Tekst źródłowy strony Retrakcja (topologia)

{{inne znaczenia|topologii|[[retrakcja (teoria kategorii)]]}}
{{Spis treści}}
'''Retrakcja''' – przekształcenie ciągłe [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] ''X'' w zbiór ''A'' będący podzbiorem ''X'', tak aby wszystkie punkty ze zbioru ''A'' pozostały na swoim miejscu{{odn|Ciesielski|1997|s=106}}.

== Definicje ==
Niech <math>X</math> będzie przestrzenią topologiczną oraz <math>A\subseteq X.</math> [[Funkcja ciągła]]
: <math>r\colon X\to A</math>

nazywana jest '''retrakcją''', jeżeli
: <math>r|_A = \operatorname{id}_A,</math>

tzn. zachodzi równość <math>r(a) = a</math> dla wszystkich elementów <math>a</math> przestrzeni <math>A.</math>

Retrakcje odpowiadają w sposób wzajemnie jednoznaczny ''ciągłym odwzorowaniom idempotentnym''
: <math>i\colon X\to X,</math>

tj. takim funkcjom <math>i,</math> że <math>i \circ i = i.</math> Idempotentem odpowiadającym retrakcji
: <math>r\colon X\to A</math>

jest odwzorowanie <math>i_A \circ r,</math> gdzie <math>i_A\colon A \hookrightarrow X</math> jest [[zanurzenie (matematyka)|zanurzeniem]] kanonicznym: <math>i_A(a)=a</math> dla każdego elementu <math>a</math> przestrzeni <math>A.</math>

'''Retraktem''' przestrzeni topologicznej <math>X</math> nazywany jest każdy taki zbiór <math>B\subseteq X,</math> dla którego istnieje retrakcja <math>r\colon X\to B.</math> Przestrzenie [[homeomorfizm|homeomorficzne]] z retraktem <math>B</math> nazywane są '''r-obrazami''' przestrzeni <math>X.</math> Pojęcie retraktu i r-obrazu wprowadzone zostało przez [[Karol Borsuk|Karola Borsuka]].

'''Retraktem absolutnym''' ('''AR''') nazywa się taką przestrzeń topologiczną <math>X,</math> która włożona jako podzbiór domknięty w dowolną [[Przestrzeń T4|przestrzeń normalną]] <math>Y</math> jest retraktem <math>Y.</math>

== Własności ==
* Retrakcje przestrzeni topologicznych są [[Relacja równoważności|przekształceniami ilorazowymi]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko= McDougle |imię= P|tytuł= A theorem on quasi-compact mappings |url= |rok=1958 |wydawca=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] 9 |miejsce= |strony=474–477}}</ref><ref>{{cytuj książkę |nazwisko= McDougle |imię= P|tytuł= Mappings and space relations |url= |rok=1959 |wydawca=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]|miejsce= |strony=320–323}}</ref>.

'''Dowód.''' Niech <math>r\colon X \to A</math> będzie retrakcją przestrzeni <math>X</math> na swoją podprzestrzeń <math>A.</math> Należy dowieść, że dla dowolnej funkcji <math>f\colon A \to Y</math> o wartościach w każdej takiej przestrzeni topologicznej <math>Y,</math> że złożenie <math>f \circ r\colon X \to Y</math> jest ciągłe, również samo <math>f</math> jest ciągłe. Wynika to natychmiast z równości:
: <math>f = f \circ r \circ i_A,</math>
gdzie <math>i_A\colon A \to X</math> jest identycznościowym włożeniem <math>A</math> w przestrzeń <math>X.</math>

* Podprzestrzeń <math>M</math> przestrzeni topologicznej <math>X</math> jest jej retraktem wtedy i tylko wtedy, gdy każde przekształcenie ciągłe określone na <math>M</math> może być przedłużone na <math>X.</math>

* Każdy retrakt [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzeni Hausdorffa]] jest [[zbiór domknięty|domknięty]].

'''Dowód.''' Niech <math>r\colon X \to A</math> będzie retrakcją przestrzeni Hausdorffa <math>X</math> na swoją podprzestrzeń <math>A.</math> Przekątna:
: <math>\triangle_X := \{(x,y) \in X^2 : x=y\}</math>

jest podzbiorem domkniętym w produkcie <math>X^2</math> (tw. Bourbakiego). Zatem
: <math>A = (r \triangle Id_X)^{-1}(\triangle_X)</math>

jest domknięte w <math>X,</math> jako przeciwobraz zbioru domkniętego przy odwzorowaniu ciągłym <math>r \triangle Id_X\colon X \to X^2,</math> przy czym <math>Id_X\colon X \to X</math> oznacza przekształcenie identycznościowe.

* Każda podprzestrzeń 1-punktowa jest retraktem. Każda przestrzeń topologiczna, która nie ma [[przestrzeń T1|własności ''T''<sub>1</sub>]], ma podprzestrzeń, która jest retraktem, ale która nie jest domknięta w całej przestrzeni. Tak więc niedomknięte retrakty istnieją już w pewnych przestrzeniach 2-punktowych.

* Niech <math>G</math> będzie niepustym podzbiorem otwartym w <math>n</math>-wymiarowej [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]]. Jeżeli <math>Y</math> jest taką podprzestrzenią zwartą w przestrzeni <math>\mathbb{R}^n,</math> że <math>G\subseteq Y,</math> to zbiór <math>X := Y \setminus G</math> nie jest retraktem przestrzeni <math>Y.</math> Twierdzenie to zostało udowodnione przez Karola Borsuka.

'''Dowód'''. Niech <math>p\in G.</math> Niech <math>B</math> będzie kulą domkniętą, o środku w punkcie <math>p,</math> zawierającą <math>Y</math> w swoim wnętrzu. Gdyby twierdzenie nie zachodziło, to istniałaby retrakcja przestrzeni <math>Y</math> na <math>X.</math> Jest ona zgodna z identycznością na zbiorze domkniętym <math>B\backslash G,</math> więc razem tworzą retrakcję <math>Y \cup (B\backslash G) = B</math> na <math>B\backslash G.</math> Oznaczmy tę retrakcję przez r. Wtedy, oznaczając przez s promień kuli, oraz przez S sferę brzegową kuli B, zdefiniujmy <math>\rho : B\backslash G \to S{:}</math>
: <math>\rho(x) := p + s \cdot \frac{x-p}{|x-p|}</math>

Zatem <math>\rho \circ r : B \to S</math> byłoby retrakcją kuli domkniętej na jej sferę brzegową, co jest niemożliwe. '''Koniec dowodu'''.

* '''Twierdzenie''' (K.Borsuk) Niech <math>X</math> będzie podprzestrzenią zwartą w <math>R^n; n</math> – liczba naturalna. Niech <math>U</math> będzie otoczeniem otwartym <math>X</math> w <math>R^n,</math> przy czym <math>X</math> jest retraktem <math>U.</math> Wtedy <math>R^n\backslash X</math> ma tylko skończoną liczbę składowych spójności.

'''Dowód.''' Niech <math>B</math> będzie zwartym podzbiorem w <math>R^n,</math> zawierającym <math>X</math> w swoim wnętrzu (<math>B</math> może być kulą domkniętą o dostatecznie wielkim promieniu). Niech <math>W = U \cap Int(B).</math> Zatem <math>X</math> jest retraktem zbioru otwartego <math>W.</math>

Niech <math>S</math> będzie jedną ze składowych spójności zbioru <math>R^n\backslash X.</math> Wtedy <math>S</math> jest zbiorem otwartym (zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu) oraz <math>X\cup S</math> jest zbiorem domkniętym, jako dopełnienie unii wszystkich pozostałych składowych spójności zbioru <math>R^n\backslash X.</math> Gdyby <math>Y := S\subseteq W,</math> to <math>X\cup S</math> byłoby zwarte, i miałoby <math>X</math> za swój retrakt, w sprzeczności z wcześniejszym twierdzeniem Borsuka, powyżej. Zatem rodzina:
:: <math>\{S \backslash W : S</math> – składowa w <math>R^n\backslash X\}</math>

jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej <math>B\backslash W</math> niepustymi zbiorami parami rozłącznymi <math>S\backslash W.</math> Możemy z niego wybrać podpokrycie skończone. Ale jedynym podpokryciem pokrycia, złożonego z niepustych zbiorów parami rozłącznych, jest całe pokrycie. Zatem jest ono skończone – innymi słowy, zachodzi teza. '''Koniec dowodu.'''
* Każdy niepusty, domknięty podzbiór [[zbiór Cantora|zbioru Cantora]] jest jego retraktem.
* Każdy niepusty, domknięty podzbiór [[kostka Cantora|kostki Cantora]] <math>D^\mathfrak{m},</math> będący [[Zbiór typu G-delta|zbiorem typu G<sub>δ</sub>]], jest jej retraktem.
* Retrakt przestrzeni mającej [[własność punktu stałego]] ma własność punktu stałego.

== Przykłady ==
* <math>I=[0;1]</math> jest retraktem zbioru [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb{R}</math> z topologią naturalną. Retrakcją jest na przykład: <math>r:\mathbb{R}\to I,</math> określona:
: <math>r(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\ x & x\in I \\ 1 & x>1\end{cases}.</math>

* [[Sfera]] jednowymiarowa <math>S^1</math> (jednostkowy okrąg) nie jest retraktem przestrzeni <math>\mathbb{R}^2</math> (płaszczyzny). Jest natomiast retraktem przestrzeni <math>\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}</math> (płaszczyzny bez jednego punktu). Retrakcją jest na przykład <math>r:\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} \to S^1,</math> określona: <math>r(x)=\frac{x}{|x|}.</math>

== Zobacz też ==
* [[retrakt deformacyjny]]
* [[retrakt otoczeniowy]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Literatura ==
* {{cytuj książkę|tytuł=Diamenty Matematyki|autor link=Krzysztof_Ciesielski_(matematyk)|nazwisko=Ciesielski|imię=Krzysztof|imię2=Zdzisław|nazwisko2=Pogoda|autor link2=Zdzisław Pogoda|wydawca=[[Prószyński i S-ka]]|rok=1997|isbn=83-7180-145-9|odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Borsuk |imię= Karol |autor link= Karol Borsuk |tytuł= Theory of retracts |url= |rok=1966 |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]] |miejsce=Warszawa |strony=}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Engelking |imię= Ryszard |autor link= Ryszard Engelking |tytuł= Topologia Ogólna |url= |rok=1976 |wydawca=PWN |miejsce=Warszawa |strony=}}

[[Kategoria:Topologiczne własności funkcji]]