Tekst źródłowy strony Przestrzeń lokalnie zwarta

'''Przestrzeń lokalnie zwarta''' – [[przestrzeń topologiczna]], która lokalnie wygląda jak [[przestrzeń zwarta]]. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna <math>(X,\tau)</math> jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt <math>x\in X</math> ma [[Baza otoczeń|bazę otoczeń]] złożoną ze zbiorów [[Podprzestrzeń warunkowo zwarta|warunkowo zwartych]].

== Przykłady ==
Następujące przestrzenie topologiczne są lokalnie zwarte:
* [[przedział (matematyka)|odcinek]] domknięty <math>[0,1],</math> [[zbiór Cantora]] i ogólniej każda przestrzeń zwarta,
* [[liczby rzeczywiste|prosta rzeczywista]] <math>\mathbb R</math> i ogólniej każda z [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowych]] <math>\mathbb R^n,</math>
* każda przestrzeń [[Przestrzeń dyskretna|dyskretna]].

Następujące przestrzenie '''nie''' są lokalnie zwarte:
* przestrzeń [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] <math>\mathbb Q</math> z topologią [[Topologia podprzestrzeni|podprzestrzeni]] <math>\mathbb R,</math>
* [[przestrzeń Baire’a]] <math>\mathbb N^\mathbb N,</math>
* przestrzeń [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] <math>\mathbb R\setminus \mathbb Q</math> z topologią podprzestrzeni <math>\mathbb R</math> (będąca homeomorficzna z przestrzenią Baire’a),
* przestrzeń <math>\{(0,0)\}\cup\{(x,y)\in \mathbb R^2:y>0\}</math> (z topologią podprzestrzeni płaszczyzny).

== Własności ==
* Jeśli <math>X</math> jest przestrzenią [[przestrzeń Hausdorffa|T<sub>2</sub>]], to
:: <math>X</math> jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt <math>x\in X</math> ma [[Otoczenie i sąsiedztwo|otoczenie]] zwarte.
* Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest [[Przestrzeń Tichonowa|całkowicie regularna]].
* Całkowicie regularna przestrzeń <math>X</math> jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona [[zbiór otwarty|otwartą]] podprzestrzenią swego [[uzwarcenie Čecha-Stone’a|uzwarcenia Čecha-Stone’a]] <math>\beta X.</math>
* Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest [[przestrzeń zupełna w sensie Čecha|zupełna w sensie Čecha]].
* Niezwarte, lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, to są dokładnie te przestrzenie których [[uzwarcenie]] jednopunktowe jest T<sub>2</sub>.
* Zarówno otwarte, jak i [[zbiór domknięty|domknięte]] podprzestrzenie lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte.
* Jeśli <math>(X,\tau)</math> jest lokalnie zwartą przestrzenią T<sub>2</sub>, <math>U\in \tau</math> oraz <math>Z\subseteq U</math> jest zwarty, to istnieje zbiór otwarty <math>V\in\tau</math> taki, że <math>Z\subseteq V\subseteq \mathrm{cl}(V)\subseteq U</math> oraz <math>\mathrm{cl}(V)</math> jest zwarte.
* Na lokalnie zwartej [[grupa topologiczna|grupie topologicznej]] można określić [[Miara (matematyka)|miarę]] (lewostronnie) niezmienniczą na działanie grupowe i mierzącą wszystkie elementy [[przestrzeń mierzalna|σ-ciała]] generowanego przez zbiory zwarte; jest to tzw. [[miara Haara]].

== Zobacz też ==
* [[przestrzeń topologiczna]]
* [[przestrzeń zwarta]]
* [[uzwarcenie Čecha-Stone’a]]
* [[Uzwarcenie|uzwarcenie przestrzeni]]

[[Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych]]