Tekst źródłowy strony Równanie Johnsona-Mehla

'''Równanie Johnsona-Mehla''' – cząstkowe rozwiązanie równania prędkości przemiany, po przyjęciu szeregu upraszczających założeń. Zostało opracowane przez Johnsona i Mehla i pierwotnie posłużyło do opisu zależności prędkości przemiany od czasu przemiany dla [[Przemiana izotermiczna|izotermicznego]] rozpadu [[austenit]]u w [[Perlit (metalurgia)|perlit]]<ref name=doom>{{Cytuj książkę |autor = Kędzierski Zbigniew |tytuł = Przemiany fazowe w układach skondensowanych |wydawca = UWND AGH| rok = 2003 |miejsce = Kraków |isbn = 83-88408-75-5}}</ref>.

== Założenia ==
* Zarodkowanie i wzrost cząstek nowej fazy biegną równolegle w trakcie całego czasu przemiany.
* Rozmieszczenie zarodków w objętości fazy wyjściowej jest całkowicie przypadkowe.
* Prędkość zarodkowania jest stała.
* Cząstki nowej fazy zarodkują i rosną w kształcie kul ([[Nukleacja#Zarodkowanie homogeniczne|zarodkowanie homogeniczne]]).
* Liniowa prędkość wzrostu nie zmienia się z czasem<ref name=doom />.

== Idea równania J-M ==
Ogólne równanie prędkości przemiany:
:: <math>\frac{dy}{dt} = S_v(t) R(t),</math>

gdzie:
: <math>y</math> – ułamek przemiany (postęp przemiany) [m³],
: <math>t</math> – czas [s],
: <math>S_v(t)</math> – całkowita powierzchnia międzyfazowa, zmieniająca się z czasem [m²],
: <math>R(t)</math> – prędkość migracji powierzchni międzyfazowej, zmieniająca się z czasem [m/s].

Po uwzględnieniu założeń Johnsona-Mehla wprowadza się nowe współczynniki do powyższego równania. Ułamek przemiany y zostaje zastąpiony przez tzw. przedłużony ułamek przemiany y<sub>y</sub>, a powierzchnia międzyfazowa S na przedłużoną powierzchnię międzyfazową S<sub>y</sub>. Są to odpowiednio wielkości objętości i powierzchni międzyfazowej jaką posiadałyby cząstki nowej fazy, gdyby wzrastały bez zderzeń i mogły zarodkować w całej objętości materiału (nawet w miejscach, gdzie zaszła już przemiana).

Johnson i Mehl wykazali, że z całkowitej przedłużonej powierzchni międzyfazowej wszystkich sferycznych cząstek jedynie pewien jej ułamek nie znajduje się wewnątrz innych cząstek. Zapisać można to poniższą relacją:
:: <math>S = S_y(1 - y).</math>

Po podłożeniu wszystkich nowych zmiennych i relacji oraz następnie scałkowaniu wyrażenia otrzymujemy równanie Johnsona-Mehla:
:: <math>y = 1 - \exp(-y_y).</math>

Relacja ta określa związek pomiędzy rzeczywistym ułamkiem przemiany y i hipotetycznym ułamkiem przedłużonym y<sub>y</sub>. W zależności od przyjętych założeń odnośnie do geometrii faz, warunków zarodkowania oraz wzrostu, szczegółowa postać równania ulega zmianie. W każdym przypadku krzywa obrazująca zmianę ułamka przemiany w czasie objawia się w postaci sigmoidalnej<ref name=doom />.

== Wykorzystanie praktyczne ==
Dane eksperymentalne dotyczące zmian ułamka przemiany w czasie pochodzą z badań:
* [[Dylatometria|dylatometrycznych]],
* magnetycznych,
* [[Metalografia|metalograficznych]].

Układają się one w postaci krzywej sigmoidalnej. Z tego powodu równanie Johnsona-Mehla przedstawia się najczęściej w poniższej postaci:
:: <math>y = 1 - \exp -(kt)^n,</math>

gdzie:
: <math>y</math> – ułamek przemiany (postęp przemiany) [m³],
: <math>k</math> – stała prędkości przemiany [s<sup>−1</sup>],
: <math>t</math> – czas [s],
: <math>n</math> – wykładnik potęgowy.

Kształt krzywej <math>y(\log(t))</math> określony jest wartością wykładnika potęgowego. Stała prędkości przemiany determinuje położenie wykresu na osi czasu<ref name=doom />.

=== Wykładnik potęgowy n ===
Wartość wykładnika potęgowego może być wyznaczona graficznie dla wykresu o równaniu liniowym:
:: <math>\log\left(\ln\left[\frac{1}{1 - y}\right]\right) = n \log(t) + n \log(k).</math>

Wykładnik potęgowy ma wartość tangensa kąta nachylenia takiej prostej<ref name=doom />.

=== Stała prędkości przemiany k ===
Stałą prędkości przemiany można wyznaczyć odczytując z wykresu y(log(t)) wartość t<sub>0,63</sub>. Wynika to z faktu, że dla kt = 1 ułamek przemiany wynosi 0,63.
:: <math>k = \frac{1}{t_{0{,}63}}.</math>

Wartość stałej prędkości ma zdecydowany wpływ na proces zarodkowania oraz mechanizm migracji powierzchni międzyfazowej. Obydwa te procesy są aktywowane cieplnie, dlatego dla stałej prędkości przemiany również można zapisać taką relację:
:: <math>k = k_0 \exp\left(- \frac{Q}{RT}\right),</math>

gdzie:
: <math>k_0</math> – stała przedeksponencjalna [s<sup>−1</sup>],
: <math>Q</math> – energia aktywacji przemiany [J/mol],
: <math>R</math> – [[stała gazowa]] [J/mol·K],
: <math>T</math> – temperatura bezwzględna [K].

Jeżeli dwu procesów krzywe sigmoidalne są izokinetyczne (przemiany zachodzą tym samym mechanizmem) to znając temperatury obydwu procesów (T<sub>1</sub> i T<sub>2</sub>) można wyznaczyć energię aktywacji Q takiej przemiany. Krzywe izokinetyczne charakteryzują się tym, iż mają taki sam kształt, odpowiednie punkty leżą w takiej samej odległości dt na osi czasu oraz wykładnik potęgowy n jest taki sam dla obu przemian<ref name=doom />.

== Zobacz też ==
* [[krzepnięcie]]
* [[Rekrystalizacja (metaloznawstwo)|rekrystalizacja]]
* [[równanie Avramiego]]
* [[równanie Gibbsa-Thomsona]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Przemiany fazowe]]
[[Kategoria:Materiałoznawstwo]]
[[Kategoria:Metalurgia]]
[[Kategoria:Równania w fizyce]]