Tekst źródłowy strony Przestrzeń refleksywna

{{inne znaczenia|analizy funkcjonalnej|[[Moduł dualny|przestrzeń refleksywna]] w algebrze liniowej}}
'''Przestrzeń refleksywna''' – [[przestrzeń unormowana]] <math>X,</math> o tej własności, że [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną]]
: <math>\kappa_X\colon X\longrightarrow X^{**}</math>

dane wzorem
: <math>\langle \kappa_X(x), f\rangle = \langle f, x\rangle\quad (x\in X, f\in X^*),</math>

jest [[Surjekcja|suriektywne]] (a zatem z [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)#Izometryczność włożenia kanonicznego|izometryczności]], jest ono wówczas izometrycznym izomorfizmem).

Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście [[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|przestrzeni lokalnie wypukłych]], zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.

== Przykłady ==
* Każda [[przestrzeń Hilberta]] jest refleksywna, co wynika z [[twierdzenie Riesza|twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału]] (zob. [[Przestrzeń Hilberta#Refleksywność|dowód]]).
* Dla każdego <math>1 < p < \infty</math> i dowolnej [[miara (matematyka)|miary]] <math>\mu</math> [[przestrzeń Lp|przestrzeń ''L<sub>p</sub>''(''μ'')]] jest refleksywna.
* [[Przestrzeń Tsirelsona]] jest refleksywna.
* Istnieją przestrzenie unormowane liniowo [[Izometria|izometryczne]] ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, które nie są refleksywne – historycznie pierwszym przykładem takiej przestrzeni jest [[przestrzeń Jamesa]] <math>J</math> ([[przestrzeń ilorazowa]] <math>J^{**}/J</math> jest jednowymiarowa).

== Własności ==
* Przestrzenie refleksywne są zupełne (są przestrzeniami Banacha), twierdzenie to wynika z [[twierdzenie Banacha-Steinhausa|twierdzenia Banacha-Steinhausa]]{{odn|Morrison|2001|s=75}}.
* W przestrzeni refleksywnej każdy [[zbiór domknięty]], [[zbiór ograniczony|ograniczony]] i [[zbiór wypukły|wypukły]] jest słabo zwarty, tzn. przestrzenie refleksywne ze słabą topologią mają [[przestrzeń liniowo-topologiczna|własność Heinego-Borela]]. Prawdziwe jest także twierdzenie ogólniejsze, mówiące, że przestrzeń unormowana jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej domknięta kula jednostkowa jest słabo zwarta{{odn|Megginson|1998|s=246–247}}{{odn|Morrison|2001|s=136}} (dowód tego faktu wykorzystuje [[twierdzenie Goldstine’a]]).
* [[zbiór domknięty|Domknięta]] [[podprzestrzeń liniowa]] przestrzeni refleksywnej jest refleksywna. Ponadto, przestrzeń jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowa]] domknięta podprzestrzeń jest refleksywna{{odn|Morrison|2001|s=136}}{{odn|Megginson|1998|s=251}}.
* Przestrzeń Banacha <math>X</math> jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy <math>X^*</math> jest refleksywna. Założenia [[przestrzeń Banacha|zupełności]] przestrzeni nie można pominąć.
* Przestrzeń liniowo [[Homeomorfizm|homeomorficzna]] z przestrzenią refleksywną jest przestrzenią refleksywną.
* Używając [[twierdzenie Eberleina-Szmuljana|twierdzenia Eberleina-Szmuljana]], można wykazać, że w przestrzeni refleksywnej każdy ograniczony ciąg jej punktów ma [[podciąg]] słabo zbieżny.
* Każda przestrzeń refleksywna jest [[przestrzeń słabo ciągowo zupełna|słabo ciągowo zupełna]], lecz nie odwrotnie – przykładem jest [[Przestrzeń l1|przestrzeń ''ℓ''<sub>1</sub>]]{{odn|Megginson|1998|s=251}}.

=== Twierdzenie Jamesa ===
{{Osobny artykuł|twierdzenie Jamesa}}
[[Twierdzenie Jamesa]] mówi, że przestrzeń Banacha <math>X</math> jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony [[Forma liniowa|funkcjonał liniowy]] na <math>X</math> osiąga swoją normę na (domkniętej) kuli jednostkowej{{odn|Megginson|1998|s=262–263}}, tj. istnieje taki element <math>x \in X</math> o normie 1, że
: <math>\|f\|=\langle f,x\rangle.</math>

Założenia [[przestrzeń Banacha|zupełności]] przestrzeni nie można pominąć.

=== Twierdzenie Milmana-Pettisa ===
{{Osobny artykuł|twierdzenie Milmana-Pettisa}}
[[Twierdzenie Milmana-Pettisa]] mówi, że każda [[przestrzeń jednostajnie wypukła|jednostajnie wypukła]] przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, [[przestrzeń Lp|przestrzenie ''L<sup>p</sup>''(''μ'')]] dla <math>p \in (1, \infty)</math> są refleksywne).

=== Twierdzenie Phillipsa ===
Przestrzeń <math>X</math> nazywa się:
* ''gładką'', gdy dla każdego takiego elementu <math>x</math> przestrzeni <math>X,</math> że <math>\|x\| = 1</math> istnieje dokładnie jeden taki element <math>x^*</math> przestrzeni <math>X^*,</math> że <math>\|x^*\| = 1</math> oraz <math>\langle x^*, x \rangle = 1.</math>
* ''silnie gładką'', gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie <math>x \to x^*</math> takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie [[słaba topologia|słabej topologii]] w <math>X^*.</math>

''Twierdzenie Phillipsa'' mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma [[własność Radona-Nikodýma]]. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej <math>X^*</math> (a więc w konsekwencji przestrzeni <math>X</math>) a jej własnością Radona–Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:
: {| style="text-align: left; width: 50%; margin: 0 auto; border-collapse: collapse;" border="1" cellpadding="4"
|- style="background: #AABBCC;"
!width="50%"| <math>X^*</math> jest refleksywna jeśli:
!width="50%"| <math>X^*</math> ma własność Radona–Nikodýma jeśli:
|-
|bgcolor="#FFFFFF"| <math>X^{****}</math> jest [[przestrzeń ściśle wypukła|ściśle wypukła]]
|bgcolor="#DFEFFG"|
|-
|bgcolor="#FFFFFF"| <math>X^{***}</math> jest gładka ([[język angielski|ang.]] ''smooth'')
|bgcolor="#DFEFFG"| <math>X^{***}</math> jest ściśle wypukła.
|-
|bgcolor="#FFFFFF"| <math>X^{**}</math> jest [[Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła|słabo lokalnie jednostajnie wypukła]]
|bgcolor="#DFEFFG"| <math>X^{**}</math> jest gładka
|-
|bgcolor="#FFFFFF"| <math>X^*</math> jest silnie gładka (ang. ''very smooth'')
|bgcolor="#DFEFFG"| <math>X^*</math> jest [[Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła|słabo lokalnie jednostajnie wypukła]]<ref>J. Diestel, B. Faires, [http://web.archive.org/web/20160304132927/http://www.ams.org/journals/tran/1974-198-00/S0002-9947-1974-0350420-8/S0002-9947-1974-0350420-8.pdf On vector measures], ''[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]'' '''198''' (1974), 253–271.</ref>
|-
|bgcolor="#FFFFFF"| <math>X</math> jest [[przestrzeń jednostajnie wypukła|jednostajnie wypukła]]
|bgcolor="#DFEFFG"| <math>X^*</math> jest silnie gładka
|}

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik [[Ivan Singer|Ivana Singera]]<ref>[[Ivan Singer|I. Singer]], [http://www.ams.org/journals/proc/1975-052-01/S0002-9939-1975-0511796-8/S0002-9939-1975-0511796-8.pdf Some characterizations of reflexivity]. ''[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]'' '''52''' (1975), 166–168.</ref>:
: Jeśli <math>X^{***}</math> jest silnie wypukła oraz <math>X^*</math> zawiera właściwą podprzestrzeń liniową <math>Y</math> dla której odwzorowanie kanoniczne <math>X \to Y^*</math> jest izometrią, to <math>X</math> jest przestrzenią refleksywną.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Conway |imię = John B. |autor link = John Conway |tytuł = A course in functional analysis |wydawca = Springer-Verlag |miejsce = New York |rok = 1990 |strony = 67 |isbn = 0387972455}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Diestel |imię = Joe |autor link = Joseph Diestel |nazwisko2 = Uhl |imię2 = Jerry J. |tytuł = Vector Measures |url = |rok = 1977 |wydawca = American Mathematical Society |miejsce = Providence, Rhode Island |strony = 212}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Megginson |imię = Robert E. |tytuł = An Introduction to Banach Space Theory |seria = Graduate Texts in Mathematics 183 |miejsce = Springer-Verlag |wydawca = New York |rok = 1998 |strony = | odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Morrison |imię = Terry J. |tytuł = Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory |wydawca = John Wiley & Sons, Inc. |miejsce = New York |isbn = 978-0-471-37214-1 |rok = 2001 | odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Musielak |imię = Julian |autor link = Julian Musielak |tytuł = Wstęp do analizy funkcjonalnej |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |rok = 1976}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Rudin |imię = Walter |autor link = Walter Rudin |tytuł = Analiza Funkcjonalna |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |rok = 2009 |isbn = 978-83-01-15802-6}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Reflexive_space Reflexive space]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

{{Struktury na przestrzeniach liniowych}}

[[Kategoria:Przestrzenie Banacha]]