Tekst źródłowy strony Przykłady grup

Jest to spis przykładowych [[Grupa (matematyka)|grup w sensie matematycznym]], pochodzących z różnych działów [[Matematyka|matematyki]], zarówno [[Matematyka elementarna|elementarnej]], jak i [[Matematyka wyższa|wyższej]]. Przykładów grup dostarczają między innymi [[teoria mnogości]], [[arytmetyka]], [[algebra]] i [[geometria]] – grupy są tworzone między innymi przez [[Zbiór|zbiory]], [[Liczba|liczby]], [[Funkcja|funkcje]], [[macierz]]e i [[wektor]]y. Poniższa lista ma kilkadziesiąt punktów, przy czym niektóre z nich opisują [[Nieskończoność|nieskończone]] zbiory grup.

== Grupy z dodawaniem ==
[[Plik:Real number line.svg|mały|300px|[[Oś liczbowa]] – interpretacja [[Geometria|geometryczna]] zbioru [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]]]
[[Plik:Vector space illust.svg|mały|[[Wektor]]y na [[Płaszczyzna|płaszczyźnie]] mogą być [[Dodawanie|dodawane]] i [[Odejmowanie|odejmowane]], a przez własności tych działań tworzą grupę addytywną]]

W tych grupach działaniem jest [[dodawanie]]. Takie grupy bywają zaliczane do [[Grupa addytywna|addytywnych]], ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

=== Dodawanie liczb ===
* [[Liczby całkowite]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3908259 | tytuł = grupa | data dostępu = 2024-09-04 }}</ref><ref name="wazniak">{{otwarty dostęp}} Barbara Opozda, Małgorzata Downarowicz i Dominik Kwietniak, [https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometri%C4%85_analityczn%C4%85/%C4%86wiczenia_1:_Grupy_i_cia%C5%82a Algebra liniowa z geometrią analityczną, ćwiczenia 1: Grupy i ciała], [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego]] (MIM [[Uniwersytet Warszawski|UW]]), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].</ref> <math>\mathbb{Z};</math>
** [[liczby parzyste]] lub dowolny zbiór [[Wielokrotność|wielokrotności]] ustalonej liczby całkowitej{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=7, 104}} <math>n\mathbb{Z}, n\in\mathbb{Z};</math>
** w szczególności [[zero]] z dodawaniem to przykład [[Grupa trywialna|grupy trywialnej]]<ref name="mw">{{MathWorld | adres = TrivialGroup | tytuł = Trivial Group }} [dostęp 2024-09-05].</ref>;
* [[liczby wymierne]]{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=7, 104}}<ref name="wazniak" /> <math>\mathbb{Q};</math>
* [[liczby rzeczywiste]]{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=7, 104}}<ref name="wazniak" /> <math>\mathbb{R};</math>
** liczby rzeczywiste postaci <math>a+b\sqrt{2}</math>, gdzie liczby <math>a,b</math> są wymierne{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=11}}: <math>a,b\in\mathbb{Q};</math>
* [[liczby zespolone]]{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=7, 104}} <math>\mathbb{C};</math>
* [[Arytmetyka modularna|liczby całkowite modulo dowolna liczba całkowita dodatnia]]{{odn|Opial|1972|s=67}} <math>\mathbb{Z}_n, n\in\mathbb{Z}_+;</math>
* liczby rzeczywiste modulo 1 <math>(\mathbb{R}/(1))</math> – [[Przedział (matematyka)|przedział]] <math>[0;1)</math> z [[Działanie dwuargumentowe|działaniem]]{{odn|Opial|1972|s=67–68}}:
: <math>a\oplus b = \begin{cases}
 a+b &\text{dla } a+b < 1 \\
 a+b-1 &\text{dla } a+b\geqslant 1; \end{cases}</math>
* analogiczny zbiór liczb rzeczywistych [[modulo]] dowolna liczba rzeczywista [[Znak liczby|dodatnia]]{{odn|Opial|1972|s=68}}: <math>\mathbb{R}/(d), d\in\mathbb{R}_+;</math>
** analogiczny zbiór liczb wymiernych modulo dowolna liczba wymierna dodatnia{{odn|Opial|1972|s=68}}: <math>\mathbb{Q}/(d), d\in\mathbb{Q}_+.</math>

=== Dodawanie innych obiektów ===
* [[Iloczyn kartezjański|Potęgi kartezjańskie]] powyższych zbiorów – zbiory [[Para uporządkowana|krotek]] złożonych z ich elementów, np. <math>\mathbb{Z}^n =\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times ...\times \mathbb{Z},\ \mathbb{Q}^n,\ \mathbb{R}^n,\ \mathbb{C}^n</math> itd., z dodawaniem odpowiednich elementów{{odn|Opial|1972|s=68}}:
:: <math>(a_i)_{i=1}^n + (b_i)_{i=1}^n = (a_i+b_i)_{i=1}^n.</math>
: Niektóre z nich są nazywane [[Przestrzeń współrzędnych|przestrzeniami współrzędnych]], a <math>\mathbb{R}^n</math> – [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeniami kartezjańskimi]]<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3920787 | tytuł = przestrzeń kartezjańska | data dostępu = 2024-09-05 }}</ref>;
* [[wektor]]y na [[Prosta|prostej]], [[Płaszczyzna|płaszczyźnie]] lub w dowolnej innej [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]]{{odn|Opial|1972|s=68}};
* zbiory [[wielomian]]ów o współczynnikach z powyższych grup: <math>\mathbb{Z}[X],\ \mathbb{Q}[X],\ \mathbb{R}[X],\ \mathbb{C}[X]</math> itp.{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=10}}

== Grupy z mnożeniem liczb ==
[[Plik:Circle as Lie group.svg|mały|[[Okrąg jednostkowy]] na [[Diagram Arganda|diagramie Arganda]] – [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] z [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układem współrzędnych]]]]

W poniższych grupach działaniem jest [[mnożenie]] liczb:
* niezerowe [[liczby wymierne]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=10}}<ref name="wazniak" /> <math>\mathbb{Q}_{\neq 0};</math>
** [[1 (liczba)|jedynka]] i [[−1|minus jedynka]]{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=7, 104}} <math>\{1,-1\};</math>
** [[Znak liczby|dodatnie]] liczby wymierne{{odn|Opial|1972|s=67}}<ref name="wazniak" /> <math>\mathbb{Q}_+;</math>
** jedynka z mnożeniem to inny przykład [[Grupa trywialna|grupy trywialnej]]<ref name="mw" />;
* niezerowe [[liczby rzeczywiste]]{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=7, 104}}<ref name="wazniak" /> <math>\mathbb{R}_{\neq 0};</math>
** dodatnie liczby rzeczywiste{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=7, 104}}<ref name="wazniak" /> <math>\mathbb{R}_+;</math>
** liczby rzeczywiste postaci <math>a+b\sqrt{2}</math>, gdzie liczby <math>a,b</math> są wymierne i&nbsp;nie są jednocześnie zerowe: <math>a,b\in\mathbb{Q}, (a,b)\neq(0,0)</math>{{odn|Opial|1972|s=70}};
* niezerowe [[liczby zespolone]]{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=7, 104}} <math>\mathbb{C}_{\neq 0};</math>
** liczby zespolone o [[Wartość bezwzględna|module]] jednostkowym{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=7, 104}}<ref name="wazniak" /> – [[grupa okręgu]] <math>\mathbb{C}_1;</math>
** [[Pierwiastek z jedynki|pierwiastki algebraiczne ustalonego stopnia z jedynki]]{{odn|Opial|1972|s=68–69}}: <math>\mathbb{E}_n = \{z\in\mathbb{C}: z^n = 1\}.</math>

Takie grupy bywają zaliczane do [[Grupa multiplikatywna|multiplikatywnych]], ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

== Grupy [[Funkcja|przekształceń]] ==
[[Plik:Slope picture.svg|mały|[[Wykres funkcji|Wykres]] przykładowej [[Funkcja liniowa|funkcji liniowej]] w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]]]]

W ich przypadku działaniem jest [[złożenie funkcji]]. Elementy rozważanych grup to [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcje]] i jednocześnie funkcje, dla których [[przeciwdziedzina]] pokrywa się [[Dziedzina (matematyka)|dziedziną]] – [[Działanie jednoargumentowe|działania jednoargumentowe]]: <math>f:X\to X.</math>

=== [[Funkcja rzeczywista|Funkcje rzeczywiste]] ===
* Rzeczywiste [[Funkcja liniowa|funkcje 1. stopnia]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=16}}:
:: <math>f(x)=ax+b,\ a\in\mathbb{R}_{\neq 0}, b\in\mathbb{R};</math>
* [[uogólnienie]] powyższych – rzeczywiste [[Funkcja homograficzna|homografie]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=17}}:
:: <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\ a,b,c,d\in\mathbb{R},\ </math><math>ad-bc\neq 0;</math>
* cztery przykłady takich homografii, konkretniej [[Proporcja (arytmetyka)|proporcjonalności]] – dwóch [[Proporcjonalność wprost|prostych]] i dwóch [[Proporcjonalność odwrotna|odwrotnych]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=16}}:
:: <math>id(x)=x,\ f(x)=-x,\ g(x)=\frac{1}{x},</math>
:: <math>h(x) = f\circ g(x) = g\circ f(x)=-\frac{1}{x};</math>
:: [[Tablica Cayleya]] tej grupy{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=172}}:
:: {| class="wikitable"
|+
!<math>\circ</math>
!<math>id</math>
!<math>f</math>
!<math>g</math>
!<math>h</math>
|-
!<math>id</math>
|<math>id</math>
|<math>f</math>
|<math>g</math>
|<math>h</math>
|-
!<math>f</math>
|<math>f</math>
|<math>id</math>
|<math>h</math>
|<math>g</math>
|-
!<math>g</math>
|<math>g</math>
|<math>h</math>
|<math>id</math>
|<math>f</math>
|-
!<math>h</math>
|<math>h</math>
|<math>g</math>
|<math>f</math>
|<math>id</math>
|}
* sześć przykładów rzeczywistych homografii{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=17}}:
:: <math>id(x)=x,\ f(x)=1-x,\ g(x)=\frac{1}{x},</math>
:: <math>k(x) = f\circ g(x) = 1-\frac{1}{x} = \frac{x-1}{x};</math>
:: <math>l(x) = g\circ f(x) = \frac{1}{1-x};</math>
:: <math>m(x) = g\circ k(x) = \frac{x}{x-1};</math>
* [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcje]] zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których <math>f(1)=1</math>, czyli jedynka jest [[Punkt stały|punktem stałym]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=18}}; por. [[Działanie_grupy_na_zbiorze#Stabilizator,_orbita,_punkt_stały|stabilizator]];
* bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których <math>f(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}</math> – [[Obraz (matematyka)|obrazem]] zbioru [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]] jest on sam{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=18}}; por. [[zbiór niezmienniczy]];
* bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są [[Funkcja monotoniczna|rosnące]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=18}};
* bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są [[Funkcja monotoniczna|ściśle monotoniczne]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=18}}.

=== Inne funkcje ===
[[Plik:Group action on equilateral triangle.svg|mały|[[Trójkąt równoboczny]] ma trzy [[Symetria osiowa|osie symetrii]] i zachowuje ustawienie przy trzech [[Obrót|obrotach]] wokół środka – o 120°, 240° i 360°. Dlatego mówi się, że jego [[grupa diedralna]] ma 6 elementów. Jest ona [[Izomorfizm|izomorficzna]] z trzecią [[Grupa permutacji|grupą permutacji]]<ref>{{MathWorld | adres = DihedralGroupD3 | tytuł = Dihedral Group D_3 }} [dostęp 2024-09-05].</ref>: <math>D_3 \cong S_3.</math>]]

* [[Grupa bijekcji|Grupy bijekcji]] – zbiór [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznacznych]] przekształceń zbioru w siebie, czasem też nazywany ''grupą symetryczną''{{odn|Opial|1972|s=72}} <math>S_X,</math> gdzie <math>X</math> to dowolny zbiór;
** [[Grupa permutacji|grupy permutacji]] – [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcji]] zbioru skończonego [[Działanie jednoargumentowe|w siebie]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=20}} <math>S_n, n\in\mathbb{N};</math>
** [[Grupa alternująca|grupy alternujące]] – [[Permutacja#Znak_permutacji|permutacji parzystych]] ustalonego zbioru<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3908293 | tytuł = grupa prosta | data dostępu = 2024-09-04 }}</ref> <math>A_n, n\in\mathbb{N};</math>
** [[funkcja tożsamościowa]] na dowolnym zbiorze <math>id(x)=x</math> to inny przykład [[Grupa trywialna|grupy trywialnej]]<ref name="mw" />;
* grupa [[Izometria|izometrii]] płaszczyzny [[Przestrzeń euklidesowa|euklidesowej]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=16}}: <math>I(E^2);</math>
** [[Grupa diedralna|grupy diedralne]] – wszystkich izometrii własnych [[Wielokąt foremny|wielokąta foremnego]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=19}}: <math>D_n, n\in\mathbb{N}_{\geq 3};</math>
* [[Pełna grupa liniowa|pełne grupy liniowe]] – grupy wszystkich [[Izomorfizm liniowy|izomorfizmów liniowych]] ustalonej [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]]: <math>\text{GL}(n,K),</math> gdzie <math>n\in\mathbb{N},</math> a <math>K</math> to dowolne [[Ciało (matematyka)|ciało]]<ref>{{otwarty dostęp}} [https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometri%C4%85_analityczn%C4%85/Wyk%C5%82ad_6:_Macierze_a_odwzorowania_liniowe#Macierz_odwrotna,_og%C3%B3lna_grupa_liniowa Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe], [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego]] (MIM UW), waznika.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].</ref>. Inne znaczenie terminu ''pełna grupa liniowa'', związane z [[Macierz|macierzami kwadratowymi]], [[#Grupy z mnożeniem macierzy|podano niżej]].

== Grupy z [[Mnożenie macierzy|mnożeniem macierzy]] ==
[[Macierz]]e kwadratowe:
* [[Macierz odwracalna|odwracalne]] (nieosobliwe) elementów ustalonego [[Ciało (matematyka)|ciała]]{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=8, 104}} i ustalonego wymiaru – taka grupa to jedno ze znaczeń terminu ''[[pełna grupa liniowa]]''{{odn|Bryński|Jurkiewicz|1985|s=21}}<ref>{{otwarty dostęp}} [https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometri%C4%85_analityczn%C4%85/Wyk%C5%82ad_5:_Macierze Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 5: Macierze], [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego]] (MIM [[Uniwersytet Warszawski|UW]]), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].</ref>: <math>\text{GL}(n,K).</math> Inne znaczenie tej nazwy [[#Grupy przekształceń|podano wyżej]];
* postaci{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=15}}: <math>\begin{bmatrix} 
1 & a\\
0 & 1
\end{bmatrix},\ a\in\mathbb{R};</math>
* postaci{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=17}}: <math>\begin{bmatrix} 
(-1)^a & a\\
0 & (-1)^a
\end{bmatrix},\ a\in\mathbb{Z};</math>
* postaci{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=16}}: <math>\begin{bmatrix} 
1 & 0 & a\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},\ a\in\mathbb{C}.</math>

== Inne grupy ==
[[Plik:Venn A symmetric minus B.svg|mały|[[Diagram Venna]] dla <math>A\Delta B</math> – [[różnica symetryczna zbiorów]] jest oznaczona fioletowo]]

Grupy są też tworzone przez [[Działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowe]] inne niż [[dodawanie]], [[mnożenie]] liczb, [[złożenie funkcji]] czy [[mnożenie macierzy]].

=== Grupy liczb ===
* [[Liczby całkowite]] <math>\mathbb{Z}</math> z działaniem{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=15}}: <math>a\oplus b = (-1)^aa + (-1)^bb;</math>
* [[liczby wymierne]] bez jedynki <math>\mathbb{Q}_{\neq 1}</math> z działaniem<ref name="wazniak" />: <math>a*b = a+b-ab;</math>
* [[Przedział (matematyka)|przedział otwarty]] <math>(1;+\infty)</math> z działaniem{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=14}}: <math>a*b = ab-a-b+2.</math>

=== Grupy innych obiektów ===
* [[Podzbiór|Podzbiory]] ustalonego [[Zbiór|zbioru]] – czyli [[zbiór potęgowy]] – z działaniem [[Różnica symetryczna zbiorów|różnicy symetrycznej]]{{odn|Smoluk|2017|s=49}}{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=17}}: <math>(\mathcal{P}(X),\Delta),</math> gdzie:
** <math>X</math> to dowolny zbiór;
** <math>\mathcal{P}(X)</math> – jego zbiór potęgowy;
** <math>\Delta</math> to różnica symetryczna: <math>A\Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B).</math>
* Jeśli <math>(G,*)</math> jest dowolną [[Grupa (matematyka)|grupą]], a <math>X</math> – dowolnym zbiorem, to grupą jest też zbiór wszystkich [[Funkcja|funkcji]] na tym zbiorze i o wartościach w tej grupie, z odpowiednim [[Działanie dwuargumentowe|działaniem]] na tych funkcjach<ref name="wazniak" />:
: <math>G^X := \{f:X\to G\},</math>
: <math>(f*g) (x) := f(x)*g(x);</math>
* Jeśli [[Koniunkcja (logika)|jednocześnie]]:
** <math>(G_1,*)</math> jest dowolną grupą;
** <math>f:G_1\to G_2</math> jest dowolną [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcją]] na zbiorze <math>G_1;</math>
** działanie dwuargumentowe <math>\odot :G_2^2\to G_2</math> jest zdefiniowane wzorem
:: <math>a\odot b := f(f^{-1}(a)*f^{-1}(b)),</math>
: to <math>(G_2,\odot)</math> jest grupą{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=15}}.

== Zobacz też ==
* [[Grupa czwórkowa Kleina]]
* [[Grupa modularna]]
* [[Grupa obrotów]]
** [[Grupa SO(2)]]
* [[Symetria unitarna]]
** [[Specjalna grupa unitarna]]
** [[Grupa SU(2)]]
* [[Grupa kwaternionów]]
* [[Grupa Galileusza]]
* [[Grupa Poincarégo]]
** [[Grupa Lorentza]]
* [[Grupa Heisenberga]]
* [[Grupa Mathieu]]
* [[Grupa monstrum]]
* [[Grupa Prüfera]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę | imię = Maciej | nazwisko = Bryński | imię2 = Jerzy | nazwisko2 = Jurkiewicz | tytuł = Zbiór zadań z algebry | wydanie = III | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | miejsce = Warszawa | rok = 1985 | isbn = 83-01-06575-3 | odn = tak }}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Opial |imię = Zdzisław |autor link = Zdzisław Opial |tytuł = Algebra wyższa |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1972 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Ptak |imię = Marek |nazwisko2 = Gryszka |imię2 = Karol |nazwisko3 = Hejmej |imię3 = Beata |tytuł = Algebra liniowa. Notatki do wykładu |wydawca = Wydawnictwo Szkolne Omega |miejsce = Kraków |rok = 2019 |isbn = 978-83-7267-734-1 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Smoluk |imię = Antoni |tytuł = Algebra liniowa |wydawca = Wydawnictwo [[Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu|Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu]] |miejsce = Wrocław |rok = 2017 |isbn = 978-83-7695-635-0 |odn = tak}}

{{Teoria grup}}
{{Struktury algebraiczne}}

[[Kategoria:Przykłady grup]]