Tekst źródłowy strony Różniczka funkcji

{{inne znaczenia|nieskończenie małego przyrostu funkcji|[[różniczka]] jako wartość nieskończenie mała}}
{{spis treści}}
'''Różniczka''' – w analizie klasycznej wielkość reprezentująca zasadniczą część zmiany danej [[funkcja|funkcji]] względem zmian [[zmienne zależna i niezależna|zmiennej niezależnej]], w analizie niestandardowej nieskonczenie mała zmiana danej zmiennej. Różniczkę funkcji <math>y = f(x)</math> definiuje się jako wyrażenie postaci
: <math>\mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\, \mathrm{d}x,</math>

podobnie jak [[pochodna funkcji|pochodna]] <math>\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math> reprezentowała iloraz wielkości <math>\mathrm{d}y</math> przez wielkość <math>\mathrm{d}x.</math> Pisze się również
: <math>\mathrm{d}f(x) = f'(x)\,\mathrm{d}x.</math>

Dokładne znaczenie tego typu wyrażeń zależy od kontekstu zastosowań i wymaganego poziomu rygoru matematycznego. W analizie klasycznej <math>\mathrm{d}y</math> oraz <math>\mathrm{d}x</math> są po prostu dodatkowymi rzeczywistymi [[zmienna (matematyka)|zmiennymi]], na których można działać zgodnie z ich naturą. Dziedzina tych zmiennych może zależeć od konkretnego znaczenia geometrycznego, gdy różniczka postrzegana jest jako pewna [[forma różniczkowa]] oraz analitycznego, jeżeli różniczka jest postrzegana jako [[aproksymacja liniowa|przybliżenie liniowe]] przyrostu funkcji. W zastosowaniach fizycznych zmienne <math>\mathrm{d}x</math> oraz <math>\mathrm{d}y</math> definiuje się jako („[[nieskończenie małe|infinitezymalne]]”).

== Historia i wykorzystanie ==
Różniczka została wprowadzona za pomocą intuicyjnej czy też heurystycznej definicji [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Wilhelma Leibniza]], który myślał o różniczce <math>\mathrm{d}y</math> jako o nieskończenie małej („[[nieskończenie małe|infinitezymalnej]]”) zmianie wartości <math>y</math> funkcji odpowiadającej nieskończenie małej zmianie <math>\mathrm{d}x</math> argumentu <math>x</math> funkcji. Z tego powodu szybkość zmiany <math>y</math> względem <math>x</math> w danej chwili, będąca wartością [[pochodna funkcji|pochodnej funkcji]], jest oznaczana za pomocą ułamka
: <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.</math>

Taki sposób zapisu pochodnych nazywa się [[notacja Leibniza|notacją Leibniza]]. Iloraz <math>\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math> nie jest oczywiście nieskończenie mały; jest to [[Liczby rzeczywiste|liczba rzeczywista]].

Wykorzystanie infinitezymalnych w tej formie spotkało się z szeroką krytyką, przykładem może być znany pamflet ''[[The Analyst]]'' autorstwa [[George Berkeley (filozof)|biskupa Berkeleya]]. [[Augustin Louis Cauchy]] (1823) zdefiniował różniczkę bez odwoływania się do atomizmu infinitezymalnych Leibniza<ref>Szczegółowy opis historyczny różniczki można znaleźć w {{odn|ref=nie|Boyer|1959|s=275}}, wkład Cauchy’ego opisano na 275 stronie. Skrócony opis znajduje się w {{odn|ref=nie|Kline|1972|loc=rozdział 40}}.</ref><ref>Cauchy wyraźnie zaprzeczył możliwości istnienia aktualnych wielkości infinitezymalnych i nieskończonych ({{odn|ref=nie|Boyer|1959|s=273–275}}) i przyjął radykalnie inny punkt widzenia, iż „wielkość zmienna staje się nieskończenie mała, jeżeli jej wartość liczbowa zmniejsza się nieskończenie tak, że zbiega do zera”. (Cauchy 1823, s. 12; tł. z {{odn|ref=nie|Boyer|1959|s=273}}: ''a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero'').</ref>. Odwrócił on mianowicie, naśladując [[Jean le Rond d’Alembert|d’Alemberta]], logiczny porządek Leibniza i jego następców: to pochodna stała się obiektem podstawowym, określona jako [[granica (matematyka)|granica]] ilorazu różnicowego, a różniczki zdefiniował za ich pomocą. Innymi słowy można było ''zdefiniować'' różniczkę <math>\mathrm{d}y</math> za pomocą wyrażenia
: <math>\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x,</math>

w którym <math>\mathrm{d}y</math> i <math>\mathrm{d}x</math> są po prostu nowymi zmiennymi przyjmującymi skończone wartości rzeczywiste{{odn|Boyer|1959|s=275}}, a nie stałymi infinitezymalnymi, jakimi były dla Leibniza<ref>{{odn|ref=nie|Boyer|1959|s=12}}: „Różniczki jako tak zdefiniowane są tylko nowymi ''zmiennymi'', a nie ustalonymi infinitezymalnymi…” (''The differentials as thus defined are only new ''variables'', and not fixed infinitesimals…'').</ref>.

Według Boyera (1959, s. 12) podejście Cauchy’ego stanowiło znaczącą poprawę pod względem logicznym nad podejściem infinitezymalnym Leibniza, ponieważ zamiast korzystać z metafizycznego pojęcia infinitezymalnych można było sensownie manipulować wielkościami <math>\mathrm{d}y</math> i <math>\mathrm{d}x</math> w dokładnie taki sam sposób jak dowolnymi innymi wielkościami rzeczywistymi. Ogólne podejście Cauchy’ego do różniczek pozostaje standardowym we współczesnej analizie klasycznej<ref>Courant 1937i, II, § 9: „Zaznaczymy tutaj jedynie, że jest możliwym wykorzystanie tej przybliżonej reprezentacji przyrostu <math>\Delta y</math> przez wyrażenie liniowe <math>hf(x)</math> do skonstruowania logicznie poprawnej definicji «różniczki», jak to w szczególności uczynił Cauchy” (''Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment <math>\Delta y</math> by the linear expression <math>hf(x)</math> to construct a logically satisfactory definition of a „differential”, as was done by Cauchy in particular.'').</ref>, choć ostateczne słowo dotyczące rygoru, w pełni współczesne pojęcie granicy, zostało powiedziane przez [[Karl Weierstrass|Karla Weierstrassa]]{{odn|Boyer|1959|s=284}}.

W metodach fizycznych, takich jak te stosowane w teorii [[termodynamika|termodynamiki]], nadal przeważa postrzeganie infinitezymalne, gdzie różniczkę jako nieskończenie małą definiuje się precyzyjnie w analizie niestandardowej.

W analizie niestandardowej różniczka to po prostu nieskończenie mała zmiana (liczba hiperrzeczywista).

W obliczu dwudziestowiecznych zdobyczy [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]] i [[geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]] stało się jasne, że pojęcie różniczki funkcji można rozszerzyć na wiele sposobów. W analizie rzeczywistej wygodniej jest mieć do czynienia z częścią główną przyrostu funkcji. Prowadzi to do bezpośrednio do pojęcia różniczki funkcji w punkcie jako [[Forma liniowa|funkcjonału liniowego]] przyrostu <math>\Delta x,</math> Podejście to umożliwia uogólnienie różniczki (jako przekształcenia liniowego) na wiele innych, bardziej wyszukanych przestrzeni, co ostatecznie prowadzi do pojęć takich jak [[pochodna Frécheta]] czy [[pochodna Gâteaux]]. Podobnie w geometrii różniczkowej różniczka funkcji w punkcie to funkcja liniowa [[wektor styczny|wektora stycznego]] („nieskończenie małego przesunięcia”), co wskazuje na nią jako na rodzaj 1-formy: [[Forma różniczkowa|pochodną zewnętrzna]] funkcji.

== Definicja formalna ==
[[Plik:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png|thumb|Różniczka funkcji <math>f(x)</math> w punkcie <math>x_0</math>]]
Różniczkę we współczesnym rozumieniu rachunku różniczkowego definiuje się następująco<ref>Zob. przykładowo ważne rozprawy: Courant 1937i, {{odn|ref=nie|Kline|1977}}, {{odn|ref=nie|Goursat|1904}} i {{odn|ref=nie|Hardy|1905}}. Wśród źródeł pochodnych tej definicji można wymienić: Tołstow 2001 oraz {{odn|ref=nie|Itō|1993|loc= § 106}}.</ref>: '''Różniczką''' funkcji <math>f(x)</math> jednej zmiennej rzeczywistej <math>x</math> jest funkcja <math>\mathrm{d}f</math> dwóch niezależnych zmiennych rzeczywistych <math>x</math> oraz <math>\Delta x</math> dana wzorem
: <math>\mathrm{d}f(x, \Delta x) \stackrel\mathrm{def}{=} f'(x)\,\Delta x.</math>

W zapisie pomija się jeden lub oba argumenty, tzn. można się spotkać z napisami <math>\mathrm{d}f(x)</math> lub po prostu <math>\mathrm{d}f.</math> Jeśli <math>y = f(x),</math> to różniczkę można zapisać także jako <math>\mathrm{d}y.</math> Ponieważ <math>\mathrm{d}x(x, \Delta x) = \Delta x,</math> to zwyczajowo pisze się <math>\mathrm{d}x = \Delta x</math> tak, że spełniona jest równość
: <math>\mathrm{d}f(x) = f'(x)\,\mathrm{d}x.</math>

Tę notację różniczki stosuje się zwykle, gdy szuka się [[aproksymacja liniowa|przybliżenia liniowego]] funkcji przy dostatecznie małej wartości przyrostu <math>\Delta x.</math> Dokładniej, jeśli <math>f</math> jest [[funkcja różniczkowalna|funkcją różniczkowalną]] w punkcie <math>x,</math> to różnica wartości funkcji
: <math>\Delta y \stackrel\mathrm{def}{=} f(x + \Delta x) - f(x)</math>

spełnia
: <math>\Delta y = f'(x)\,\Delta x + \varepsilon = \mathrm{d}f(x) + \varepsilon,</math>

gdzie błąd <math>\varepsilon</math> przybliżenia spełnia <math>\tfrac{\varepsilon}{\Delta x} \to 0</math> przy <math>\Delta x \to 0.</math> Innymi słowy uzyskuje się przybliżoną tożsamość
: <math>\Delta y \approx \mathrm{d}y,</math>

w której błąd względem <math>\Delta x</math> można uczynić tak małym, jak się tego chce przyjmując, iż <math>\Delta x</math> jest dostatecznie małe, tzn.
: <math>\frac{\Delta y - \mathrm{d}y}{\Delta x} \to 0</math>

przy <math>\Delta x \to 0.</math> Z tego powodu różniczkę funkcji nazywa się [[część główna|częścią główną (liniową)]] przyrostu funkcji: różniczka jest [[funkcja liniowa|funkcją liniową]] przyrostu <math>\Delta x</math> i choć błąd <math>\varepsilon</math> może nie być liniowy, to dąży on szybko do zera, gdy <math>\Delta x</math> dąży do zera.

== Własności ==
Wiele własności różniczki wynika wprost z odpowiednich własności pochodnej, [[Pochodna cząstkowa|pochodnej cząstkowej]] i pochodnej zupełnej; wśród nich{{odn|Goursat|1904|loc= I, § 17}}:
* [[przekształcenie liniowe|liniowość]]: dla stałych <math>a</math> i <math>b</math> oraz funkcji różniczkowalnych <math>f</math> i <math>g,</math>
*: <math>\mathrm{d}(af + bg) = a\,\mathrm{d}f + b\,\mathrm{d}g.</math>
* [[reguła iloczynu]]: dla dwóch funkcji różniczkowalnych <math>f</math> i <math>g,</math>
*: <math>\mathrm{d}(fg) = f\,\mathrm{d}g + g\,\mathrm{d}f.</math>

Działanie <math>\operatorname d</math> o powyższych dwóch własnościach znane jest w [[algebra|algebrze]] jako [[Algebra różniczkowa|różniczkowanie]]. Dodatkowo zachodzą różne postaci [[reguła łańcuchowa|reguły łańcuchowej]], według rosnącego poziomu ogólności{{odn|Goursat|1904|loc= I, §§14,16}}:
* Jeśli <math>y = f(u)</math> jest funkcją różniczkowalną zmiennej <math>u,</math> zaś <math>u = g(x)</math> jest funkcją różniczkowalna zmiennej <math>x,</math> to
*: <math>\mathrm{d}y = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x.</math>
* Jeżeli <math>y = f(x_1, \dots, x_n)</math> i wszystkie zmienne <math>x_1, \dots, x_n</math> zależą od innej zmiennej <math>t,</math> to z [[reguła łańcuchowa#Przypadek wielu zmiennych|reguły łańcuchowej dla pochodnych cząstkowych]] jest
*: <math>\begin{align} \mathrm{d}y & = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\, \mathrm{d}t \\ & = \frac{\partial y}{\partial x_1} \mathrm{d}x_1 + \dots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\, \mathrm{d}x_n \\ & = \frac{\partial y}{\partial x_1} \frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t + \dots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \frac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t.\end{align}</math>
: Heurystycznie reguła łańcuchowa dla wielu zmiennych może być rozumiana jako obustronne dzielenie obu stron równania przez nieskończenie małą wielkość <math>\mathrm{d}t.</math>
* Prawdziwe są ogólniejsze, analogiczne wyrażenia, w których zmienne pośrednie <math>x_i</math> zależą od więcej niż jednej zmiennej.

== Sformułowanie ogólne ==
{{Zobacz też|pochodna Frécheta|pochodna Gâteaux}}
Można przestawić spójne pojęcie różniczki dla funkcji <math>\mathrm f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m</math> między dwoma [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeniami euklidesowymi]]. Niech <math>\mathrm x, \Delta \mathrm x \in \mathbb R^n</math> będą odpowiednio punktem i [[wektor|wektorem euklidesowym]]. Przyrost funkcji <math>\mathrm f</math> to
: <math>\Delta \mathrm f = \mathrm f(\mathrm x + \Delta \mathrm x) - \mathrm f(\mathrm x).</math>

Jeśli istnieje [[macierz]] <math>\mathbf A</math> typu <math>m \times n</math> taka, że
: <math>\Delta \mathrm f = \mathbf A \Delta\mathrm x + \|\Delta \mathrm x\| \boldsymbol\varepsilon,</math>

gdzie wektor <math>\boldsymbol\varepsilon \to \mathbf 0</math> przy <math>\Delta \mathrm x \to \mathbf 0,</math> to funkcja <math>\mathrm f</math> jest z definicji różniczkowalna w punkcie <math>\mathrm x.</math> Macierz <math>\mathbf A</math> nazywa się często [[macierz Jacobiego|macierzą Jacobiego]], a [[przekształcenie liniowe]], które przypisuje przyrostowi <math>\Delta \mathrm x \in \mathbb R^n</math> punkt <math>\mathbf A\Delta \mathrm x \in \mathbb R^m</math> jest, w tej sytuacji, nazywane różniczką <math>\mathrm{d}\mathrm f(\mathrm x)</math> funkcji <math>\mathrm f</math> w punkcie <math>\mathrm x.</math> Jest to dokładnie [[pochodna Frécheta]]; ta sama konstrukcja może być zastosowana dla dowolnej funkcji między [[przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]] (a nawet dowolnymi [[przestrzeń unormowana|przestrzeniami unormowanymi]]).

Innym owocnym punktem widzenia jest zdefiniowanie różniczki bezpośrednio jako rodzaju [[pochodna kierunkowa|pochodnej kierunkowej]],
: <math>\mathrm{d}\mathrm f(\mathrm x, \mathbf h) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathrm f(\mathrm x + t\mathbf h) - \mathrm f(\mathrm x)}{t} = \frac{\operatorname d}{\mathrm{d}t} \mathrm f(\mathrm x + t\mathbf h)\big|_{t = 0},</math>

które to podejście pojawiło się podczas definicji różniczek wyższych rzędów (jest to nieomalże definicja podana przez Cauchy’ego). Jeśli <math>t</math> reprezentuje czas, zaś <math>\mathrm x</math> oznacza położenie, to <math>\mathbf h</math> symbolizuje prędkość, a nie przemieszczenie, za jakie było dotąd uważane. Daje to inną możliwość udoskonalenia pojęcia pochodnej: powinna być to funkcja liniowa prędkości kinematycznej. Zbiór wszystkich prędkości w danym punkcie znany jest jako [[przestrzeń styczna]], a więc <math>\mathrm{d}\mathrm f</math> daje funkcję liniową w przestrzeń styczną: [[forma różniczkowa|formę różniczkową]]. Ta interpretacja różniczki <math>\mathrm f,</math> znana jako [[Forma różniczkowa|pochodna zewnętrzna]], ma szerokie zastosowania w [[geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]], ponieważ pojęcia prędkości i przestrzeni stycznej mają sens w dowolnej [[rozmaitość różniczkowa|rozmaitości różniczkowej]]. Jeśli dodatkowo wartość <math>\mathrm f</math> oznacza także położenie (w przestrzeni euklidesowej), to [[analiza wymiarowa]] potwierdza, że wartością <math>\mathrm{d}\mathrm f</math> musi być prędkość. Traktowanie różniczki w ten sposób znane jest jako [[odwzorowanie styczne]] (ang. ''pushforward'', pchnięcie; gdyż „pcha” ono prędkości z przestrzeni wyjściowej w prędkości w przestrzeni docelowej).

== Inne podejścia ==
{{osobny artykuł|różniczka}}
Choć pojęcie przyrostu infinitezymalnego <math>\mathrm{d}x</math> nie jest dobrze określone we współczesnej [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]], to istnieje wiele technik definiowania [[różniczka|infinitezymalnej różniczki]] tak, iż różniczka funkcji może być wykorzystywana w sposób, który jest zgodny z [[notacja Leibniza|notacją Leibniza]]; wśród nich:
* Określenie różniczki jako rodzaju [[forma różniczkowa|formy różniczkowej]], szczególnie jako [[Forma różniczkowa|pochodnej zewnętrznej]] funkcji. Przyrosty infinitezymalne utożsamia się wtedy z wektorami [[przestrzeń styczna|przestrzeni stycznej]] w danym punkcie. Podejście to jest populatne w [[geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]] i związanych z nią działach, ponieważ łatwo uogólnia się na odwzorowania między [[rozmaitość różniczkowa|rozmaitościami różniczkowymi]].
* Różniczki jako [[element nilpotentny|elementy nilpotentne]] [[pierścień przemienny|pierścieni przemiennych]]. To podejście jest popularne w [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]]{{odn|Eisenbud|Harris|1998}}.
* Różniczki w gładkich modelach [[Teoria mnogości|teorii mnogości]]. To podejście znane jest jako [[syntetyczna geometria różniczkowa]] (ang. ''synthetic differential geometry'') lub [[gładka analiza nieskończenie małych]] (ang. ''smooth infinitesimal analysis'') i jest ono związane z podejściem w geometrii algebraicznej z tym, że idee [[teoria toposów|teorii toposów]] służą ''ukryciu'' mechanizmów wprowadzania nieskończenie małych nilpotentnych<ref>Zob. {{odn|ref=nie|Kock|2006}} oraz {{odn|ref=nie|Moerdijk|Reyes|1991}}.</ref>.
* różniczki jako nieskończenie małe w systemach [[Aksjomaty i konstrukcje liczb|liczb hiperrzeczywistych]], które są rozszerzeniami liczb rzeczywistych zawierającymi odwracalne nieskończenie małe i nieskończenie wielkie liczby. Podejście to spotykane jest w [[analiza niestandardowa|analizie niestandardowej]], w którym pionierem był [[Abraham Robinson]]<ref name="nonstd">Zob. {{odn|ref=nie|Robinson|1996}} oraz {{odn|ref=nie|Keisler|1986}}.</ref>.

== Przykłady i zastosowania ==
Różniczki można stosować z powodzeniem w [[analiza numeryczna|analizie numerycznej]] do badania propagacji błędów eksperymentalnych w obliczeniach, a przez to ogólnej [[Algorytm numerycznie stabilny|stabilności numerycznej]] problemu (Courant 1937i). Niech zmienna <math>x</math> oznacza rezultat eksperymentu, zaś <math>y</math> będzie wynikiem obliczenia numerycznego na <math>x.</math> Pytanie brzmi: w jakim stopniu błędy pomiaru <math>x</math> wpływają na wynik obliczenia <math>y?</math> Jeśli wiadomo o <math>x,</math> iż różni się o <math>\Delta x</math> od jego prawdziwej wartości, to [[Wzór Taylora|twierdzenie Taylora]] daje następujące oszacowanie na błąd <math>\Delta x</math> w obliczeniu <math>y{:}</math>
: <math>\Delta y = f'(x)\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{2}f''(\xi),</math>

gdzie <math>\xi = x + \theta \Delta x</math> dla pewnego <math>0 < \theta < 1.</math> Jeśli <math>\Delta x</math> jest małe, to wyrażenie drugiego rzędu jest zaniedbywalne i w ten sposób <math>\Delta y,</math> do zastosowań praktycznych, jest dobrze przybliżane przez <math>\mathrm{d}y = f(x)\Delta x.</math>

Różniczki używa się do zapisania [[równanie różniczkowe|równania różniczkowego]]
: <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x)</math>

w postaci
: <math>\mathrm{d}y = g(x)\,\mathrm{d}x,</math>

w szczególności, jeśli pożądane jest [[rozdzielenie zmiennych]].

== Zobacz też ==
* [[rachunek różniczkowy i całkowy]]
* [[forma różniczkowa]]
* [[iloraz różnicowy]]
* [[równanie różniczkowe]]
* [[różniczka zupełna]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Boyer |imię = Carl B. |autor link = Carl Benjamin Boyer |tytuł = The history of the calculus and its conceptual development |wydawca = [[Dover Publications]] |miejsce = Nowy Jork |id = {{MathSciNet |id = 0124178}} |rok = 1959 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Cauchy |imię = Augustin Louis |autor link = Augustin Louis Cauchy |tytuł = Résumé des Leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal |url = http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|rok = 1823}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Courant |imię = Richard |autor link = Richard Courant |tytuł = Differential and integral calculus |tom = 1 |wydawca = [[John Wiley & Sons]] |miejsce = Nowy Jork |seria = Wiley Classics Library |isbn = 978-0-471-60842-4 |id = {{MathSciNet |id = 1009558}} |rok = 1937i |data = 1988}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Courant |imię = Richard |autor link = Richard Courant |tytuł = Differential and integral calculus |tom = 2 |wydawca = [[John Wiley & Sons]] |miejsce = Nowy Jork |seria = Wiley Classics Library |isbn = 978-0-471-60840-0 |id = {{MathSciNet |id = 1009559}} |rok = 1937ii |data = 1988}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Courant |imię = Richard |autor link = Richard Courant |nazwisko2 = John |imię2 = Fritz |autor link2 = Fritz John |tytuł = Introduction to Calculus and Analysis |tom = 1 |seria = Classics in Mathematics| wydawca = [[Springer-Verlag]] |miejsce = Berlin, Nowy Jork |isbn = 3-540-65058-X |rok = 1999 |id = {{MathSciNet |id = 1746554}}}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Eisenbud |imię = David |autor link = David Eisenbud |nazwisko2 = Harris |imię2 = Joe |autor link2= Joe Harris (matematyk) |tytuł = The Geometry of Schemes |rok = 1998 |wydawca = Springer-Verlag |isbn = 0-387-98637-5 |odn=tak}}
* {{Cytuj pismo |nazwisko = Fréchet |imię = Maurice |autor link = Maurice Fréchet |tytuł = La notion de différentielle dans l’analyse générale |czasopismo = Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Troisième Série |id={{MathSciNet |id = 1509268}} |rok = 1925 |issn = 0012-9593 |wolumin = 42 |strony = 293–323}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Goursat |imię = Édouard |autor link = Édouard Goursat |tytuł = A course in mathematical analysis |url = http://www.archive.org/details/coursemathanalys01gourrich |inni = E.R. Hedrick (tł.) |tom = 1 |tytuł tomu = Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry |wydawca = [[Dover Publications]] |miejsce = Nowy Jork |rok = 1904 |data = 1959 |id={{MathSciNet |id = 0106155}} |odn=tak}}
* {{Cytuj pismo |nazwisko = Hadamard |imię = Jacques |autor link = Jacques Hadamard |tytuł = La notion de différentiel dans l’enseignement|url = https://www.jstor.org/stable/3606323| czasopismo = Mathematical Gazette| wolumin = XIX |rok = 1935 |strony = 341–342}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Hardy |imię = Godfrey Harold |autor link = Godfrey Harold Hardy |tytuł = A Course of Pure Mathematics |wydawca = [[Cambridge University Press]] |isbn = 978-0-521-09227-2 |rok = 1908}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Hille |imię = Einar |autor link = Einar Hille |nazwisko2 = Phillips |imię2 = Ralph S. |autor link2 = Ralph Phillips (matematyk) |tytuł = Functional analysis and semi-groups |wydawca = [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne|American Mathematical Society]] |miejsce = Providence, R.I. |id = {{MathSciNet |id = 0423094}} |rok = 1974}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Itō |imię = Kiyoshi |tytuł = Encyclopedic Dictionary of Mathematics |wydawca = [[MIT Press]] |wydanie = II |isbn = 978-0-262-59020-4 |rok = 1993 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kline|imię = Morris |autor link = Morris Kline |tytuł = Calculus: An intuitive and physical approach |rozdział = Rozdział 13: Differentials and the law of the mean |wydawca = John Wiley and Sons |rok = 1977 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kline |imię = Morris |autor link = Morris Kline |tytuł = Mathematical thought from ancient to modern times |rok = 1972 |wydawca = [[Oxford University Press]] |wydanie = III |isbn = 978-0-19-506136-9 |data = 1990 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Keisler |imię = H. Jerome |autor link = Howard Jerome Keisler |tytuł = Elementary calculus: An Approach Using Infinitesimals |url = http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html |wydanie = II |rok = 1986 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kock |imię = Anders |tytuł = Synthetic Differential Geometry |url = http://home.imf.au.dk/kock/sdg99.pdf |wydawca = Cambridge University Press |wydanie = II |rok = 2006 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Moerdijk |imię = Ieke |autor link = Ieke Moerdijk |nazwisko2 = Reyes |imię2 = G.E. |tytuł = Models for Smooth Infinitesimal Analysis |wydawca = Springer-Verlag |rok = 1991 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Robinson |imię = Abraham |autor link = Abraham Robinson |tytuł = Non-standard analysis |wydawca = [[Princeton University Press]] |isbn = 978-0-691-04490-3 |rok = 1996 |odn=tak}}
* {{springer | id = D/d031810 | imię = G.P. | nazwisko = Tołstow | tytuł = Differential}}

== Linki zewnętrzne ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/DifferentialOfAFunction/ Różniczka funkcji] na Wolfram Demonstrations Project

{{Rachunek różniczkowy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Pochodne i różniczki| ]]