Tekst źródłowy strony Promień spektralny

'''Promień spektralny''' elementu <math>a</math> [[algebra nad ciałem|algebry zespolonej]] [[pierścień z jedynką|z jedynką]] <math>A</math> – liczba nieujemna <math>\nu_A(a),</math> zdefiniowana wzorem
: <math>\nu_A(a) = \sup\{|z|\colon z\in\sigma_A(a)\},</math>

gdzie symbol <math>\sigma_A(a)</math> oznacza [[widmo (matematyka)|widmo]] elementu <math>a</math> w algebrze <math>A,</math> tzn. zbiór
: <math>\sigma_A(a)=\{z\in \mathbb{C}\colon ze_A-a\notin\mbox{GL}(A)\},</math>

przy czym <math>\mathrm{GL}(A)</math> oznacza [[pełna grupa liniowa|grupę elementów odwracalnych]] w algebrze <math>A</math> oraz <math>e_A</math> jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu <math>a</math> jest [[zbiór pusty|puste]], definiuje się
: <math>\nu_A(a)=0.</math>

Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki – w tym przypadku każdy element <math>a</math> algebry <math>A,</math> która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry <math>A^\#,</math> powstałej z <math>A</math> poprzez dołączenie jedynki.

== Podstawowe własności. Wzór Gelfanda ==
Niech <math>A</math> będzie zespoloną [[algebra Banacha|algebrą Banacha]] z jedynką oraz niech <math>a</math> będzie dowolnym elementem <math>A.</math> Wówczas
* widmo <math>\sigma_A(a)</math> jest niepustym, [[Przestrzeń zwarta|zwartym podzbiorem]] [[płaszczyzna zespolona|płaszczyzny zespolonej]]; w szczególności, jeżeli <math>a \neq 0,</math> to promień spektralny <math>\nu_A(a)</math> jest dodatni.
* dla każdej liczby naturalnej <math>k</math> oraz dla każdego <math>r>\nu_A(a)</math>
: <math>a^k = \frac{1}{2\pi i}\int_{\{|z|=r\}}\zeta^k(\zeta e_A-a)^{-1}d\zeta,</math>
* <math>\nu_A(a)= \inf\{\|a^n\|^{\frac{1}{n}}\colon\; n\in\mathbb{N}\}=\lim_{n\to\infty}\|a^n\|^{\frac{1}{n}}.</math>

Ostatni wzór powyżej nazywany jest ''wzorem Gelfanda''; został on nazwany na cześć [[Izrail Gelfand|Israela M. Gelfanda]], który udowodnił go w roku 1941<ref>I. M. Gelfand, [http://www.mathnet.ru/links/e1b403c6c06f31828b9ab6aab052ebdf/sm6046.pdf ''Normierte Ringe''], „Mat. Sb.” (N.S.) '''9''' (51) (1941), s. 3–24.</ref>. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że
: <math>\nu_A(a) = \max\{|z|\colon z\in\sigma_A(a)\}.</math>

Jeżeli <math>a</math> jest zespoloną [[Macierz|macierzą kwadratową]], to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród [[Wartość bezwzględna|modułów]] jej [[Wektory i wartości własne|wartości własnych]].

== Własności ==
[[Operator liniowy ograniczony|Operatory liniowe i ograniczone]] działające na ustalonej [[przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanej]] <math>E</math> tworzą [[algebra Banacha|algebrę unormowaną]] ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz [[norma operatorowa|normą operatorową]]. Poniżej <math>E</math> jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz <math>T, T_1, T_2\colon E \to E</math> są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.

* Jeżeli <math>\lambda</math> jest skalarem, to
: <math>\nu(\lambda T)=|\lambda |\nu(T).</math>
* Jeżeli <math>k</math> jest [[Liczby naturalne|liczbą naturalną]], to
: <math>\nu(T^k)=\nu(T)^k.</math>
* <math>\nu(T_1T_2)=\nu(T_2T_1),</math> jeżeli ponadto <math>T_1T_2=T_2T_1,</math> to
: <math>\nu(T_1T_2)\leqslant \nu(T_1)\nu(T_2),</math>
: <math>\nu(T_1+T_2)\leqslant \nu(T_1)+\nu(T_2).</math>
* Jeżeli <math>E</math> jest [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]] oraz <math>T</math> jest [[operator normalny|operatorem normalnym]], to
: <math>\nu(T)=\|T\|.</math>

=== Promień spektralny w ilorazowych C*-algebrach ===
Niech <math>A</math> będzie [[C*-algebra|C*-algebrą]] oraz nieh <math>I \subseteq A</math> będzie [[zbiór domknięty|domkniętym]] [[ideał (teoria pierścieni)|ideałem]] (dwustronnym} w <math>A</math>). Niech <math>\pi\colon A \to A / I</math> oznacza kanoniczne odwzorowanie ilorazowe, tj. <math>\pi(x) = [x] (x \in A).</math> Wówczas dla dowolnego <math>x \in A</math> oraz liczby naturalnej <math>k</math> zachodzą wzory
: <math>\|\pi(x^k)\| = \inf_{y\in I}\|(x+y)^k\|</math>

oraz
: <math>\nu\big(\pi(x)\big) = \inf_{y\in I}\nu(x+y).</math>

Jest to twierdzenie udowodnione przez [[Gert K. Pedersen|G.K. Pedersena]]<ref>G. K. Pedersen, [http://download.springer.com/static/pdf/176/art%253A10.1007%252FBF01214527.pdf?auth66=1364046014_3463126e63d65417b5239897847d84f2&ext=.pdf ''Spectral Formulas in Quotient C*-Algebras''], „Mathematische Zeitschrift” '''148''' (1976), s. 299–300.</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* H.G. Dales, ''Banach algebras and automatic continuity'', Clarendon Press, Oxford 2000, s. 78, 183, 193.

[[Kategoria:Algebry Banacha]]
[[Kategoria:Analiza spektralna]]