Tekst źródłowy strony Rozkład logistyczny

{{Rozkład prawdopodobieństwa infobox
 |nazwa                     = Rozkład logistyczny
 |typ                       = ciągły
 |wykres                    = Logisticpdfunction.png
 |opis wykresu              = 
 |wykres_dystrybuanty       = Logistic cdf.png
 |opis wykresu dystrybuanty = 
 |parametry                 = <math>\mu</math> [[parametr położenia]] ([[Liczby rzeczywiste|liczba rzeczywista]])<br /><math>s>0</math> [[parametr skali]] (liczba rzeczywista)
 |nośnik                    = <math>x \in (-\infty; +\infty)</math>
 |prawdopodobieństwo        = <math>\frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}</math>
 |dystrybuanta              = <math>\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}</math>
 |wartość_oczekiwana        = <math>\mu</math>
 |mediana                   = <math>\mu</math>
 |moda                      = <math>\mu</math>
 |wariancja                 = <math>\frac{\pi^2}{3} s^2</math>
 |skośność                  = <math>0</math>
 |kurtoza                   = <math>6/5</math>
 |entropia                  = <math>\ln(s)+2</math>
 |momenty                   = <math>e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)</math><br />dla <math>|s\,t|<1,</math> [[Funkcja Β|funkcja beta]]
 |char                      = <math>e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)</math><br />dla <math>|ist|<1</math>
 |odkrywca                  = 
}}
'''Rozkład logistyczny''' – [[ciągły rozkład prawdopodobieństwa]] używany w szczególności do opisu analitycznego [[proces wzrostu|procesów wzrostu]] osiągających [[stan wysycenia]].

Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3933572 | tytuł = krzywa logistyczna | data dostępu = 2023-08-30 }}</ref>:
: <math>l(x) = \frac {g}{1+d \cdot e^{-cx}},</math>

<math>g</math> wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie <math>g \equiv 1,</math> uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:
: <math>e^\tfrac{\mu}{s} = d</math>

oraz
: <math>\tfrac{1}{s} = c.</math>

== Symetria ==
Logistyczna [[zmienna losowa]] jest symetryczna względem [[wartość oczekiwana|wartości oczekiwanej]] <math>\alpha,</math> który jest jednocześnie [[Mediana|medianą]] rozkładu.

== Kwantyle ==
Do obliczenia [[kwantyl]]i można użyć [[Funkcja odwrotna|funkcji odwrotnej]]:
: <math>F^{-1}(p) = \mu - s \ln \left(\frac{1-p}{p}\right).</math>

== Zastosowanie ==
Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury [[dychotomia|dychotomicznej]] zmiennej w tzw. regresji [[Funkcja logitowa|Logit]]. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nieliniowej metodzie najmniejszych kwadratów do estymacji [[Szereg czasowy|szeregów czasowych]].

== Przykład ==
Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i [[Wariancja|wariancją]] σ² = 4 lata². Można więc zapisać
: <math>\mu =8</math> oraz

: <math>s = \frac{\sigma \cdot \sqrt 3}{\pi} = \frac{2 \cdot \sqrt 3}{\pi} \approx 1{,}10.</math>

Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:
: <math>\mathrm{P}(X > 10) = 1 - \mathrm{P}(X \leqslant 10)= 1 - \frac {1} {1+e^{-\frac{10-8}{1,1}}} = 1 - 0{,}8538 = 0{,}1462.</math>

A więc ok. 15% wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.

Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95% wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.
: <math>F^{-1}(0{,}9995) \approx 8 - 1{,}10 \ln \frac{0{,}9995}{1 - 0{,}9995} \approx -0{,}36044.</math>

Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym <math>\mathbb{R}</math>) jest dobrze opisywany przez teoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = LogisticDistribution | tytuł = Logistic Distribution }} [dostęp 2023-08-30].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Logistic_distribution Logistic distribution]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].

{{Rozkłady statystyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rozkłady ciągłe]]
[[Kategoria:Funkcje elementarne]]