Tekst źródłowy strony Q-pochodna

{{małą literą}}
{{spis treści}}
'''<math>q</math>-pochodna''' – [[q-analog|<math>q</math>-analog]] [[pochodna|zwykłej pochodnej]].

== Definicja ==
'''<math>q</math>-pochodną''' funkcji <math>f(x)</math> definiuje się wzorem
:<math>\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}\right)_q f(x) = \frac{f(qx) - f(x)}{qx - x}.</math>

Często zapisuje się ją również jako <math>\operatorname D_q f(x).</math> Inną nazwą <math>q</math>-pochodnej jest '''pochodna Jacksona'''.

== Związek ze zwykłymi pochodnymi ==
<math>q</math>-różniczkowanie przypomina zwykłe różniczkowanie z ciekawymi różnicami; przykładowo <math>q</math>-pochodną [[jednomian]]u jest
: <math>\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dz}\right)_q z^n = \frac{1-q^n}{1-q} z^{n-1} = [n]_q z^{n-1},</math>
gdzie <math>[n]_q</math> jest [[q-nawias|<math>q</math>-nawiasem]] <math>n.</math> Ponieważ <math>\lim_{q \to 1} [n]_q = n,</math> to zbiegając w tej granicy z powyższym wyrażeniem uzyskuje się zwykłą pochodną.

<math>n</math>-ta pochodna funkcji może być dana jako
: <math>(\operatorname D^n_q f)(0) = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} [n]_q!</math>
przy założeniu, że w punkcie <math>x = 0</math> istnieje <math>n</math>-ta pochodna funkcji <math>f.</math> W powyższym wzorze <math>(q;q)_n</math> oznacza [[symbol q-Pochhammera|symbol <math>q</math>-Pochhammera]], a <math>[n]_q!</math> to [[q-silnia|<math>q</math>-silnia]].

== Zobacz też ==
* [[całka Jacksona]]
* [[funkcja q-wykładnicza|funkcja ''q''-wykładnicza]]

== Bibliografia ==
* Victor Kac, Pokman Cheung, ''Quantum Calculus'', Universitext, Springer-Verlag, 2002. {{ISBN|0-387-95341-8}}
* J. Koekoek, R. Koekoek, ''[http://arxiv.org/abs/math/9908140 A note on the ''q''-derivative operator]'' (Uwaga na temat operatora ''q''-pochodnej), (1999) ArXiv math/9908140

[[Kategoria:Q-analogi]]
[[Kategoria:Pochodne i różniczki]]