Tekst źródłowy strony Regularna liczba kardynalna

'''Regularna liczba kardynalna''' – [[zbiór skończony|nieskończona]] [[moc zbioru|liczba kardynalna]], która nie może być przedstawiona jako [[suma zbiorów|suma]] mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne, które nie są regularne nazywa się '''liczbami osobliwymi''' (singularnymi).

: ''W dalszej części artykułu zakłada się '''''ZFC''''' (bez [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] niektóre definicje należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).''

== Pojęcia wstępne ==
[[Liczby porządkowe|Liczba porządkowa]] <math>\alpha \in \mathbf{ON}</math> jest '''początkową liczbą porządkową''', jeśli <math>\alpha</math> ''nie'' jest [[moc zbioru|równoliczna]] z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywa się '''liczbami kardynalnymi''' (ich klasę oznacza się <math>\mathbf{CN}</math>).

Każdy [[zbiór]] ''A'' jest równoliczny (przy założeniu '''ZFC''') z pewną liczbą kardynalną oznaczaną <math>|A|</math> nazywaną '''mocą''' tego zbioru. Najmniejszą nieskończoną liczba kardynalną jest moc zbioru wszystkich liczb naturalnych <math>|\mathbb N|</math> oznaczana <math>\aleph_0.</math>

'''Współkońcowość''' (kofinalność) nieskończonej liczby kardynalnej <math>\kappa</math> to najmniejsza liczba kardynalna <math>\mu</math>, za pomocą której dowolny zbiór mocy <math>\kappa</math> można przedstawić w postaci sumy <math>\mu</math> wielu zbiorów mocy mniejszej niż <math>\kappa{:}</math>
: <math>\mathrm{cf}(\kappa)=\min\Big\{\mu\in \mathbf{CN}\colon\, \kappa=\bigcup\{A_\alpha\colon\, \alpha<\mu\}</math> dla pewnych zbiorów <math>A_\alpha\subseteq\kappa</math> o tej własności, że wszystkich <math>\alpha<\mu</math> zachodzi <math>|A_\alpha|<\kappa\Big\}.</math>

; Uwaga : Zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ jest zgodna ze współkońcowością tej liczby jako [[Porządek liniowy|porządku liniowego]]:
:: <math>\mathrm{cf}(\kappa)=\min\{\alpha\in \mathbf{ON}{:}</math> istnieje rosnący ciąg <math>\langle\xi_\beta:\beta<\alpha\rangle</math> taki że <math>(\forall\beta<\alpha)(\xi_\beta<\kappa)</math> oraz <math>(\forall\zeta<\kappa)(\exists\beta<\alpha)(\zeta<\xi_\beta)\}.</math>

== Definicje ==
Liczbę kardynalną <math>\kappa\geqslant\aleph_0</math> nazywa się
* '''liczbą regularną''', gdy <math>\mathrm{cf}(\kappa)=\kappa</math>;
* '''liczbą osobliwą''', jeśli <math>\mathrm{cf}(\kappa)<\kappa</math>.

== Podstawowe własności ==
* <math>\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2</math> są liczbami regularnymi.
* [[Następnik liczby kardynalnej]] (dla danej liczby <math>\kappa</math> pierwsza liczba kardynalna od niej większa, oznaczana <math>\kappa^+</math>) jest liczbą regularną.
* <math>\aleph_\omega</math> jest najmniejszą liczbą osobliwą. Następną taką liczbą jest <math>\aleph_{\omega+\omega}.</math>
* Jeśli <math>\alpha</math> jest [[Graniczna liczba porządkowa|graniczną liczbą porządkową]], to <math>\mathrm{cf}(\aleph_\alpha)=\mathrm{cf}(\alpha).</math> Zatem dla granicznych <math>\alpha,</math> <math>\aleph_\alpha</math> jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy <math>\aleph_\alpha=\alpha</math> jest [[liczba nieosiągalna|liczbą nieosiągalną]].
* Z punktu widzenia [[arytmetyka liczb kardynalnych|arytmetyki liczb kardynalnych]], liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby osobliwe:
** Zachowanie funkcji <math>\kappa\mapsto 2^\kappa</math> dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek <math>\kappa<\mathrm{cf}(2^\kappa)</math> i przez trywialny warunek <math>\kappa < \lambda \Rightarrow 2^\kappa\leqslant 2^\lambda.</math> Mianowicie, niech '''F''' będzie rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych, której wartościami są nieskończone liczby kardynalne oraz <math>\kappa<\mathrm{cf}(\mathbf{F}(\kappa))</math> dla wszystkich regularnych <math>\kappa.</math> Wówczas (jest niesprzecznym z '''ZFC''', że) <math>2^\kappa=\mathbf{F}(\kappa)</math> dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych <math>\kappa.</math>
** Właściwości funkcji <math>\kappa\mapsto 2^\kappa</math> dla liczb osobliwych zostały mniej poznane. [[Teoria PCF]] demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji.
*: '''Hipoteza liczb osobliwych''' ('''SCH''') to zdanie stwierdzające, że „dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej <math>\kappa,</math> jeśli <math>2^{\mathrm{cf}(\kappa)}<\kappa</math>, to <math>\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}=\kappa^+</math>”. Przy założeniu '''SCH''', potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję <math>\kappa\mapsto 2^\kappa</math> dla liczb regularnych. Naruszenie '''SCH''' jest związane z [[duże liczby kardynalne|dużymi liczbami kardynalnymi]]: Z naruszenia '''SCH''' można znaleźć pewne <!-- weasel term alert --> duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające '''SCH'''.

{{Liczby kardynalne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Liczby kardynalne]]