Tekst źródłowy strony Rozkład brzegowy

'''Rozkład brzegowy''' – pojęcie z [[Teoria prawdopodobieństwa|teorii prawdopodobieństwa]] i [[Statystyka|statystyki]] opisujące [[rozkład prawdopodobieństwa]] jednej lub kilku [[Zmienna losowa|zmiennych losowych]] (podzbioru zmiennych losowych) w przypadku, gdy mamy do czynienia z wielowymiarowym [[Łączny rozkład prawdopodobieństwa|łącznym rozkładem prawdopodobieństwa]]<ref>{{Cytuj |tytuł = Rachunek prawdopodobieństwa — Rozklady brzegowe i warunkowe |data dostępu = 2025-01-25 |opublikowany = www2.im.uj.edu.pl |url = http://www2.im.uj.edu.pl/LeszekPieniazek/DU/PR/test-17.html}}</ref><ref>{{Cytuj |tytuł = Marginal Distribution: Definition, Examples |data dostępu = 2025-01-25 |opublikowany = Statistics How To |url = https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/statistics-definitions/marginal-distribution/ |język = en}}</ref>. Innymi słowy, jest to rozkład jednej lub kilku zmiennych losowej uzyskany przez „pominięcie” innych zmiennych w analizie. 

== Przykłady ==
Rozkład brzegowy pojedynczej zmiennej uzyskuje się przez zsumowanie (dla zmiennych dyskretnych) lub scałkowanie (dla zmiennych ciągłych) [[Łączny rozkład prawdopodobieństwa|rozkładu łącznego]] względem pozostałych zmiennych.

Jeśli mamy dwie ciągłe zmienne losowe ''X'' i ''Y'', których łączny rozkład opisuje funkcja gęstości <math>f_{XY}(x,y)</math>, to rozkład brzegowy ''X'' można obliczyć przez scałkowanie ''Y'' z łącznego rozkładu:
:<math>f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{XY}(x,y)dy</math>.
Analogicznie, rozkład brzegowy Y to

:<math>f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{XY}(x,y)dx</math>
W przypadku dwóch dyskretnych zmiennych losowych ''A'' i ''B'' o łącznej [[Funkcja masy prawdopodobieństwa|funkcji masy prawdopodobieństwa]] <math>P_{AB}</math> rozkłady brzegowe to:
:<math>P_A(a_i) = \sum_j P_{AB}(A=a_i, B=b_j)</math>
:<math>P_B(b_j) = \sum_i P_{AB}(A=a_i, B=b_j)</math>
== Rozkład brzegowy zbiorowości ==

W przypadku zbiorowości (danych empirycznych) przy wyznaczaniu rozkładu brzegowego bierze się niekiedy pod uwagę liczność zamiast [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwa]].

Na przykład weźmy pod uwagę zbiorowość ''(X,&nbsp;Y)'', przy czym liczbę jej elementów równych ''(i,&nbsp;j)'' oznaczamy ''n<sub>ij</sub>''. Wtedy rozkład brzegowy zmiennej ''X'' przyjmie postać

:<math>n_i=\sum_jn_{ij}.</math>
== Przypisy ==

{{Przypisy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rozkłady prawdopodobieństwa]]