=1}^n \omega \lambda_i.</math>
<math>\omega_i:=\omega\lambda_i</math> ma już nośnik zwarty i zawarty w dziedzinie pewnej mapy <math>U_i \subset M</math> w związku z czym możemy zdefiniować 
:<math>\int_M \omega:=\sum_{i=1}^n \int_{U_i} \omega_i.</math>

Formy różniczkowe można też różniczkować. ''Pochodną zewnętrzną'' formy <math>\omega = \sum_{1 \leqslant i_1 < \ldots <  i_k \leqslant n}f_{i_1, \ldots, i_k}dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge dx^{i_k}</math> definiujemy jako 
:<math> d\omega:=\sum_{1 \leqslant i_1 < \ldots <  i_k \leqslant n}df_{i_1, \ldots, i_k}\wedge dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge dx^{i_k},</math> 
gdzie <math>df_{i_1, \ldots, i_k}</math> oznacza odwzorowanie styczne funkcji <math>f_{i_1, \ldots, i_k}</math>. W definicji korzystamy z pewnej mapy, ale pochodna zewnętrzna nie zależy od wyboru mapy.

Głównym twierdzeniem rachunku form różniczkowych jest ''Ogólne twierdzenie Stokes'a'': Jeżeli <math>M</math> jest [[Zbiór zwarty|zwartą]], zorientowaną, <math>n</math>-wymiarową rozmaitością różniczkową z brzegiem <math>\partial M</math>, to dla <math>(n-1)</math>-formy <math>\omega</math> na <math>M</math> 
:<math>\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.</math>

== Rozmaitości gładkie ==
=== Przestrzeń styczna ===
{{Zobacz też|Przestrzeń styczna}}
Jeżeli w definicji rozmaitości różniczkowej przyjemy <math>r=\infty</math> to otrzymaną rozmaitość nazwiemy ''rozmaitością gładką''<ref name=":5" />. Rozmaitości gładkie różnią się od pozostałych rozmaitości tym, że w ich przypadku przestrzeń [[Styczna|styczną]] można zdefiniować w sposób algebraiczny. 

Niech <math>M</math> będzie rozmaitością gładką. Funkcjonałem różniczkowym na [[Algebra nad ciałem|algebrze]] <math>C^\infty(M, p)</math> nazwiemy [[Forma liniowa|funkcjonał liniowy]] <math>D:C^\infty(M,p)\to \mathbb R</math> taki, że dla każdych <math>f,g \in C^\infty(M,p) </math>
: <math>D(fg)=Df\cdot g(p)+f(p)\cdot Dg.</math>
Przestrzenią styczną do <math>M</math> w punkcie <math>p</math> nazywamy [[Przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] funkcjonałów różniczkowych na <math>C^\infty (M, p)</math>.<ref>{{Cytuj |autor = Wojciech Wojtyński |tytuł = Grupy i algebry Liego |data = 1986 |s = 75}}</ref> Oznaczmy ją <math>T_p^0M</math>. Zdefiniujmy <math>\gamma_*\in T_p^0 M</math>
wzorem 
:<math>\gamma_*(f):=\frac{d}{dt}(f \circ \gamma)(0)</math>. 
Funkcja <math>\varkappa: T_pM \to T_p^0M </math> dana wzorem
:<math>\varkappa([\gamma]):=\gamma_*</math> 
jest naturalnym [[izomorfizm]]em (tzn. izomorfizmem niezależnym od wyboru bazy). 

Definicja "algebraiczna" jest bardziej abstrakcyjna i mniej intuicyjna, ale często wygodna w użyciu.
=== Pola wektorowe===
{{Zobacz też|Algebra różniczkowa|Pole wektorowe}}
Niech <math>M</math> będzie gładką rozmaitością różniczkową i niech <math>X</math> będzie [[Pole wektorowe|polem wektorowym]] na <math>M</math>. Ponieważ dla <math>p\in M</math> <math>X_p:=X(p)</math> jest już wektorem stycznym z <math>T_pM</math> to w związku z tym, co zostało powiedziane w poprzednim podrozdziale można <math>X_p</math> uważać za funkcjonał różniczkowy. Wynika z tego, że pole wektorowe <math>X</math> na <math>M</math> przyporządkowuje funkcji <math>f\in C^\infty(M)</math> funkcję <math>Xf \in C^\infty(M)</math> daną wzorem 
: <math>(Xf)(p):=X_pf \in \mathbb R.</math>
Na rozmaitościach gładkich można pola wektorowe, podobnie jak przestrzeń styczną, zdefiniować czysto algebraicznie jako [[Algebra różniczkowa|różniczkowania]]<ref name=":2">{{Cytuj |autor = Wojciech Wojtyński |tytuł = Grupy i algebry Liego |data = 1986 |s = 86}}</ref>: dla pola wektorowego <math>X</math> funkcja <math>\tilde X: C^\infty (M) \to C^\infty(M)</math>
dana wzorem 
:<math>\tilde Xf:=\tilde X(f):=Xf</math>
jest różniczkowaniem algebry <math>C^\infty(M)</math> tzn. dla dowolnych <math>f,g \in C^\infty(M)</math>
spełnia 
:<math>\tilde X(fg)=\tilde Xf \cdot g+f\cdot \tilde Xg.</math>
Odwrotnie: jeżeli <math>D</math> jest liniowym różniczkowaniem algebry <math>C^\infty (M)</math> to
:<math>Df=\tilde Xf</math>
dla pewnego pola wektorowego <math>X</math> na <math>M.</math><ref name=":2" />

== Rozmaitości Riemannowskie ==
{{Zobacz też|Tensor metryczny|Rozmaitość riemannowska}}
Tensorem metrycznym na rozmaitości różniczkowej <math>M</math> nazywamy dwukrotnie kowariantne pole tensorowe <math>g</math> takie, że <math>g(p):T_pM\times T_pM \to \mathbb R</math> jest [[Iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]] tzn. dodatnio określoną, symetryczną [[Forma dwuliniowa|formą dwuliniową]]<ref>{{Cytuj |autor = Maciej Skwarczyński |tytuł = Geometria rozmaitości Riemanna |data = 1993 |s = 56}}</ref>. Parę: rozmaitość różniczkową wraz ze zdefiniowanym na niej tensorem metrycznym nazywamy [[Rozmaitość riemannowska|rozmaitością riemannowską]].

W mapie <math>(U, \varphi)</math> możemy lokalnie przedstawić <math>g</math> na <math>n</math>-wymiarowej rozmaitości różniczkowej w postaci
:<math>g = \sum_{i,j=1}^n g_{i,j}dx^i \otimes dx^j. </math> 

Dzięki strukturze riemannowskiej można mówić o kątach pomiędzy wektorami, o długości krzywych na rozmaitości. Dzięki temu możliwe jest zdefiniowanie [[Linia geodezyjna|linii geodezyjnych]].

== Zobacz też ==
'''Pojęcia ogólne'''
* [[Rozmaitość różniczkowa zanurzona w przestrzeni euklidesowej|Rozmaitość różniczkowa w <math>\mathbb R^n</math>]]
* [[rozmaitość riemannowska]]
* [[rozmaitość pseudoriemannowska]]
* [[współrzędne uogólnione]]
'''Operacje różniczkowe'''
* [[dywergencja]]
* [[Gradient (matematyka)|gradient]]
* [[rotacja]]
* [[Operator Laplace’a|Laplasjan]]
'''Inne'''
* [[wektor styczny]]
* [[wektor normalny]]

== Bibliografia ==
*{{Cytuj książkę|autor = Wojciech Wojtyński|tytuł = Grupy i algebry Liego|rok = 1986|wydawca = PWN|miejsce = Warszawa}}
*{{Cytuj książkę|autor = Maciej Skwarczyński|tytuł = Geometria rozmaitości Riemanna|rok = 1993|miejsce = Warszawa|wydawca = PWN}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rozmaitości]]