Tekst źródłowy strony Problem geometryczny Karola Borsuka

'''Problem geometryczny Karola Borsuka''' dotyczy dzielenia [[zbiór ograniczony|zbiorów ograniczonych]] w [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] na podzbiory o mniejszych [[średnica]]ch.

Nietrudno w przestrzeni euklidesowej [[Pokrycie zbioru|pokryć]] 3-wymiarową kulę czterema podzbiorami o średnicy mniejszej od średnicy kuli. Podobnie jest z kulą ''n''-wymiarową i <math>n+1</math> podzbiorami. W roku 1933 [[Karol Borsuk]] pokazał, że <math>n</math> podzbiorów nie wystarczy. Postawił zatem następujące pytanie ogólne, dotyczące dowolnych zbiorów w przestrzeni euklidesowej, a nie tylko kul<ref>[[Karol Borsuk]], ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20117.pdf Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre]'', „[[Fundamenta Mathematicae]]”, 20 (1933), s. 177–190.</ref>:
: ''Czy każdy zbiór o średnicy 1, w przestrzeni euklidesowej wymiaru n, można [[Rozbicie zbioru|rozbić]] na n+1 zbiorów o średnicach mniejszych od 1?''

(Borsuk pyta o <math>n+1</math> zbiorów, gdyż, jak sam pokazał na przykładzie kuli, <math>n</math> nie wystarczy).

W roku [[1945]] [[Hugo Hadwiger]] opublikował swój wynik o pozytywnej odpowiedzi w szczególnym wypadku ograniczonych [[Zbiór wypukły|zbiorów wypukłych]], których powierzchnia jest gładka (dopuszcza w każdym punkcie dokładnie jedną (''n''–1)-wymiarową płaszczyznę [[Styczna|styczną]]). W roku [[1971]] [[A.S. Riesling]] pokazał, że hipoteza Borsuka zachodzi dla zbiorów centralnie symetrycznych, a [[C. A. Rogers]], w tym samym roku, że dla każdego zbioru ograniczonego, który odwzorowywany jest w siebie przez symetrie ''n''-wymiarowego [[sympleks (matematyka)|sympleksu]] regularnego.

Pełną odpowiedź na pytanie Borsuka dla <math>n=3</math> uzyskał polski matematyk [[Julian Perkal]] w 1947<ref>[[Julian Perkal]], ''Sur la subdivision des ensembles en parties de diamètre inférieur'', Colloq. Math. 2 (1947), s. 45.</ref> i Anglik [[H.G. Eggelston]] w 1955<ref>H.G. Eggleston, ''Covering a three-dimensional set with sets of smaller diameter'', J. Lond. Math. Soc. 30 (1955), s. 11–24.</ref>. Prostsze rozwiązania dla <math>n=3</math> podali w [[1957]] pracujący w [[Stany Zjednoczone|USA]] izraelski geometra [[Branko Grünbaum]] i Węgier [[Aladár Heppes]]. Grünbaum dowolny przestrzenny zbiór o średnicy 1 zawarł w jedenastościanie, który otrzymuje się z foremnego ośmiościanu, o przeciwległych ścianach odległych o 1, poprzez ścięcie 3 „rogów” (stąd dodatkowe 3 kwadratowe ściany, w sumie <math>8+3=11</math> ścian). Teraz wystarczy podzielić jedenastościan. Cztery części na które można podzielić jedenastościan (a więc i dany zbiór) mają średnice nie przekraczające:
: <math>\frac {6129030-93749\sqrt{3}}{1518\sqrt{2}}\approx0{,}989,</math>

a więc mniejszą od jeden. Przypuszczenie, że średnice części dadzą się zmniejszyć do:
: <math>\frac {3+\sqrt{3}}{6}\approx0{,}788</math>

nie zostało potwierdzone.

J. Kahn i G. Kalai<ref>J. Kahn, G. Kalai, [http://arxiv.org/abs/math.MG/9307229 ''A counterexample to Borsuk’s conjecture''], „[[Bulletin of the American Mathematical Society]]” '''29''' (1993), s. 60–62.</ref> pokazali w 1993, że dla wszystkich, dostatecznie dużych <math>n</math> odpowiedź na pytanie Borsuka jest negatywna. W szczególności jest ona negatywna dla <math>n=1325</math> oraz dla wszystkich <math>n>2014.</math> Z kolei Hinrichs i Richter udowodnili w roku 2003, że odpowiedź jest negatywna już dla <math>n>297</math><ref>{{cytuj pismo |nazwisko=Hinrichs |imię=Aicke |nazwisko2=Richter |imię2=Christian |tytuł=New Sets with Large Borsuk Numbers |czasopismo=Disc. Math. |oznaczenie=270 |strony=137–147 |rok=2003 |wydawca=[[Elsevier]] |doi=10.1016/S0012-365X(02)00833-6 |język=en}}</ref>.

Wynik ten został poprawiony: w 2013 Andrej Bondarenko pokazał, że odpowiedź jest negatywna dla <math>n \geqslant 65</math><ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Bondarenko |imię = Andriy |tytuł = On Borsuk’s Conjecture for Two-Distance Sets |czasopismo = Discrete & Computational Geometry |strony = 509–515 |wolumin = 51 |numer = 3 |rok = 2014 |doi = 10.1007/s00454-014-9579-4 |arxiv = 1305.2584 |język = en}}</ref>, zaś Thomas Jenrich jeszcze obniżył ograniczenie do 64<ref>{{cytuj |autor = Thomas Jenrich |tytuł = A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture |data = 2013 |czasopismo = [[arXiv]] |arxiv = 1308.0206 |bibcode = 2013arXiv1308.0206J}}</ref><ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Jenrich |imię = Thomas |nazwisko2 = Brouwer |imię2 = Andries E. |tytuł = A 64-Dimensional Counterexample to Borsuk’s Conjecture |czasopismo = Electronic Journal of Combinatorics |strony = P4.29 |wolumin = 21 |numer = 4 |rok = 2014}}</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Geometria euklidesowa]]
[[Kategoria:Historia matematyki]]
[[Kategoria:Problemy geometryczne]]