Tekst źródłowy strony Rozkład jedności

'''Rozkład jedności''' – pojęcie używane w [[Matematyka|matematyce]] m.in. w [[Topologia|topologii]], [[Analiza matematyczna|analizie]] oraz [[Geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]].

== Definicja ==
Rodzinę <math>\{f_s\}_{s\in S}</math> funkcji [[Funkcja ciągła#Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych|ciągłych]] <math>f_s\colon X\to [0,1]</math> określonych na przestrzeni [[Przestrzeń topologiczna|topologicznej]] <math>X</math> nazywamy rozkładem jedności, o ile dla każdego <math>x\in X</math> zachodzi <math>\sum\limits_{s\in S} f_s(x)=1.</math> Z warunku tego wynika w szczegolności, że przy ustalonym <math>x\in X</math> zbiór <math>\{s\in S:f_s(x)\neq 0\}</math> jest [[Zbiór przeliczalny|przeliczalny]]<ref name="Engelking">{{Cytuj książkę |nazwisko = Engelking |imię = Ryszard |tytuł = Topologia ogólna |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 2007 |strony = 348–349 |isbn = 978-83-01-15254-3}}</ref>.

== Rodzaje rozkładów jedności ==
* Jeżeli [[Pokrycie zbioru|pokrycie]] <math>\{f_s^{-1}((0,1])\}_{s\in S}</math> przestrzeni <math>X</math> jest [[Rodzina lokalnie skończona|lokalnie skończone]], to mówimy, że taki rozkład jedności jest '''lokalnie skończony'''.
* Jeżeli pokrycie <math>\{f_s^{-1}((0,1])\}_{s\in S}</math> jest wpisane w pokrycie <math>\mathcal U</math> przestrzeni <math>X,</math> to mówimy, że rozkład jedności <math>\{f_s\}_{s\in S}</math> jest '''drobniejszy''' od pokrycia <math>\mathcal U</math><ref name="Engelking" />.

== Zastosowania ==
* Ważnym w topologii zastosowaniem rozkładów jedności jest charakteryzacja przestrzeni [[Przestrzeń parazwarta|parazwartych]]. Dokładniej, dla <math>T_1</math>-[[Przestrzeń T1|przestrzeni]] <math>X</math> następujące warunki są równoważne:
: a) Przestrzeń <math>X</math> jest parazwarta.
: b) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni <math>X</math> istnieje drobniejszy od niego lokalnie skończony rozkład jedności.
: c) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni <math>X</math> istnieje drobniejszy od niego rozkład jedności<ref name="Engelking" />.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Topologia ogólna]]