Tekst źródłowy strony Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych

[[Plik:BBH gravitational lensing of gw150914.webm|mały|241x241px|Symulacja komputerowa układu GW150914 dwóch czarnych dziur widziana przez pobliskiego obserwatora podczas ostatnich 0,33 s przed ich połączeniem. Światło idące od gwiazd znajdujących się za czarnymi dziurami jest mocno zniekształcane na skutek ekstremalnie silnego efektu soczewkowania grawitacyjnego i zniekształcania czasoprzestrzeni, która jest ciągnięta wokół obracających się czarnych dziur: dlatego gwiazdy zdają się poruszać i obracać<ref name="SXSproject">{{Cytuj stronę |url=http://www.black-holes.org/gw150914 |tytuł = GW150914: LIGO Detects Gravitational Waves |autor = Black-holes.org |opublikowany = |data = |język = |data dostępu = 2016-04-18}}</ref>.]]
[[Plik:Gravitational lensing of distant star-forming galaxies (schematic) -vid-.webm|thumb|Pokaz, w jaki sposób światło z odległej galaktyki jest zakrzywiane na skutek grawitacyjnego zniekształcenia czasoprzestrzeni przez inną galaktykę, która działa jak soczewka i tworzy zamiast punktu okrąg świetlny, zwany [[Pierścień Einsteina|pierścieniem Einsteina]].|240x240px]]
'''Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych''' – równania Maxwella zapisane w układzie [[Współrzędne krzywoliniowe|współrzędnych krzywoliniowych]]. Równania te opisują dynamikę [[Pole elektromagnetyczne|pola elektromagnetycznego]] oraz cząstek materii poddanych oddziaływaniom tych pól. Mają szczególne zastosowanie w zakrzywionej czasoprzestrzeni, gdzie [[Tensor metryczny|metryka]] w ogólności różni się od metryki płaskiej [[Czasoprzestrzeń Minkowskiego|czasoprzestrzeni Minkowskiego]] (zmiana metryki czasoprzestrzeni według [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] powstaje na skutek obecności materii i energii, i tym tłumaczy pojawianie się pola grawitacyjnego).

W zakrzywionej czasoprzestrzeni tory cząstek masowych są [[Linia geodezyjna|liniami geodezyjnymi]], innymi niż tory prostoliniowe. Obecność pola elektromagnetycznego dodatkowo zmienia te tory.

Także promienie świetlne poruszają się nie po prostych euklidesowych – jak to jest w płaskiej czasoprzestrzeni – ale po tzw. [[Linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda|liniach geodezyjnych zerowych]]. W silnych polach grawitacyjnych (np. w pobliżu czarnych dziur) lub po przejściu światłą na wielkich dystansach w oddziaływaniu np. z galaktykami występuje efekt zakrzywiania biegu (tzw. [[soczewkowanie grawitacyjne]]).

Równania te są uogólnieniem [[Równania Maxwella|równań Maxwella]] w próżni, które zazwyczaj są formułowane w lokalnych układach współrzędnych w płaskiej czasoprzestrzeni. Jednakże ogólna teoria względności wskazuje, iż obecność pola elektromagnetycznego (lub energii i materii w ogólności) powoduje zmianę metryk, równania Maxwella w płaskiej czasoprzestrzeni powinny być rozumiane jako przybliżenie.

W opisie zjawisk elektromagnetycznych w obecności materii zazwyczaj odróżnia się ładunki związane i swobodne. Bez tego odróżnienia równania Maxwella w próżni nazywa się „mikroskopowymi”, a gdy robi się to odróżnienie, to równania te nazywa się „makroskopowymi”.

Równania Maxwella są niezmiennicze, tzn. ich postać nie zależy od tensora metrycznego, a więc są identyczne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej [[Czasoprzestrzeń Minkowskiego|tensorem metrycznym Minkowskiego]]), jak i zakrzywionej czasoprzestrzeni (np. w pobliżu masywnego obiektu, gdzie obowiązuje [[Wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda|metryka Schwarzschilda]]), jak również nie zależą od przyjętego układu współrzędnych krzywoliniowych (np. część przestrzenną czasoprzestrzeni można przedstawić zarówno we współrzędnych prostokątnych, czyli kartezjańskich, [[Układ współrzędnych sferycznych|sferycznych]], jak i dowolnych współrzędnych krzywoliniowych).

Z powyższych względów równania Maxwella w czasoprzestrzeni Minkowskiego trzeba rozumieć jako szczególny przypadek równań podanych dla współrzędnych krzywoliniowych.

== Tensor pola elektromagnetycznego ==
Równania pola elektromagnetycznego zapisane w [[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]] łatwo uogólnić tak, by były słuszne w '''dowolnym czterowymiarowym układzie współrzędnych''', a więc z dowolnym tensorem metrycznym – ogólność ta obejmuje zarówno zapis równań w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych, jak i w przypadku, gdy występuje pole grawitacyjne.

Tensor pola elektromagnetycznego w szczególnej teorii względności jest równy
: <math>F_{\mu\nu} = \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} - \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu},</math>

gdzie <math>A</math> jest [[czteropotencjał]]em pola elektromagnetycznego. Zgodnie z ogólną zasadą przy przejściu ze współrzędnych kartezjańskich do krzywoliniowych pochodne cząstkowe przechodzą na [[Pochodna kowariantna|pochodne kowariantne]]; stąd mamy <math>F_{\mu\nu} = A_{\mu;\nu}-A_{\nu;\mu}.</math>

Jednak człony zawierające [[symbole Christoffela]] kasują się i otrzymuje się wyrażenia identyczne jak we współrzędnych kartezjańskich, czyli
: <math>F_{\mu\nu} = A_{\mu;\nu}-A_{\nu;\mu} = \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} - \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}.</math>

== Pierwsza para równań Maxwella ==
W konsekwencji pierwsza para równań Maxwella '''nie zmienia postaci'''
: <math>\partial_i F_{j k} + \partial_j F_{k i} + \partial_k F_{i j} = 0.</math>

Równanie to zawiera [[Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya|prawo indukcji Faradaya]] oraz [[Prawo Gaussa (elektryczność)|prawo Gaussa]] dla elektromagnetyzmu. Wstawiając potencjały pole mamy
: <math>\partial_i \partial_j A_k -
\partial_i \partial_k A_j +
\partial_j \partial_k A_i -
\partial_j \partial_i A_k +
\partial_k \partial_i A_j -
\partial_k \partial_j A_i = 0.</math>

== Czterowektor gęstości prądu ==
Jeżeli w przestrzeni znajduje się pewien rozkład cząstek naładowanych, który można uśrednić i traktować jako ciągły, to można wprowadzić pojęcie [[Czterowektor gęstości prądu elektrycznego|czterowektora gęstości prądu]] w danym punkcie, związanego z poruszającymi się ładunkami{{odn|Landau|2009|s=98}}
: <math>j^a = \rho \frac{\partial x^a}{\partial t} = \left( \rho c,\rho\vec{v}\right),</math>

gdzie <math>\rho=\gamma\, \rho_0</math> – relatywistyczna [[Ładunek elektryczny|gęstość ładunku]], przy czym:
* <math>\rho_0</math> – gęstość ładunku nieruchomego w infinitezymalnym otoczeniu danego punktu,
* <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},</math>
* <math>\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)</math> – prędkość ładunków względem obserwatora.

== Druga para równań Maxwella ==
Druga para równań Maxwella ma w układzie kartezjańskim postać{{odn|Landau|2009|s=102}}
: <math>\frac{\partial F^{ai}}{\partial x^i} = -\frac{4 \pi}{c}j^a.</math>

Przejście do współrzędnych krzywoliniowych wymaga jedynie zmiany pochodnych cząstkowych na pochodne kowariantne
: <math>F^{ai}_{\,\,\,\, ;i} = -\frac{4 \pi}{c}j^a.</math>

Powyższe wyrażenie zawiera dywergencję we współrzędnych krzywoliniowych; tensor <math>F^{ai}</math> jest antysymetryczny; dywergencja tensora antysymetrycznego ma postać (por. [[Pochodna kowariantna#Dywergencja kowariantna|dywergencja kowariantna]]){{odn|Landau|2009|s=296}}
: <math>\operatorname{div}(F) \equiv F^{ai}_{\,\,\,\,\, ;i} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial \left(\sqrt{|g|} \, F^{ai}\right)}{\partial x^i},</math>

gdzie:
: <math>|g|</math> – moduł wyznacznika [[Tensor metryczny|tensora metrycznego]] współrzędnych krzywoliniowych w danym punkcie.

Stąd druga para równań Maxwella przyjmuje postać
: <math>\frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial \left(\sqrt{|g|} \, F^{ai}\right)}{\partial x^i} = -\frac{4 \pi}{c}j^a.</math>

== Równanie ruchu cząstki ==
'''(1)''' Równanie ruchu cząstki swobodnej w płaskiej czasoprzestrzeni: cząstka nie podlega oddziaływaniom i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.{{odn|Landau|2009|s=297}}
: <math>\mathrm d u^a / \mathrm ds= 0,</math>

gdzie <math>u^a</math> – [[Czterowektor|czteroprędkość]] cząstki, <math>\mathrm ds</math> – różniczkowy przyrost tzw. [[Interwał czasoprzestrzenny|interwału czasoprzestrzennego]] mierzony wzdłuż trajektorii cząstki; równoważnie można zapisać, że różniczka 4-prędkości cząstki zeruje się, tj.
: <math>\mathrm d u^a = 0.</math>

'''(2)''' Równanie ruchu cząstki swobodnej w zakrzywionej czasoprzestrzeni

Przechodząc do układu współrzędnych krzywoliniowych równanie ruchu cząstki nie podlegającej oddziaływaniom należy zmodyfikować zamieniając różniczkę zupełną na różniczkę absolutną, tj.{{odn|Landau|2009|s=297}}
: <math>\mathrm D u^a = 0.</math>

Różniczka absolutna wektora kowariantnego dana jest zależnością
: <math>\mathrm Du^a = \left(\frac{\partial u^a}{\partial x^l} + \Gamma^a_{kl} u^k\right) \mathrm dq^l</math>

lub
: <math>\mathrm Du^a = \mathrm du^a+ \Gamma^a_{kl} u^k \mathrm dx^l,</math>

gdzie:
: <math>\mathrm du^a = \frac{\partial u^a}{\partial x^l} \mathrm dx^l</math> – różniczka 4-prędkości cząstki.

Stąd mamy równanie ruchu cząstki w układzie krzywoliniowym
: <math>\mathrm du^a+ \Gamma^a_{kl} u^k \mathrm dx^l = 0.</math>

Dzieląc przez <math>\mathrm ds</math> i uwzględniając, że <math>\mathrm du^a = \mathrm d x^a / \mathrm ds,</math> znajdujemy
: <math>\frac{\mathrm d^2 x^a}{\mathrm ds^2} + \Gamma^a_{kl} \frac{\mathrm d x^k}{\mathrm ds} \frac{\mathrm d x^l}{\mathrm ds} = 0.</math>

Jest to równanie [[Linia geodezyjna|linii geodezyjnej]] w przestrzeni z metryką <math>g_{ij}</math> (od której zależą m.in. [[symbole Christoffela]] <math>\Gamma^a_{kl}</math>). Przy tym, jeżeli przestrzeń jest pozbawiona źródeł pola grawitacyjnego, to symbole Christoffela <math>\Gamma^a_{kl}</math> są takie, że zerują [[Tensor krzywizny Riemanna|tensor krzywizny]] i równania geodezyjnych sprowadzają się do prostych euklidesowych; jeżeli jednak przestrzeń jest zakrzywiona na skutek obecności materii, to tensor krzywizny jest niezerowy, a geodezyjne są inne niż proste euklidesowe.

'''(3)''' Równanie ruchu cząstki w płaskiej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Cząstka podlega oddziaływaniom z polem elektromagnetycznym i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.{{odn|Landau|2009|s=87}}
: <math>mc\frac{\mathrm du^a}{\mathrm ds}= \frac{e}{c} F^{ik} u_k.</math>

'''(4)''' Równanie ruchu cząstki w zakrzywionej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Zmieniamy pochodną zupełną <math>\mathrm du^a/\mathrm ds</math> na pochodną absolutną <math>\mathrm Du^a/\mathrm ds</math>{{odn|Landau|2009|s=311}}
: <math>mc\frac{\mathrm Du^a}{\mathrm ds}= \frac{e}{c} F^{ik} u_k,</math>

czyli
: <math>mc\left(\frac{\mathrm d^2 x^a}{\mathrm ds^2} + \Gamma^a_{kl} \frac{\mathrm d x^k}{\mathrm ds} \frac{\mathrm d x^l}{\mathrm ds}\right) = \frac{e}{c} F^{ak} u_k.</math>

Jest to równanie na trajektorię cząstki o ładunku <math>e,</math> masie <math>m,</math> poruszającej się w polu elektromagnetycznym <math>F^{ik}</math> i w polu grawitacyjnym zadanym metryką <math>g_{ij}</math> (od której zależą m.in. [[symbole Christoffela]] <math>\Gamma^a_{kl}</math>). Gdyby pole elektromagnetyczne było zerowe lub bardzo słabe, to cząstka poruszałaby się po linii geodezyjnej właściwej dla zakrzywionej czasoprzestrzeni. Obecność pola modyfikuje ten tor.

== Zobacz też ==
* [[ogólna teoria względności]]
* [[równania Maxwella]]
* [[tensorowe równania Maxwella]]
* [[wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda]]

'''Wiadomości z matematyki'''

*[[pochodna kowariantna]]
*[[współrzędne krzywoliniowe]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* [[Lew Landau|L.D. Landau]], E.M. Lifszyc: ''Teoria pola''. Warszawa: PWN, 2009.

[[Kategoria:Elektrodynamika klasyczna]]
[[Kategoria:Równania w fizyce|Maxwella]]