Tekst źródłowy strony Przyspieszenie

{{Dopracować|źródła=2018-03}}
{{Wielkość fizyczna infobox
 |nazwa         = Przyspieszenie
 |grafika       = 
 |opis grafiki  = 
 |rodzaj        = [[wektor]]owa
 |symbol        = <math>\vec{a},</math> <math>\mathbf a,</math> <math>a</math>
 |jednostka SI  = m/s², m·s<sup>−2</sup>
 |SI podstawowe = <math>\mathrm{\frac{m}{s^2}}</math>
 |jednostki     = 
 |wymiar        = <math>\mathrm{\frac{L}{T^2}}</math>
 |addytywność   = 
 |commons       = Category:Acceleration
 |wikisłownik   = przyspieszenie
}}
'''Przyspieszenie''' – [[wektor]]owa [[wielkość fizyczna]] wyrażająca zmianę [[prędkość|wektora prędkości]] w [[czas]]ie<ref name="Sus">G.K. Susłow, ''Mechanika teoretyczna'', PWN, Warszawa 1960.</ref><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3963960 | tytuł = przyspieszenie | data dostępu = 2021-10-15 }}</ref>.

Przyspieszenie definiuje się jako [[Pochodna funkcji|pochodną]] prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości<ref name="Awre">J. Awrejcewicz, ''Mechanika techniczna i teoretyczna'', Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2011.</ref>. Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje, a przyspieszenie to jest wtedy nazywane '''opóźnieniem'''.

== Definicja ==
[[Plik:Moglfm0407 aceleración.jpg|thumb|250px|Definicja przyspieszenia]]
Jeżeli dany wektor <math>\vec r</math> określa [[położenie]] [[punkt materialny|punktu materialnego]], a wektor <math>\vec v</math> określa prędkość tego punktu, to jego przyspieszenie <math>\vec a</math> jest pochodną prędkości po czasie:
:: <math>\vec a = \frac{d \vec v}{dt}.</math>

Ponieważ prędkość z kolei jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako [[Pochodna funkcji|drugą pochodną]] położenia po czasie:
:: <math>\vec a = \frac{d^2 \vec r}{dt^2}.</math>

Jednostką przyspieszenia w [[układ SI|układzie SI]] jest [[metr na sekundę]] do kwadratu.
:: <math>[\vec a] = \mathrm\frac{m}{s^2}.</math>

== Związek z dynamiką ==
Zgodnie z [[zasady dynamiki Newtona|drugą zasadą dynamiki]] przyspieszenie <math>\vec a</math> ciała jest proporcjonalne do [[siła wypadkowa|wypadkowej siły]] <math>\vec F</math> działającej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała <math>m.</math> [[Kierunek]] i [[zwrot]] przyspieszenia <math>\vec a</math> pokrywa się z kierunkiem i zwrotem siły <math>\vec F.</math> Wzór wyrażający tę zależność ma postać
:: <math>\vec a = \frac{\vec F}{m}.</math>

== W ruchu prostoliniowym ==
W [[ruch prostoliniowy|ruchu po linii prostej]] [[kierunek]] [[prędkość|prędkości]] jest ustalony, więc można ją traktować tak jak [[Skalar (fizyka)|wielkość skalarną]]. Wówczas przyspieszenie określa wzór:
:: <math>a = \frac{dv}{dt}.</math>

=== W ruchu jednostajnie zmiennym ===
Gdy przyspieszenie jest stałe (<math>a = \mathrm{const}</math>), wzór definicyjny przybiera postać
:: <math>a = \frac{\Delta v}{\Delta t},</math>

gdzie <math>\Delta v</math> jest przyrostem prędkości w czasie <math>\Delta t.</math>

== Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym ==
[[Plik:Moglfm0410 componentes aceleración.jpg|thumb|250px|Przyspieszenie styczne <math>a_t</math> i normalne <math>a_n</math>]]
Jeżeli punkt porusza się po torze krzywoliniowym<ref name="Pal">M. Paluch, ''Mechanika teoretyczna'', Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2006.</ref>, wówczas jego całkowite przyspieszenie może być rozłożone na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwaną [[przyspieszenie dośrodkowe|przyspieszeniem dośrodkowym]] lub normalnym (oznaczanym <math>\vec a_n</math>) i składową równoległą do toru, zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn. <math>\vec a_t</math>).

Wektor <math>\vec a</math> przyspieszenia całkowitego jest sumą jego składowych – normalnej <math>\vec a_n</math> i stycznej <math>\vec a_t{:}</math>
: <math>\vec a = \vec a_n + \vec a_t.</math>

Składowe – styczna i normalna – są wzajemnie prostopadłe i dlatego wartość przyspieszenia całkowitego jest równa:
: <math>|\vec a| = \sqrt{|\vec a_n|^2 + |\vec a_t|^2}.</math>

=== Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) ===
{{Osobny artykuł|Przyspieszenie dośrodkowe}}
Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości<ref>R. Janiczek, ''Mechanika teoretyczna'', Cz. 1, 2, 3, Wyd. Politechniki Śląskiej, Częstochowa 1979.</ref>. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako <math>v,</math> a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi <math>r,</math> to wartość <math>a_n</math> przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:
: <math>a_n = \frac{v^2}{r}.</math>

=== Przyspieszenie styczne ===
Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie <math>v</math> dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie <math>s</math> dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne <math>a_t</math> określają wzory:
: <math>a_t = \frac{dv}{dt}=\frac{d^2 s}{dt^2}.</math>

== Przyspieszenie kątowe ==
Przyspieszenie kątowe ciała jest wielkością opisującą jego ruch obrotowy, utworzoną analogicznie do przyspieszenia liniowego, tylko wyrażoną w wielkościach kątowych. Jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt <math>\alpha,</math> a <math>\omega</math> oznacza jego prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego <math>\varepsilon</math> określa wzór
: <math>\varepsilon = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^2 \alpha}{dt^2} \quad [\varepsilon] = \frac{1}{\text{s}^2}.</math>

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden [[radian]] przez [[sekunda|sekundę]] do kwadratu.

== Dowolne współrzędne krzywoliniowe ==
Niech współrzędne krzywoliniowe <math>q_1(t),\,q_2(t),\,q_3(t)</math> tworzą [[układ współrzędnych]] w przestrzeni <math>R^3.</math> Oznaczmy przez <math>\mathbf e_1,\,\mathbf e_2,\,\mathbf e_3</math> wersory kierunków stycznych do osi tego układu{{r|Sus}}<ref>Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, ''Курс теоретической механики'', Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954.</ref>.

Jeżeli <math>\mathbf a</math> jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami
{{wzór|<math>a_i=\mathbf a\mathbf e_i=\dot\mathbf v\mathbf e_i=\dot\mathbf v\frac{\partial \mathbf r/\partial q_i}
{|\partial \mathbf r/\partial q_i|}
,\quad i=1,2,3.</math>|1}}

Ponieważ
: <math>\frac{d}{dt}(\mathbf v\mathbf e_i)=\dot\mathbf v\mathbf e_i+\mathbf v\frac{d}{dt}\mathbf e_i\quad\longrightarrow\quad \dot\mathbf v\mathbf e_i=\frac{d}{dt}(\mathbf v\mathbf e_i)-\mathbf v\frac{d}{dt}\mathbf e_i</math>

zatem
{{wzór|<math>a_i=\frac{d}{dt}(\mathbf v\mathbf e_i)-\mathbf v\frac{d}{dt}\mathbf e_i=\frac{1}{|\partial\mathbf r/\partial q_i|}\left[\frac{d}{dt}\left(\mathbf v\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_i}\right)-\mathbf v\frac{d}{dt}\frac{\partial r}{\partial q_i}\right].</math>|2}}

Na podstawie wzoru dla prędkości
{{wzór|<math>\mathbf v=\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_1}\dot q_1+\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_2}\dot q_2+\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_3}\dot q_3</math>|3}}

mamy
{{wzór|<math>\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_i}=\frac{\partial\mathbf v}{\partial\dot q_i}</math>|4}}

i dzięki temu
{{wzór|<math>\mathbf v\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_i}=\mathbf v\frac{\partial\mathbf v}{\partial\dot q_i}=\frac{\partial(v^2/2)}{\partial\dot q_i}.</math>|5}}

Mamy również
{{wzór|<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial r}{\partial q_1}=\frac{\partial^2\mathbf r}{\partial q_1^2}\dot q_1+\frac{\partial^2\mathbf r}{\partial q_1\partial q_2}\dot q_2+\frac{\partial^2\mathbf r}{\partial q_1\partial q_3}\dot q_3</math>|6}}

oraz
{{wzór|<math>\frac{\partial\mathbf v}{\partial q_1}=\frac{\partial^2\mathbf r}{\partial q^2_1}\dot q_1+\frac{\partial^2\mathbf r}{\partial q_2 q_1}\dot q_2+\frac{\partial^2\mathbf r}{\partial q_3 q_1}\dot q_3.</math>|7}}

Z porównania prawych stron {{LinkWzór|5}} i {{LinkWzór|6}} wynika, że
{{wzór|<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_i}=\frac{\partial\mathbf v}{\partial q_i},\quad i=1,2,3.</math>|8}}

Mamy zatem
{{wzór|<math>\mathbf v\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_i}=\mathbf v\frac{\partial\mathbf v}{\partial q_i}=\frac{\partial(v^2/2)}{\partial q_i}.</math>|9}}

Po podstawieniu {{LinkWzór|5}} i {{LinkWzór|9}} do {{LinkWzór|2}} otrzymujemy następujące wzory dla rzutów <math>a_i</math> wektora przyspieszenia <math>\mathbf a</math> na osie krzywoliniowego układu współrzędnych
{{wzór|<math>a_i=\frac{1}{|\partial\mathbf r/\partial q_i|}\left[\frac{d}{dt}\frac{\partial(v^2/2)}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial(v^2/2)}{\partial q_i}\right],\quad i=1,2,3.</math>|9}}

== Pomiar ==
Do pomiaru służy przetwornik przyspieszenia nazywany [[przyspieszeniomierz]]em lub akceleromierzem czy akcelerometrem.

== Zobacz też ==
* [[grawitacja]]
* [[przyspieszenie grawitacyjne]]
* [[przyspieszenie ziemskie]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Kinematyka}}
{{Mechanika klasyczna}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Wielkości kinematyczne]]