Tekst źródłowy strony Równanie różniczkowe Riccatiego

'''Równanie różniczkowe Riccatiego''' – typ [[równanie różniczkowe zwyczajne|równania różniczkowego zwyczajnego]] nieliniowego rzędu pierwszego.

Równanie postaci:
: <math>\frac{dy}{dx}=p(x)y^2+q(x)y+r(x),</math>

gdzie <math>p, q, r</math> są [[funkcja ciągła|funkcjami ciągłymi]], określonymi na pewnym ustalonym przedziale <math>(a, b),</math> nazywane jest '''równaniem Riccatiego''', od nazwiska włoskiego matematyka, [[Jacopo Riccati]]ego.

Przypadki szczególne:
* dla <math>r(x)\equiv 0</math> równanie sprowadza się do [[równanie różniczkowe Bernoulliego|równania różniczkowego Bernoulliego]],
* dla <math>p(x)\equiv 0</math> równanie sprowadza się do [[równanie liniowe|równania liniowego]].

Można wykazać, że przez każdy punkt obszaru <math>(a, b)\times \mathbb{R}</math> przechodzi dokładnie jedna [[krzywa całkowa]]. Dowodzi to, że całkowanie równania Riccatiego na ogół nie daje się sprowadzić do [[kwadratura|kwadratur]]. Znając jednak pewne rozwiązanie szczególne <math>y_1</math> równania Riccatiego można sprowadzić je poprzez podstawienie:
: <math>y=y_1+\frac{1}{z}</math>

do równania liniowego. Istotnie, po wstawieniu otrzymuje się:
: <math>y_1'-\frac{z'}{z^2}=p(x)y_1^2+q(x)y_1+r(x)+\frac{2p(x)y_1}{z}+\frac{p(x)}{z^2}+\frac{q(x)}{z},</math>

skąd wobec równości:
: <math>y_1'=p(x)y_1^2+q(x)y_1+r(x)</math>

otrzymuje się [[Równanie różniczkowe#Równania postaci y'(x) = p(x) y(x) + q(x)|równanie różniczkowe liniowe]]:
: <math>z'+(2p(x)y_1+q(x))z= -p(x).</math>
:
: Do równania Riccatiego można sprowadzić równanie liniowe drugiego rzędu podstawieniem
: <math>y(x)=e^{\int u(x)dx}.</math>
:
: Równanie Riccatiego można sprowadzić do równania liniowego drugiego rzędu podstawieniem
: <math>u(x)=e^{-\int p(x)y(x)dx}.</math>

== Zobacz też ==
* [[algebraiczne równanie Riccatiego]]
* [[równanie różniczkowe Clairauta]]
* [[równanie różniczkowe zupełne]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Leja |imię=Franciszek |autor link=Franciszek Leja |tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy |miejsce=Warszawa |wydawca=PWN |rok=1976 |strony=464}}

{{Równania różniczkowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Równania różniczkowe zwyczajne|Riccatiego]]