Tekst źródłowy strony Poziomy rozumienia pojęć matematycznych

'''Poziomy rozumienia pojęć matematycznych''' – koncepcja stworzona przez [[Zygfryd Dyrszlag|Zygfryda Dyrszlaga]] w 1972 roku, umożliwiająca kontrolę tego, w jakim stopniu ''rozumie się'' dane pojęcie matematyczne<ref name="Sajka43" /><ref name="Dyr1972" /><ref name="Dyr1974" /><ref name="graniczne" />. Zdaniem [[Zofia Krygowska|Anny Zofii Krygowskiej]] „''rozumienie przez uczniów pojęć matematycznych (...) to jeden z najważniejszych celów nauczania matematyki''”<ref name="Kryg79" />.

Dyrszlag przedstawił cztery poziomy rozumienia pojęcia matematycznego, od najbardziej elementarnych po najwyższy poziom rozumienia:
# '''poziom rozumienia definicyjnego''',
# '''poziom lokalnej komplikacji''',
# '''poziom uogólnienia''',
# '''poziom rozumienia strukturalnego'''<ref name="Dyr1972" /><ref name="Dyr1974" /><ref name="graniczne" /><ref name="dydaktyka" />.

Dyrszlag przedstawił również listę pytań i poleceń, jakie można zadawać w celu kontroli poziomu rozumienia pojęć matematycznych, jak np.: ''co jeśli...?'', ''rozwiąż na kilka sposobów...'', ''rozwiąż szybszym sposobem...'', ''co jest szczególnym przypadkiem...?'', ''co jest uogólnieniem...?'', ''co jest nie tak z...?'', ''czy to zawsze/czasem/nigdy...?'', ''czy ... jest przykładem...?'', ''opisz/opowiedz/narysuj/znajdź/rozwiąż/pokaż/zademonstruj/wykaż...'', ''co można/trzeba dodać do tej definicji / usunąć z tej definicji?''<ref name="pytania" />.

[[Dydaktyka matematyki|Dydaktycy matematyki]] uważają, że nauczyciele matematyki powinni znać poziomy rozumienia pojęć matematycznych autorstwa Zygfryda Dyrszlaga, ponieważ oprócz możliwości kontroli rozumienia pojęć matematycznych u [[Uczeń|uczniów]], zrozumienie natury tych czterech poziomów może stanowić źródło wielu pomysłów w pracy nad utrwalaniem trudnego materiału<ref name="dydaktyka" />.

== Poziomy rozumienia pojęć matematycznych ==
=== Poziom rozumienia definicyjnego ===
Poziom definicyjnego rozumienia pojęcia jest najniższym poziomem rozumienia pojęć matematycznych, traktowanym przez Dyrszlaga jako niezbędne minimum<ref name="Sajka43" /><ref name="Dyr1972" />. Zazwyczaj jest pierwszym poziomem rozumienia w procesie poznawania danego pojęcia matematycznego<ref name="Sajka43" />. Ten poziom często sprowadza się do formalnego manipulowania symbolami lub podawaniu z pamięci [[Twierdzenie|twierdzeń]], definicji i przykładów, bez głębszego ich zrozumienia<ref name="SJ" />. Poziom ten przede wszystkim wymaga umiejętności posługiwania się poznaną [[Formalizm (matematyka)|formalną]] definicją, co może wymagać pokonania konfliktu intuicyjno-formalnego, tzn. sprzeczności między formalną definicją, a tym, co intuicyjnie uczeń sądził na temat danego pojęcia przed poznaniem jego precyzyjnej definicji<ref name="graniczne" />.

Osoba rozumie dane pojęcie matematyczne na ''poziomie definicyjnym'', gdy spełnia wszystkie poniższe warunki<ref name="Sajka43" />:
* potrafi podać formalną definicję pojęcia oraz wyszczególnić istotne elementy tejże definicji<ref name="Sajka43" /><ref name="graniczne" />;
* spośród podanych przykładów potrafi wskazać, które z nich spełniają warunki definicji, a które nie<ref name="Sajka43" /><ref name="graniczne" />;
* potrafi samodzielnie podać (lub przynajmniej określić sposób konstrukcji) własne desygnaty pojęcia<ref name="Sajka43" /><ref name="graniczne" />;
* potrafi samodzielnie podać (lub przynajmniej określić sposób konstrukcji) własne ''nie-przykłady''<ref group="uwaga">W pracach niektórych dydaktyków (w tym również u samego Dyrszlaga) można spotkać się ze słowem ''kontrprzykład'', zamiast ''nie-przykład''. Jednak używane w tamtych kontekstach słowo ''kontrprzykład'' nie jest tym samym co ''kontrprzykład'' w matematyce. W celu uniknięcia nazywania tym samym słowem dwóch zupełnie różnych pojęć niektórzy dydaktycy (np. Sajka) do używania tego przypadku używają słowa ''nie-przykład''.</ref>, tzn. przykłady, które nie są desygnatami pojęcia<ref name="Sajka43" /><ref name="graniczne" />.

=== Poziom lokalnej komplikacji ===
Poziom lokalnej komplikacji stanowi rozszerzenie poziomu definicyjnego o umiejętność wskazywania bardziej specyficznych desygnatów i ''nie-przykładów'', jak np. przypadki graniczne<ref name="Dyr1972" /><ref name="Sajka43-44" />. Poziom ten sprawdza poprawność transferu struktury formalnej pojęcia na grunt abstrakcyjny<ref name="graniczne" />. Na tym poziomie dane pojęcie przestaje być w pełni wyizolowane od innych pojęć matematycznych, osoba rozumująca na poziomie lokalnej komplikacji jest w stanie dostrzegać pewne nadrzędne i podrzędne pojęcia oraz [[uogólnianie matematyczne#Uogólnianie a abstrahowanie|abstrahować]] pewne cechy tego pojęcia<ref name="Sajka43-44" />.

Osoba rozumie dane pojęcie matematyczne na ''poziomie lokalnej komplikacji'', gdy spełnia wszystkie poniższe warunki<ref name="Sajka43-44" />:
* potrafi samodzielnie podać własne desygnaty pojęcia, przy narzuconych dodatkowych założeniach<ref name="Dyr1972" /><ref name="graniczne" /><ref name="Sajka43-44" />;
* potrafi samodzielnie podać własne ''nie-przykłady'' pojęcia, przy narzuconych dodatkowych założeniach<ref name="Dyr1972" /><ref name="graniczne" /><ref name="Sajka43-44" />;
* potrafi rozstrzygać, czy podany przypadek graniczny stanowi desygnat danego pojęcia, czy nie<ref name="Dyr1972" /><ref name="Sajka43-44" />.

=== Poziom uogólnienia ===
Poziom uogólnienia jest zdecydowanie wyższym poziomem rozumienia od poziomu definicyjnego oraz lokalnej komplikacji<ref name="Sajka44" />. Na tym poziomie następuje przejście od konkretu do ogółu, co umożliwia np. [[Dowód (matematyka)|dowodzenie twierdzeń]] związanych z danym pojęciem<ref name="SJ" /><ref name="Sajka44" />.

Osoba rozumie dane pojęcie matematyczne na ''poziomie uogólnienia'', gdy spełnia wszystkie poniższe warunki<ref name="Sajka44" />:
* potrafi określić stosunki zachodzące między danym pojęciem a pojęciami pokrewnymi<ref name="Dyr1972" /><ref name="graniczne" /><ref name="Sajka44" />;
* potrafi wskazać pojęcia nadrzędne (pominięcie pewnych cech danego pojęcia) i podrzędne (zawężenie pewnych cech danego pojęcia)<ref name="Dyr1972" /><ref name="Sajka44" />;
* potrafi dokonać takiej klasyfikacji pojęcia nadrzędnego, w której jedną z klas jest dane pojęcie<ref name="graniczne" /><ref name="Sajka44" />;
* potrafi rozwiązywać skomplikowane zadania w różnych formach zapisu oraz w zadaniach tych skupiać się wyłącznie na istotnych cechach danego pojęcia, ignorując niepotrzebne cechy<ref name="Dyr1972" /><ref name="Sajka44" />;
* potrafi bez wahania natychmiast reagować na błędne stwierdzenia dotyczące danego pojęcia<ref name="graniczne" /><ref name="Sajka44" />.

=== Poziom rozumienia strukturalnego ===
Poziom rozumienia strukturalnego jest najwyższym możliwym poziomem rozumienia pojęcia matematycznego<ref name="Sajka44-45" />. Ten poziom polega na dostrzeżeniu szerokiej, ogólnej struktury zawierającej rozmaite [[Matematyzacja|modele matematyczne]] danego pojęcia<ref name="graniczne" /><ref name="SJ" /><ref name="Sajka44-45" />.

Osoba rozumie dane pojęcie na ''poziomie strukturalnym'', gdy potrafi samodzielnie i spontanicznie dostrzegać wspólne struktury różnych modeli matematycznych danego pojęcia<ref name="graniczne" /><ref name="SJ" /><ref name="Sajka44-45" /> oraz dostrzega analogie między danym pojęciem a innymi pojęciami<ref name="Dyr1972" /><ref name="graniczne" />.

Na poziomie szkolnym rozumienie pojęć matematycznych na poziomie strukturalnym jest praktycznie niemożliwe – realizowane jest dopiero na poziomie matematyki wyższej<ref name="Dyr1972" /><ref name="Dyr1974" /><ref name="Sajka44-45" /><ref name="Sajka48" />.

== Przykłady ==
=== Poziomy rozumienia pojęcia funkcji ===
# Uczeń/student rozumie, czym jest ''funkcja'', na '''poziomie definicyjnym''', gdy m.in.:
#* podaje z pamięci definicję funkcji: w postaci słownej, [[czynnościowe nauczanie matematyki|czynnościowej]] oraz [[Lista symboli matematycznych|symbolicznej]]<ref name="Sajka46" />;
#* wyróżnia dwa główne warunki definicyjne, tzn.: ''każdemu'' elementowi [[Dziedzina (matematyka)|dziedziny]] przyporządkowany jest ''dokładnie jeden'' element [[Przeciwdziedzina|przeciwdziedziny]]<ref name="Sajka46" />;
#* spośród kilku definicji wskazuje te, które są definicjami funkcji, oraz te, które nie są<ref name="Sajka46" />;
#* wymyśla równoważne definicje funkcji<ref name="Sajka46" />;
#* podaje warunki, jakie muszą być spełnione, by relacja nie była funkcją (zaprzeczenie definicji)<ref name="Sajka46" />;
#* podaje przykłady i ''nie-przykłady'' funkcji<ref name="Sajka46" />.
# Uczeń/student rozumie, czym jest ''funkcja'' na '''poziomie lokalnej komplikacji''', gdy m.in.:
#* podaje przykłady funkcji spełniających jakieś dodatkowe założenia, np.:
#** przykład [[Funkcja ciągła|funkcji ciągłej]] na dziedzinie, która nie jest [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalna]];
#** przykład [[Funkcja monotoniczna|funkcji rosnącej]] o wartościach [[Liczby ujemne|ujemnych]]<ref name="Sajka47" />.
#* rozróżnia desygnaty pojęcia w przypadkach granicznych, np.:
#**''Czy pojedynczy punkt w układzie współrzędnych może stanowić [[wykres funkcji]]?'';
#** ''Czy istnieje funkcja, której dziedziną jest [[zbiór pusty]]?'';
#** ''Czy istnieje funkcja, której dziedzina jest niepusta, a przeciwdziedzina jest zbiorem pustym?''<ref name="Sajka47" />.
#* dokonuje takich zmian w przykładzie funkcji, by stał się ''nie-przykładem''<ref name="Sajka47" />;
#* rozwiązuje zadania, wymagające dobrej znajomości definicji funkcji, np.:
#**''Czy istnieje funkcja <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> taka, że <math>\forall_{x\in\mathbb{R}}\ f(x+1)-f(x+3)=0,</math> która nie jest [[Funkcja liniowa|liniowa]], ale jest ciągła na dziedzinie?''<ref name="Sajka112" />.
# Uczeń/student rozumie, czym jest ''funkcja'' na '''poziomie uogólnienia''', gdy m.in.:
#* podaje pojęcia nadrzędne:
#** do pojęcia funkcji (np. [[przyporządkowanie]], [[Relacja (matematyka)|relacja]], [[Iloczyn kartezjański|iloczyn kartezjański zbiorów]]);
#** do klas funkcji (np. [[Funkcja wielomianowa|funkcje wielomianowe]] jako nadrzędne do [[Funkcja kwadratowa|funkcji kwadratowej]])<ref name="Sajka47-48" />.
#* podaje pojęcia podrzędne do pojęcia funkcji (np. [[ciąg (matematyka)|ciągi liczbowe]])<ref name="Sajka47-48" />;
#* dostrzega cechy wspólne i cechy różniące dla desygnatów różnych pojęć (np. dostrzega, że nie każda [[prosta]] w [[Układ współrzędnych|układzie współrzędnych]] jest wykresem funkcji jednej zmiennej)<ref name="Sajka47-48" />;
#* potrafi dokonywać uogólnień, np. rozwiązuje zadanie:
#:: ''Co możesz powiedzieć o klasie wszystkich funkcji określonych na zbiorze liczb całkowitych, spełniających dla każdego argumentu warunek <math>f(x+1)-f(x+3)=0</math>?''<ref name="Sajka112" />.
#* przeprowadza proste dowody matematyczne, np.:
#**''Udowodnij, że złożenie funkcji rosnących jest funkcją rosnącą'';
#** ''Niech <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}.</math> Udowodnij, że jeśli <math>\forall_{x\in\mathbb{R}}\ f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)},</math> gdzie <math>a\neq0</math> jest ustaloną liczbą, to funkcja <math>f</math> jest [[Funkcja okresowa|funkcją okresową]]''<ref name="Sajka47-48" />.
# Uczeń/student rozumie, czym jest ''funkcja'', na '''poziomie strukturalnym''', gdy m.in.:
#* dostrzega analogie w pozornie niezwiązanych ze sobą zadaniach, np. w różnych zadaniach optymalizacyjnych o analogicznych rozwiązaniach<ref name="Sajka48" />;
#* dostrzega analogie między różnymi klasami, np. między ciągiem a funkcją lub między [[Ciąg arytmetyczny|ciągiem arytmetycznym]] a [[Ciąg geometryczny|geometrycznym]]<ref name="Sajka48" />;
#* dostrzega analogie między modelami, np.
#** dostrzega analogie w notacji i języku między [[Funkcja rzeczywista|funkcjami rzeczywistymi]] a [[Macierz|macierzami]];
#** potrafi udowodnić, że zbiór [[Izometria|izometrii]] własnych trójkąta równobocznego z działaniem składania tworzy [[Grupa (matematyka)|grupę]];
#** potrafi udowodnić, że zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale domkniętym o wartościach rzeczywistych z działaniem zwykłego dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez liczbę, jest [[Przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]]<ref name="Sajka48" />.

== Uwagi ==
{{uwagi}}

== Przypisy ==
{{przypisy|
<ref name="Sajka43">Mirosława Sajka, ''Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, {{ISBN|978-83-8084-104-8}}, s. 43.</ref>
<ref name="Sajka43-44">Mirosława Sajka, ''Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, {{ISBN|978-83-8084-104-8}}, s. 43–44.</ref>
<ref name="Sajka44">Mirosława Sajka, ''Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, {{ISBN|978-83-8084-104-8}}, s. 44.</ref>
<ref name="Sajka44-45">Mirosława Sajka, ''Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, {{ISBN|978-83-8084-104-8}}, s. 44–45.</ref>
<ref name="Sajka46">Mirosława Sajka, ''Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, {{ISBN|978-83-8084-104-8}}, s. 46.</ref>
<ref name="Sajka47">Mirosława Sajka, ''Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, {{ISBN|978-83-8084-104-8}}, s. 47.</ref>
<ref name="Sajka47-48">Mirosława Sajka, ''Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, {{ISBN|978-83-8084-104-8}}, s. 47–48.</ref>
<ref name="Sajka48">Mirosława Sajka, ''Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, {{ISBN|978-83-8084-104-8}}, s. 48.</ref>
<ref name="Sajka112">Mirosława Sajka, ''Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, {{ISBN|978-83-8084-104-8}}, s. 112.</ref>
<ref name="Dyr1972">Zygfryd Dyrszlag, ''O poziomach rozumienia pojęć matematycznych (na przykładzie pojęcia liczb bliźniaczych)'', Zeszyty Naukowe WSP w Opolu, Opole 1972.</ref>
<ref name="Dyr1974">Zygfryd Dyrszlag, ''Kontrola rozumienia pojęć matematycznych w procesie dydaktycznym'', Zeszyty Naukowe WSP w Opolu, Opole 1974.</ref>
<ref name="pytania">John Mason, ''Asking mathematical questions mathematically'', International Journal of Mathematical Education, 31(1), 1998.</ref>
<ref name="SJ">Sebastian Janczy, ''Kontrola rozumienia pojęcia granicy ciągu z wykorzystaniem platformy e-learningowej Moodle'', Akademia Pedagogiczna, Kraków 2008.</ref>
<ref name="Kryg79">[[Zofia Krygowska]], ''Zarys dydaktyki matematyki'', tom III, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1977, s. 79.</ref>
<ref name="graniczne">Michał Krówczyński, [[Anna Żeromska]], ''Obiekty graniczne definicji matematycznych niezgodne z intuicyjnym obrazem na przykładzie ekstremum lokalnego funkcji'', Prace monograficzne z dydaktyki matematyki: współczesne problemy nauczania matematyki, 2008, s. 131.</ref>
<ref name="dydaktyka">Wanda Nowak, ''Konwersatorium z dydaktyki matematyki'', PWN, Warszawa 1989, {{ISBN|83-01-08536-3}}, s. 273–274.</ref>
}}

[[Kategoria:Dydaktyka matematyki]]
[[Kategoria:Hasła rozbudowane w ramach akcji Wikipedia na zastępstwie]]