Tekst źródłowy strony Przestrzenie T5 i T6

{{DISPLAYTITLE:Przestrzenie T<sub>5</sub> i T<sub>6</sub>}}
'''Przestrzeń <math>T_5</math>''' i '''przestrzeń <math>T_6</math>''' – terminy w [[Topologia|topologii]] odnoszące się do jednych z najsilniejszych [[Aksjomaty oddzielania|aksjomatów oddzielania]].

== Definicje ==
[[Przestrzeń topologiczna]] <math>X</math> jest przestrzenią '''dziedzicznie normalną''' (albo '''całkowicie normalną''' albo <math>T_5</math>) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>X</math> jest [[Przestrzeń T4|przestrzenią T<sub>4</sub>]] w której każda [[Topologia podprzestrzeni|podprzestrzeń]] jest [[Przestrzeń T4|normalna]].

[[Przestrzeń topologiczna]] <math>X</math> jest przestrzenią '''doskonale normalną''' (albo <math>T_6</math>) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>X</math> jest [[Przestrzeń T4|przestrzenią T<sub>4</sub>]] w której każdy [[Zbiór domknięty|domknięty]] podzbiór jest [[Część wspólna|przekrojem]] [[Zbiór przeliczalny|przeliczalnej]] [[Rodzina zbiorów|rodziny zbiorów]] [[Zbiór otwarty|otwartych]].

=== Nazewnictwo ===
Tak jak w przypadku przestrzeni [[Przestrzeń regularna|regularnych]], [[Przestrzeń Tichonowa|Tichonowa]] czy też [[Przestrzeń T4|normalnych]], istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów '''przestrzeń dziedzicznie/całkowicie normalna''' i '''przestrzeń <math>T_5</math>''' oraz '''przestrzeń doskonale normalna''' i '''przestrzeń <math>T_6</math>'''. Źródłem różnic jest zakładanie (bądź nie) [[Przestrzeń T1|aksjomatu T<sub>1</sub>]]. W tym artykule obowiązuje terminologia ustalona w monografii [[Ryszard Engelking|Engelkinga]]<ref>Ryszard Engelking, ''General Topology'', Helderman, Berlin 1989, {{ISBN|3-88538-006-4}}, s. 45, 68, 69.</ref> – zakładamy, że rozważane przestrzenie są przestrzeniami <math>T_4.</math>

Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w przez autorów.

== Przykłady ==
* Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami doskonale normalnymi: przestrzeń [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z naturalną topologią, [[przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]] i ogólniej [[przestrzeń metryczna|przestrzenie metryczne]].
* Każda [[Przestrzeń regularna|regularna przestrzeń]] topologiczna <math>X</math> która jest [[Zbiór przeliczalny|przeliczalna]] lub spełnia [[Aksjomaty przeliczalności|drugi aksjomat przeliczalności]] jest także przestrzenią doskonale normalną.
* Istnieją przestrzenie całkowicie normalne które nie są doskonale normalne. Rozważmy na przykład zbiór <math>\mathbb R</math> wszystkich liczb rzeczywistych z topologią <math>\tau</math> zawierającą wszystkie zbiory <math>U \subseteq \mathbb R</math> takie że <math>\mathbb R \setminus U</math> jest skończone lub <math>0 \notin U</math> lub <math>U = \varnothing.</math> Wtedy <math>(\mathbb R, \tau)</math> jest przestrzenią <math>T_5,</math> ale nie <math>T_6.</math>
* Istnieją przestrzenie T6, które nie są metryzowalne. Na przykład topologia na <math>\omega_1</math> wprowadzona przez bazę <math>\{ \{0\}\cup \{(\alpha, \beta]\colon\, \alpha<\beta<\omega_1\}\}</math> nie jest metryzowalna ani nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności.
* Pod założeniem ZFC + „istnieje [[zbiór Łuzina]] na prostej” można podać przykład doskonale normalnej, dziedzicznie ośrodkowej rozmaitości, która nie jest [[przestrzeń metryzowalna|metryzowalna]]<ref>Z. Balogh, G. Gruenhage, ''Two more perfectly normal non-metrizable manifolds'', Volume 151, Issues 1–3, 1 June 2005, s. 260–272. [http://www.auburn.edu/~gruengf/papers/perfnman.pdf].</ref>. Konstrukcja tego typu przestrzeni wymaga założenia aksjomatów spoza ZFC<ref>[[Mary Ellen Rudin|Rudin M.E.]], ''The undecidability of the existence of a perfectly normal nonmetrizable manifold'', Houston J. Math. 5 (1979), s. 249–252.</ref>.

== Własności ==
* Każda przestrzeń doskonale normalna jest całkowicie normalna.
* Obraz przestrzeni doskonale normalnej przez (ciągłe) [[Odwzorowania otwarte i domknięte|odwzorowanie domknięte]] jest przestrzenią doskonale normalną.
* Podprzestrzeń przestrzeni doskonale normalnej jest doskonale normalna i tak samo dla przestrzeni dziedzicznie normalnych (czyli własności ''być przestrzenią doskonale normalną'' i ''być przestrzenią dziedzicznie normalną'' są [[Topologia podprzestrzeni#Własności dziedziczne|własnościami dziedzicznymi]]).
* Następujące '''Twierdzenie Wedenisowa''' jest często podawane jako uzasadnienie że własność <math>T_6</math> jest własnością oddzielania:
:: [[Przestrzeń T1|Przestrzeń T<sub>1</sub>]] <math>X</math> jest doskonale normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów <math>A, B \subseteq X</math> istnieje funkcja ciągła <math>f\colon X \to [0,1]</math> taka, że <math>f^{-1}[\{0\}] = A</math> i <math>f^{-1}[\{1\}] = B.</math>
* Następujące twierdzenie jest często podawane jako uzasadnienie, że własność <math>T_5</math> jest własnością oddzielania:
:: [[Przestrzeń T1|Przestrzeń T<sub>1</sub>]] <math>X</math> jest dziedzicznie normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów <math>A, B \subseteq X</math> takich że <math>A \cap \operatorname{cl}(B) = \varnothing = \operatorname{cl}(A) \cap B</math> istnieją zbiory otwarte <math>U, V \subseteq X</math> takie że <math>A \subseteq U,</math> <math>B \subseteq V</math> i <math>U \cap V = \varnothing.</math>

== Zobacz też ==
* [[aksjomaty oddzielania]]
* [[Przestrzeń T4|przestrzeń normalna]] <math>(T_4)</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Aksjomaty oddzielania]]