Tekst źródłowy strony Przedział (matematyka)

{{Inne znaczenia|2=[[Przedział|inne znaczenia słowa „przedział”]]}}
{{Grafika rozwinięta
| kierunek = vertical
| grafika1 = Intervalo 01.svg
| grafika2 = Intervalo 04.svg
| grafika3 = Intervalo 02.svg
| grafika4 = Intervalo 03.svg
| opis = Przykładowe przedziały liczbowe – [[Przestrzeń spójna|spójne]] podzbiory [[Oś liczbowa|osi rzeczywistej]]; kolejno przedział otwarty, domknięty i dwa półotwarte; wszystkie cztery są ograniczone.
}}
[[Plik:Prosta polprosta odcinek2.svg|mały|[[Prosta]], [[półprosta]] i [[odcinek]] – jednowymiarowe [[Figura geometryczna|figury geometryczne]] odpowiadające niektórym rodzajom przedziałów liczbowych]]
[[Plik:Integral Riemann sum.png|mały|[[Całka Riemanna|Całkę Riemanna]] definiuje się przez [[Rozbicie zbioru|podział]] dziedziny funkcji na przedziały.]]

'''Przedział''' – typ [[Podzbiór|podzbioru]] w [[Zbiór|zbiorze]] [[Częściowy porządek|częściowo uporządkowanym]], zdefiniowany odpowiednimi [[Nierówność|nierównościami]]; elementy przedziału są zawarte między dwoma ustalonymi elementami, nazywanymi ''początkiem'' i ''końcem'' przedziału. Podstawowe przykłady to '''przedziały liczbowe''' – podzbiory [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] wyposażonych w standardowy porządek<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3963303 | tytuł = przedział liczbowy | data dostępu = 2023-08-19 }}</ref>: <math>(\mathbb{R},\leqslant).</math>

Wyróżnia się różne typy przedziałów:
* ograniczone lub nie<ref name="zpe">{{otwarty dostęp}} ''[https://zpe.gov.pl/a/przedzialy-liczbowe-przedzialy-jako-zbiory/DsfdIAgro Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-06-21].</ref>;
* otwarte, domknięte lub otwarte jednostronnie, zwane też jednostronnie domkniętymi<ref name="epwn" />, półotwartymi lub półdomkniętymi{{fakt|data=2023-08}}.

Niektóre przedziały liczbowe można utożsamiać z podstawowymi, jednowymiarowymi [[Figura geometryczna|figurami geometrycznymi]]:
* zbiór wszystkich liczb rzeczywistych to [[prosta]];
* przedziały nieograniczone domknięte (jednostronnie) to [[Półprosta|półproste]];
* przedziały ograniczone domknięte (obustronnie) to [[Odcinek|odcinki]].

Przedziały, zwłaszcza te liczbowe, są używane w różnych działach [[Matematyka|matematyki]] i innych [[nauka]]ch, co [[#Rola|opisano dalej]].

== Definicje formalne ==
Niech <math>(X,\leqslant)</math> będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech <math>x,y\in X</math> oraz <math>x \leqslant y.</math>

'''Przedziałem''' wyznaczonym przez <math>x,y</math> jest jeden z następujących zbiorów:
* <math>(x,y):=\{z\in X: x < z < y\}</math> – ''przedział (obustronnie) otwarty'',
* <math>[x,y):=\{z\in X: x \leqslant z < y\}</math> – '' przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty)'',
* <math>[x,y]:=\{z\in X: x \leqslant z \leqslant y\}</math> – ''przedział (obustronnie) domknięty'',
* <math>(x,y]:=\{z\in X: x < z \leqslant y\}</math> – ''przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty)''.

Ponadto
* <math>(-\infty,y):=\{z\in X: z < y\}</math> – ''przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty'',
* <math>(-\infty,y]:=\{z\in X: z \leqslant y\}</math> – ''przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty'',
* <math>(x,+\infty):=\{z\in X: x< z\}</math> – '' przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty'',
* <math>[x,+\infty):=\{z\in X: x \leqslant z\}</math> – ''przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty''.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym <math>(X,\leqslant)</math> istnieje [[Elementy najmniejszy i największy|element największy]], to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:
* <math>(\infty,\infty):=\{z\in X \}= X</math> – ''przedział obustronnie nieograniczony'', czyli cały zbiór <math>(X,\leqslant).</math>
* <math>\varnothing</math> – ''przedział pusty'', czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np. <math>(x,x),\;(x,x],\;[x,x).</math>

=== Oznaczenia ===
Niektórzy autorzy używają oznaczeń <math>(x,y)_X,</math> <math>[x,y]_X</math> itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast <math>[x,y]</math> stosuje się oznaczenie <math>\langle x,y\rangle</math> i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych<ref name="zpe" />. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno <math>(x,y),</math> jak i <math>\langle x,y\rangle</math> do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia [[para uporządkowana|par uporządkowanych]].

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń <math>(x,y], [x,y), (x,y)</math> dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń <math>]x,y],\ [x,y[,\ ]x,y[.</math>

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla [[separator dziesiętny|separatora dziesiętnego]].

== Przykłady ==
* Przedziały liczbowe:
** <math>(0,1)</math> – zbiór wszystkich [[Znak liczby|dodatnich]] liczb rzeczywistych mniejszych niż <math>1,</math>
** <math>[2,e)</math> – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych <math>2,</math> ale mniejszych niż <math>e,</math>
** przedział nieskończony <math>(\pi,\infty)</math> złożony z wszystkich liczb większych niż <math>\pi,</math>
** <math>(0,0),\ (7,7], \ [2,2)</math> – przedziały puste,
** <math>[4,4]</math> – przedział jednopunktowy <math>\{4\}.</math>

* Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: <math>(-5,5)_\mathbb Z</math> jest [[Zbiór skończony|zbiorem skończonym]] (jest to <math>\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}</math>), ale <math>(-5,5)_\mathbb Q</math> jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]] większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział <math>(a,b]</math> pomiędzy liczbami rzeczywistymi <math>a,b\in \mathbb R</math> oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. <math>(a,b]_\mathbb R,</math> podobnie dla innych przedziałów.

* Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb R^2</math> z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez <math>\langle x_1,y_1\rangle < \langle x_2,y_2\rangle \iff x_1\leqslant x_2</math> i <math>y_1\leqslant y_2,</math> gdzie relacja <math>\leqslant</math> jest naturalnym porządkiem na prostej <math>\mathbb R.</math> Wówczas przedział domknięty <math>\big[\langle 0,0\rangle,\langle1,1\rangle\big]_{\mathbb R^2}</math> jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w <math>\langle 0,0\rangle,\langle0,1\rangle,\langle 1,0\rangle,\langle1,1\rangle,</math> tzn. zbiorem <math>\left\{\langle x,y\rangle\in \mathbb R^2: 0\leqslant x \leqslant 1\ \land\ 0\leqslant y\leqslant 1\right\}.</math>

== Własności ==
[[Plik:Intervalo real 20.svg|mały|[[Suma zbiorów|Suma mnogościowa]] dwóch przedziałów może nie być przedziałem.]]
[[Plik:Intervalo real 22.svg|mały|Suma mnogościowa dwóch przedziałów może również być przedziałem; [[Warunek wystarczający|warunkiem wystarczającym]] na to jest, by miały niepusty [[Część wspólna|przekrój]]. Nie jest to jednak [[warunek konieczny]] – przedziały [[Znak liczby|liczb nieujemnych]] oraz ujemnych są rozłączne, jednak ich suma mnogościowa – cała oś rzeczywista – jest przedziałem.]]
[[Plik:Intervalo real 23.svg|mały|Przekrój (przecięcie) dwóch przedziałów zawsze jest przedziałem. Innymi słowy zbiór wszystkich przedziałów liczbowych z działaniem przekroju tworzy [[monoid]], gdzie [[Element neutralny|elementem neutralnym]] jest cała [[Liczby rzeczywiste|oś rzeczywista]]{{fakt|data=2023-08}}. Ten typ monoidów – gdzie każdy element jest [[Idempotentność|idempotentny]] – zalicza się do [[Pas (teoria półgrup)|pasów]].]]

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w [[porządek liniowy|porządkach liniowych]].

Niech <math>(X, \leqslant)</math> będzie porządkiem liniowym.
* [[Część wspólna]] dwóch przedziałów jest przedziałem.
* [[Dopełnienie zbioru|Dopełnienie]] przedziału jest albo przedziałem, albo [[Suma zbiorów|sumą]] dwóch przedziałów.
* Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
* [[Zbiór otwarty|Otwarte]] przedziały w <math>X</math> tworzą [[Baza przestrzeni topologicznej|bazę]] pewnej [[przestrzeń topologiczna|topologii]] na <math>X</math> – ta topologia nazywana jest ''topologią przedziałową na <math>X</math>'' albo ''topologią porządkową na <math>X</math>''.
* Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na <math>\mathbb R.</math> Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Każdy przedział liczbowy otwarty jest jednocześnie [[Zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] w sensie [[Topologia|topologii]]; podobnie przedziały domknięte należą do [[Zbiór domknięty|zbiorów domkniętych]]. [[Zbiór pusty]] oraz cała [[Oś liczbowa|oś rzeczywista]] można zaliczyć do przedziałów otwartych lub półotwartych i są one zbiorami [[Zbiór otwarto-domknięty|zbiorami otwarto-domkniętymi]]. Inne przedziały półotwarte nie są ani zbiorami otwartymi, ani domkniętymi{{fakt|data=2023-08}}. Przedziały liczbowe są tym samym, co [[Przestrzeń spójna|zbiory spójne]] na osi rzeczywistej.

== Rola ==
=== Matematyka ===
* Za pomocą przedziałów i działania [[Suma zbiorów|sumy zbiorów]] można opisać zbiory rozwiązań przynajmniej części [[Równanie|równań]] i nierówności liczbowych, a także dziedziny często używanych [[Funkcja|funkcji]] zmiennej rzeczywistej, np. tych [[Funkcje elementarne|elementarnych]]{{fakt|data=2023-08}};
* badanie [[Przebieg zmienności funkcji|przebiegu zmienności]] funkcji polega m.in. na wskazaniu przedziałów o określonym [[Znak liczby|znaku]] wartości oraz o określonej [[Funkcja monotoniczna|monotoniczności]] i [[Funkcja wypukła|wypukłości lub wklęsłości]];
* za pomocą przedziałów można zdefiniować pewne pojęcia [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]] jak [[własność Darboux]] czy [[całka Riemanna]];
* przedziały są też jednym z fundamentów [[Topologia|topologii]]; dostarczają podstawowych przykładów różnych typów zbiorów wyróżnianych przez tę naukę – [[Zbiór otwarty|otwartych]], [[Zbiór domknięty|domkniętych]], [[Zbiór otwarto-domknięty|otwarto-domkniętych]], [[Przestrzeń spójna|spójnych]], [[Obszar (matematyka)|obszarów]] i [[Continuum (topologia)|continuów]];
* zbiory przedziałów tworzą różne [[Algebra ogólna|struktury algebraiczne]], przykładowo z działaniem [[Część wspólna|przekroju zbiorów]], a w przypadku przedziałów liczbowych – z [[Dodawanie Minkowskiego|dodawaniem Minkowskiego]] i [[Iloczyn kompleksowy|iloczynem kompleksowym]];
* pojęcie przedziału pojawia się też w definicji [[Prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwa]] jako [[Miara (matematyka)|miary]] o wartościach w [[Przedział jednostkowy|przedziale jednostkowym]];
* [[analiza numeryczna]] celuje m.in. w znajdowanie przedziałów, w których znajdują się rozwiązania pewnych równań liczbowych;
* przedziały [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]] pojawiają się też w jednej z [[Aksjomaty i konstrukcje liczb|definicji konstrukcyjnych]] liczb rzeczywistych – przez [[Przekrój Dedekinda|przekroje Dedekinda]];

Za pomocą przedziałów liczbowych i [[Iloczyn kartezjański|iloczynu kartezjańskiego]] można zdefiniować [[prostokąt]], [[prostopadłościan]] i ich uogólnienia zwane [[Przedział wielowymiarowy|przedziałami wielowymiarowymi]]. W topologii rozważa się też ich odpowiedniki oparte na [[Nieskończoność|nieskończonych]] iloczynach kartezjańskich, znane jako [[Kostka Tichonowa|kostki Tichonowa]]. Inne odpowiedniki przedziałów w wyższych wymiarach to [[Koło|koła]] i [[Kula|kule]] – te ostatnie definiuje się w dowolnych [[Przestrzeń metryczna|przestrzeniach metrycznych]].

=== Inne nauki ===
[[Nauki empiryczne]] jak [[fizyka]], [[astronomia]] i [[geodezja]] posługują się przedziałami liczbowymi, ponieważ to one – a nie pojedyncze [[Liczba|liczby]] – są wynikami [[pomiar]]ów, zawsze ograniczonych [[Niepewność pomiaru|niepewnością]].

== Zobacz też ==
{{Wikisłownik|przedział}}
* [[otoczenie i sąsiedztwo]]
* [[zakres (programowanie)]]
* [[zbiór borelowski]]
* [[analiza przedziałowa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = Interval | tytuł = Interval }} [dostęp 2023-08-19].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Interval_and_segment Interval and segment]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-19].

{{Teoria porządku}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analiza rzeczywista]]
[[Kategoria:Porządki]]