Tekst źródłowy strony Przekształcenie unitarne

{{Dopracować|źródła=2024-04}}

'''Przekształcenie unitarne''', '''przekształcenie''' '''ortogonalne''' – [[przekształcenie liniowe]] dwóch [[przestrzeń unitarna|przestrzeni unitarnych]] ([[przestrzeń euklidesowa|euklidesowych]]) zachowujące [[iloczyn skalarny]], tzn. taka bijekcja <math>\mathrm U\colon X \to Y</math> tych przestrzeni, dla której zachodzi
{{Wzór|<math>\big\langle \mathrm U(\mathbf x), \mathrm U(\mathbf y) \big\rangle = \mathbf x \cdot \mathbf y</math>|1}}

dla wszystkich <math>\mathbf x, \mathbf y \in X,</math> gdzie <math>\cdot</math> oznacza iloczyn skalarny w <math>X,</math> a <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> jest iloczynem skalarnym w <math>Y.</math>

[[Macierz przekształcenia liniowego|Macierzą tego przekształcenia]] jest [[macierz unitarna]] (lub [[macierz ortogonalna]]). Jeśli <math>X = Y,</math> to przekształcenie to nazywa się [[operator unitarny|operatorem unitarnym]] na <math>X.</math> Każde przekształcenie unitarne jest [[izometria|izometrią]]. Pojęcie to odgrywa istotną rolę w teorii [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] (będącej przestrzenią unitarną).

Każde przekształcenie unitarne zachowuje [[Wektor#Długość|długości wektorów]], co wynika z przyjęcia <math>\mathbf x = \mathbf y</math> w {{LinkWzór|1}}.

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=yiLnvPEPe3Q Transformacje ortogonalne zachowują długości wektorów i kąty między nimi]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 5 października 2023 [dostęp 2024-06-22].
* {{MathWorld | adres = OrthogonalTransformation | tytuł = Orthogonal Transformation }} [dostęp 2024-06-22].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Unitary_transformation Unitary transformation]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-22].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Orthogonal_transformation Orthogonal transformation]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-22].

{{Przekształcenia liniowe}}
{{Formy na przestrzeniach liniowych}}

[[Kategoria:Przekształcenia liniowe]]
[[Kategoria:Analiza funkcjonalna]]

[[ru:Унитарное преобразование]]