Tekst źródłowy strony Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego

'''Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego''' – dla danej [[liczby zespolone|zespolonej]] [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] <math>V</math> przestrzeń liniowa <math>\overline{V},</math> której elementami są elementy zbioru <math>V,</math> działanie dodawania jest takie samo jak w przestrzeni <math>V,</math> natomiast mnożenie przez skalary zdefiniowane jest wzorem
:: <math>\alpha \odot x = \overline{\alpha}x,</math>

dla każdego <math>x\in V</math> oraz każdej liczby zespolonej <math>\alpha.</math> Działanie po prawej stronie znaku równości oznacza [[mnożenie przez skalar]] ([[sprzężenie zespolone|liczbę sprzężoną]] do <math>\alpha</math>) w przestrzeni <math>V.</math>

Przestrzenie <math>V</math> i <math>\overline{V}</math> mają jednakowe wymiary, a więc są [[izomorfizm|izomorficzne]] z punktu widzenia [[algebra liniowa|algebry liniowej]], to znaczy istnieje [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczne]] odwzorowanie liniowe między tymi przestrzeniami. Przestrzeń <math>\overline{\overline{V}}</math> można w naturalny sposób utożsamiać z przestrzenią <math>V</math> (zob. [[idempotentność]]).

Jeśli <math>V,W</math> są zespolonymi przestrzeniami liniowymi oraz <math>A\colon V\to W</math> jest [[przekształcenie antyliniowe|odwzorowaniem antyliniowym]], to jest ono liniowe jako przekształcenie przestrzeni <math>\overline{V}</math> w przestrzeń <math>W</math> (cały czas można mówić o jednym i tym samym odwzorowaniu ponieważ zbiory wektorów przestrzeni <math>V</math> i <math>\overline{V}</math> są równe). W szczególności, [[funkcja tożsamościowa|identyczność]]
: <math>\mbox{id}\colon H\to \overline{H}</math>
jest izomorfizmem antyliniowym.

[[Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)|Twierdzenie Riesza o reprezentacji]] [[funkcja ciągła|ciągłych]] [[Forma liniowa|funkcjonałów liniowych]] na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] <math>H</math> mówi, że dla każdego <math>x^*\in H^*</math> istnieje dokładnie jeden element <math>a\in H</math> taki, że
:: <math>x^*x=( x| a )</math>

dla każdego <math>x\in H.</math> Z tego twierdzenia wynika, że każda przestrzeń Hilberta <math>H</math> jest antyliniowo ([[izometria|izometrycznie]]) izomorficzna ze swoją [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|przestrzenią sprzężoną]] <math>H^*.</math> Stąd, niekiedy wygodnie jest dokonywać utożsamienia
:: <math>H^*=\overline{H}.</math>

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kostrikin |imię=Aleksiej I. |autor link = Aleksiej Kostrikin |tytuł = Wstęp do algebry: Algebra liniowa | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | rok = 2004 | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-14267-7 | strony = 142 }}

[[Kategoria:Przestrzenie liniowe]]