Tekst źródłowy strony Reguła de l’Hospitala

[[Plik:Hopital sin x by -0.5x.png|thumb|400px|Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji <math>{\color{BurntOrange}f(x)}={\color{BurntOrange}\sin(x)}</math> i <math>{\color{Red}g(x)}={\color{Red}-0{,}5x}{:}</math> funkcja <math>{\color{Brown}h(x)}={\color{BurntOrange}f(x)}/{\color{Red}g(x)}</math> jest nieokreślona w punkcie <math>x=0,</math> ale może zostać rozszerzona jako funkcja ciągła na cały zbiór <math>\mathbb{R}</math>, jeśli przyjmie się, że <math>{\color{Brown}h(0)}={\color{RoyalBlue}f'(0)}/{\color{Blue}g'(0)}=-2</math>.]]

'''Reguła de l’Hospitala''' lub '''de l’Hôpitala'''<ref group="uwaga" name="nazwisko">Ze względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z [[akcent przeciągły|cyrkumfleksem]] nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopi'tal].</ref> – [[twierdzenie]] w [[Analiza matematyczna|analizie matematycznej]], konkretniej [[Analiza rzeczywista|analizie rzeczywistej]] i [[Rachunek różniczkowy|rachunku różniczkowym]], umożliwiające obliczanie niektórych [[Granica funkcji|granic funkcji]] w sytuacjach, gdzie występują [[Symbol nieoznaczony|symbole nieoznaczone]] <math>\frac{0}{0}</math> i <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. Twierdzenie to opisuje zarówno granice funkcji w punkcie, jak i w [[Nieskończoność|nieskończoności]], a także zarówno granice właściwe – inaczej skończone – jak i [[Granica niewłaściwa funkcji|niewłaściwe]], czyli nieskończone.

== Twierdzenie ==
=== Podobne fakty ===
Bezpośrednio z definicji [[pochodna funkcji|pochodnej funkcji]] można wykazać następujące twierdzenie:
: Jeżeli funkcje <math>f</math> i <math>g</math> są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt <math>a</math> oraz
:# <math>\lim_{x\to a}f(x)=0,</math>
:# <math>\lim_{x\to a}g(x)=0,</math>
: oraz istnieją (skończone) pochodne <math>f'(a)</math> i <math>g'(a),</math> przy czym <math>g'(a)\neq 0,</math>
: wówczas
:: <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.</math>
: Jeśli dodatkowo <math>f</math> i <math>g</math> mają ciągłe pochodne w punkcie <math>a,</math> to<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3891093 | tytuł = de L’Hospitala reguła | data dostępu = 2021-12-16 }}</ref>{{odn|Fichtenholz|1999|s=275–281}}:
:: <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.</math>

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.
: <math>\begin{align}
\lim_{x\to 0}\tfrac{e^x-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1} &= \lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})}{\tfrac{-1}{e-x}+1} =\\
= \lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})}{\tfrac{-1+(e-x)}{e-x}} &= \lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}=\tfrac{2e}{e-1}.
\end{align}</math>

Często zdarza się jednak, że funkcje <math>f</math> i <math>g</math> nie są określone w punkcie <math>a,</math> jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane '''regułą de l’Hospitala''':

=== Wersja dla granic w punkcie ===
Niech funkcje <math>f</math> i <math>g</math> będą określone w przedziale <math>(a,b]</math> oraz
# <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=0,</math>
# <math>\lim_{x\to a^+}g(x)=0,</math>

lub
# <math>\lim_{x\to a^+}f(x)= \pm\infty,</math>
# <math>\lim_{x\to a^+}g(x)= \pm\infty,</math>

oraz istnieją (skończone) pochodne <math>f'</math> i <math>g'</math> w przedziale <math>(a,b],</math> przy czym <math>g'(x)\neq 0</math> dla <math>x\in (a,b].</math>

Wówczas, jeśli istnieje granica
: <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=K,</math>

to wtedy również
: <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=K.</math>

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych{{odn|Fichtenholz|1999|s=275–281}}{{odn|Rudnicki|2006|s=160–162}}{{odn|Strzelecki|2018|s=144–146}}.

=== Wersja dla granic w nieskończoności ===
Niech funkcje <math>f</math> i <math>g</math> będą określone w przedziale <math>[c,\infty)</math> oraz
# <math>\lim_{x\to \infty}f(x)=0,</math>
# <math>\lim_{x\to \infty}g(x)=0,</math>

lub
# <math>\lim_{x\to \infty}f(x)= \pm\infty,</math>
# <math>\lim_{x\to \infty}g(x)= \pm\infty,</math>

oraz istnieją (skończone) pochodne <math>f'</math> i <math>g'</math> w przedziale <math>[c,\infty),</math> przy czym <math>g'(x)\neq 0</math> dla <math>x\in [c,\infty).</math>

Wówczas, jeśli istnieje granica
: <math>\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=K,</math>

to wtedy również
: <math>\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=K.</math>

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy <math>x\to -\infty</math>{{odn|Fichtenholz|1999|s=275–281}}{{odn|Rudnicki|2006|s=160–162}}{{odn|Strzelecki|2018|s=144–146}}.

=== Wersja dla funkcji różniczkowalnych wielokrotnie ===
Jeżeli funkcje <math>f</math> i <math>g</math> są określone w przedziale otwartym <math>I</math> zawierającym punkt <math>a</math> oraz
# w przedziale <math>I</math> istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do <math>n</math> włącznie funkcji <math>f</math> i <math>g,</math>
# <math>f(a)=f'(a)=\ldots=f^{(n-1)}(a)=0,</math> <math>g(a)=g'(a)=\ldots=g^{(n-1)}(a)=0,</math> oraz <math>g^{(n)}(a)\neq 0,</math>
# <math>g(x)\neq 0</math> dla <math>x\in I\setminus\{a\},</math>

wówczas
: <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}</math>{{odn|Fichtenholz|1999|s=275–281}}{{odn|Strzelecki|2018|s=144–146}}.

== Historia ==
[[Plik:Guillaume de l'Hôpital.jpg|mały|[[Guillaume François Antoine de l’Hospital]] (1661–1704)]]

Regułę tę opisał po raz pierwszy [[Johann Bernoulli]], opublikował zaś jego uczeń [[Guillaume François Antoine de l’Hospital]]<ref group="uwaga" name="nazwisko" />. W [[1696]] de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego ''L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes'', w którym zawarto to twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia{{fakt|data=2022-06}}, niemniej jednak nazwa ''reguła de l’Hospitala'' jest powszechnie używana.

Nazwa ''reguła de l’Hospitala'' została użyta po raz pierwszy w 1905 roku, w podręczniku do [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]] autorstwa [[Édouard Goursat|Édouarda Goursata]]<ref>{{otwarty dostęp}} Jeff Miller, ''L’Hospital’s rule'' [w:] ''[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/l/ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (L)]'' {{lang|en}}, [[MacTutor History of Mathematics archive]], [[University of St Andrews]], mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2024-07-11].</ref><ref>{{MacTutor|id=Goursat}}:
: „It is almost certain that ''l’Hôpital’s rule'', for finding the limit of a rational function whose numerator and denominator tend to zero at a point, is so named because Goursat named the rule after de l’Hôpital in his ''Cours d’analyse mathématique''. Certainly the rule appears in earlier texts (for example it appears in the work of Euler), but Goursat is the first to attach de l'Hôpital's name to it”.</ref>.

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Stolza]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Fichtenholz |imię = Grigorij Michajłowicz |autor link = Grigorij Fichtenholz |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy |wydanie = dwunaste |tom = 1 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |rok = 1999 |isbn = 83-01-02175-6 | odn = tak }}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Rudnicki |imię = Ryszard | autor link = Ryszard Rudnicki |tytuł = Wykłady z analizy matematycznej | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | miejsce = Warszawa | rok = 2006 | isbn = 978-83-01-14946-8 | odn = tak }}
* {{Cytuj |autor = [[Paweł Strzelecki (matematyk)|Paweł Strzelecki]] |url = https://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/analiza/Analiza_Matematyczna_1/Notatki_itp./Archiwum_files/skryptAM1-2010-11-ver01.010c.pdf |tytuł = Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) | opublikowany = mimuw.edu.pl |data = 14 grudnia 2018 |data dostępu = 2024-07-08 |dostęp = o |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = LHospitalsRule | tytuł = L'Hospital's Rule }} [dostęp 2022-06-20].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/L%27Hospital_rule L'Hospital rule]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].

{{Rachunek różniczkowy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Twierdzenia rachunku różniczkowego]]
[[Kategoria:Granice]]