Tekst źródłowy strony Równanie funkcyjne Cauchy’ego

'''Równanie funkcyjne Cauchy’ego''' to równanie funkcyjne zadane wzorem:
: <math>f(x+y) = f(x) + f(y).</math>

Funkcję spełniającą dane równanie nazywamy [[Funkcja addytywna (algebra)|addytywną]]. Rozwiązaniami tego równania w zbiorze [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]] są tylko funkcje liniowe postaci <math>f(x) = cx</math> dla pewnej liczby wymiernej <math>c.</math> W zbiorze [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] dane równanie ma również rozwiązania nieliniowe, co wynika z [[Aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]]. Jednak rozwiązanie jest liniowe, jeśli spełnia chociaż jeden z poniższych warunków:
* funkcja <math>f</math> jest prawostronnie lub lewostronnie [[Funkcja ciągła|ciągła]] w przynajmniej jednym punkcie,
* funkcja <math>f</math> jest [[Funkcja ograniczona|ograniczona]] w pewnym przedziale,
* funkcja <math>f</math> jest [[Funkcja monotoniczna|monotoniczna]] w pewnym przedziale.

== Rozwiązania w liczbach wymiernych ==
'''Twierdzenie:''' Każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach wymiernych jest funkcją liniową.

'''Dowód:''' Wstawiając do równania <math>x=y=0</math> otrzymujemy, że <math>f(0)=f(0)+f(0),</math> skąd wynika <math>f(0)=0.</math> Zatem <math>f(-q)=-f(q),</math> bowiem <math>0=f(0)=f(q+(-q))=f(q)+f(-q).</math>

Dla <math>n \in \mathbb{N}, \ q \in \mathbb{Q}</math> zachodzi <math>f(nq) = f(q+(n-1)q) = f(q)+f((n-1)q) = f(q)+f(q+(n-2)q) = f(q)+f(q)+f((n-2)q) = \ldots = n\cdot f(q),</math>

co w połączeniu z poprzednią obserwacją implikuje <math>f(mq)=m\cdot f(q)</math> dla <math>m \in \mathbb{Z}.</math> Wstawiając <math>\frac{q}{n}</math> w miejsce <math>q</math> otrzymujemy równość <math>f(q)=f\left(n\cdot \frac{q}{n}\right)=nf\left(\frac{q}{n}\right),</math> z której wynika <math>f\left(\frac{q}{n}\right)=\frac{1}{n}f(q).</math>

W takim razie, oznaczając <math>q=\frac{m}{n}</math> dla <math>m\in \mathbb{Z}, \ n\in \mathbb{N}</math> oraz po podstawieniu <math>f(1)=c,</math> otrzymujemy tezę, bowiem <math>f(q)=f\left(\frac{m}{n}\right)= f\left(\frac{1}{n}\cdot m \right)=\frac{1}{n}f(m)=\frac{m}{n}f(1)=qc. \ \square</math><ref name=":0">{{Cytuj |autor = Stanisław Gładysz |tytuł = Wste̜p do topologii |data = 1981 |data dostępu = 2023-07-11 |isbn = 978-83-01-01809-2 |miejsce = Warszawa |s = 31–32}}</ref>.

== Warunki wystarczające na liniowość rozwiązania w liczbach rzeczywistych ==
=== Ciągłość ===
'''Twierdzenie:''' Jeśli funkcja <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> spełnia równanie Cauchy’ego i jest w przynajmniej jednym punkcie prawostronnie lub lewostronnie ciągła, to jest ona funkcją liniową.

'''Dowód:''' Niech <math>x_0</math> będzie punktem prawostronnej ciągłości funkcji <math>f,</math> które spełnia równanie funkcyjne Cauchy’ego (dla ciągłości lewostronnej dowód wygląda analogicznie). Dla dowolnego <math>x_1 \in \mathbb{R}</math> zachodzi
: <math>f(x_1 + x) = f(x_0+x+x_1 -x_0) = f(x_0+x)+f(x_1-x_0).</math>

Gdy <math>x \to 0^+,</math> to istnieje granica prawej strony powyższego wyrażenia, zatem granica lewej strony również musi istnieć i jest ona równa
: <math>\lim\limits_{x \to 0^+}f(x_1+x)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x_0+x)+f(x_1-x_0)=f(x_0)+f(x_1-x_0)=f(x_0+x_1-x_0)=f(x_1).</math>

Funkcja <math>f</math> jest zatem prawostronnie ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Dla dowolnego <math>x \in \mathbb{R}</math> zachodzi
: <math>f(x)=\lim_{q\to x^+}f(q)=\lim_{q\to x^+}cq=cx,</math>

gdzie liczby <math>q \in \mathbb{Q},</math> a z rozwiązania równania w liczbach wymiernych wynika, że <math>f(q)=cq.</math> Funkcja <math>f</math> jest więc ciągła. <math>\square</math>

=== Ograniczoność ===
'''Twierdzenie:''' Jeśli funkcja <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> spełnia równanie Cauchy’ego i jest w pewnym przedziale ograniczona, to jest funkcją liniową.

'''Dowód:''' Niech funkcja <math>f</math> spełnia równanie Cauchy’ego i jest ograniczona w przedziale <math>[a, b],</math> gdzie <math>a<b.</math> Funkcja <math>f</math> jest w takim razie ograniczona również w przedziale <math>[0, b-a],</math> bowiem <math>f(x)=f(a+x)-f(a),</math> a prawa strona podanej równości jest ograniczona w tym przedziale. Dla argumentów z tego przedziału zachodzi zatem ograniczenie <math>|f(x)| \leqslant K.</math> Dla <math>x \in [0, b-a]</math> zachodzi zatem
: <math>|f(x)|
=\frac{\left|f\left(\left\lfloor \frac{b-a}{x} \right\rfloor \cdot x\right)\right|}
{\left\lfloor \frac{b-a}{x} \right\rfloor}
\leqslant \frac{K}{\left\lfloor \frac{b-a}{x} \right\rfloor}.</math>

Przy <math>x \to 0^+</math> prawa strona nierówności zbiega do 0, zatem <math>\lim_{x\to 0^+}f(x)=0,</math> ale z drugiej strony <math>f(0)=0,</math> więc funkcja ta ma w zerze punkt prawostronnej ciągłości. Na mocy poprzedniego twierdzenia musi ona być funkcją liniową. <math>\square</math>

=== Monotoniczność ===
'''Twierdzenie:''' Jeśli funkcja <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> spełnia równanie Cauchy’ego i jest na pewnym przedziale monotoniczna, to jest ona funkcją liniową.

'''Dowód:''' Dowód wynika wprost z tego, że każda funkcja monotoniczna posiada w przedziale monotoniczności punkt ciągłości. Alternatywnie dowód wynika stąd, że funkcja monotoniczna w przedziale <math>[a, b]</math> jest w nim ograniczona przez <math>f(a)</math> i <math>f(b).</math> <math>\square</math><ref name=":0" />

== Istnienie nieliniowych rozwiązań w liczbach rzeczywistych ==
'''Twierdzenie:''' W liczbach rzeczywistych istnieją nieliniowe rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego. Ich istnienie wymaga jednak założenia aksjomatu wyboru.

'''Dowód:''' Rozpatrzmy przestrzeń wektorową <math>\mathbb{R} (\mathbb{Q}).</math> Z równoważnego aksjomatowi wyboru [[Lemat Kuratowskiego-Zorna|lematu Kuratowskiego-Zorna]] wynika, że przestrzeń ta ma pewną bazę <math>\mathcal{B}=\{ x_i \}_{i\in I}.</math> Każdą liczbę rzeczywistą <math>x</math> można więc jednoznacznie przedstawić jako sumę <math>x=\sum_{i \in I}x_i \lambda_i,</math> gdzie <math>\lambda_i</math> są skalarami z ciała <math>\mathbb{Q}</math> i tylko skończenie wiele spośród nich jest różnych od zera. Możemy przyjąć dowolne wartości dla funkcji <math>f</math> na wektorach bazowych i określić wzór <math>f</math> następująco:
: <math>f(x)=f\left(\sum_{i\in I}x_i \lambda_i \right) = \sum_{i \in I}f(x_i)\lambda_i.</math>

Taka funkcja jest rzeczywiście dobrze określona, co wynika z jedyności rozkładu liczb rzeczywistych na wektory bazowe. Ponadto jest ona rozwiązaniem równania funkcyjnego Cauchy’ego, bowiem dla dowolnych rzeczywistych <math>x=\sum_{i \in I}x_i p_i, \ y=\sum_{i\in I}x_iq_i</math> zachodzi <math>x+y=\sum_{i \in I}x_i(p_i + q_i),</math> a także
: <math>f(x)+f(y) = \sum_{i\in I}f(x_i)p_i + \sum_{i\in I}f(x_i)q_i=\sum_{i\in I}f(x_i)(p_i+q_i)=f(x+y).</math>

Tak określona funkcja <math>f</math> jest liniowa wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie <math>\frac{f(x_i)}{x_i}</math> ma stałą wartość dla każdego <math>x_i \in \mathcal{B}.</math> Aby otrzymać nieliniowe rozwiązanie wystarczy tak dobrać wartości na wektorach bazowych, żeby warunek ten nie był spełniony. <math>\square</math>{{fakt|data=2023-09}}

== Własności nieliniowych rozwiązań ==
'''Twierdzenie:''' Wykres każdego nieliniowego rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach rzeczywistych jest [[Zbiór gęsty|gęsty]] w <math>\mathbb{R}^2.</math>

'''Dowód:''' Bez straty ogólności załóżmy, że <math>f(1)=1</math> (jeśli <math>f(1) \neq 1</math> i <math>f(1) \neq 0,</math> to jest to tylko kwestia pomnożenia przez stałą). W takim razie <math>f(q)=q</math> dla <math>q \in \mathbb{Q}.</math> Ponieważ funkcja ta jest nieliniowa, to istnieje takie <math>\alpha \in \mathbb{R},</math> że <math>f(\alpha) \neq \alpha,</math> czyli <math>f(\alpha) = \alpha + \delta,</math> dla pewnego <math>\delta \neq 0.</math> Weźmy dowolne koło o środku w punkcie <math>(x, y)</math> i promieniu <math>r,</math> gdzie <math>x, y, r \in \mathbb{Q}</math> (jest to wystarczające, ponieważ <math>\mathbb{Q}^2</math> jest gęste w <math>\mathbb{R}^2</math>). Niech <math>\beta = \frac{y-x}{\delta}</math> i <math>b\neq 0</math> będzie taką liczbą wymierną, że <math>|\beta - b| < \frac{r}{3|\delta|}.</math> Ponadto niech <math>a</math> będzie taką liczbą wymierną, że <math>|\alpha - a| < \frac{r}{3|b|}.</math> Weźmy <math>X=x+b(\alpha -a).</math> Wtedy:
: <math>Y=f(X) = f(x+b(\alpha-a)) = x+bf(\alpha)-bf(a) = y-\delta\beta+b(\alpha+\delta)-ab = y+b(\alpha-a) + \delta (b-\beta)</math>

: <math>(Y-y)^2+(X-x^2) = \big(b(\alpha-a)+\delta (b-\beta)\big)^2 + \big(b(\alpha-a)\big)^2 < \left(\frac{r}{3} + \frac{r}{3}\right)^2 + \left(\frac{r}{3}\right)^2=\frac{5}{9}r^2< r^2.</math>

Punkt <math>(X, Y)</math> należy do wnętrza koła, co dowodzi gęstości wykresu funkcji.

Dla <math>f(1)=0</math> dowód wygląda podobnie.

Oznaczamy <math>f(\alpha)=\delta\neq 0, \ \beta=\frac{y}{\delta}</math> oraz dobieramy <math>a, b \in \mathbb{Q}</math> w ten sposób, aby spełniały <math>|\beta - b|<\frac{r}{3|\delta|}, \ |\alpha-a|<\frac{r}{3|b|}.</math>

Podstawiając <math>X=x+b(\alpha -a)</math> otrzymujemy <math>Y=f(X)=b\delta.</math> Zatem
: <math>(Y-y)^2+(X-x)^2 = (b\delta - \beta\delta)^2+(b(\alpha-a))^2<\frac{r^2}{9}+\frac{r^2}{9}<r^2.</math>

W takim razie punkt <math>(X, Y)</math> należy do wnętrza koła, co kończy dowód przypadku, gdy <math>f(1)=0. \ \square</math>{{fakt|data=2023-09}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Topologia algebraiczna]]
[[Kategoria:Równania funkcyjne]]