Tekst źródłowy strony Powinowactwo prostokątne

'''Powinowactwo prostokątne''' – rodzaj [[Powinowactwo osiowe|powinowactwa osiowego]] na płaszczyźnie.

== Definicja ==
'''Powinowactwo prostokątne''' <math>f</math> o osi <math>k</math> jest to takie [[powinowactwo osiowe]] na płaszczyźnie, w którym prosta <math>k</math> jest prostą punktów stałych tego przekształcenia, a wektor powinowactwa jest prostopadły do osi.<br>
[[Wektor]] powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi <math>k{:}</math> dowolny punkt <math>A</math> i jego obraz punkt <math>A'.</math><br>
Stosunek powinowactwa jest to liczba <math>s</math> spełniająca warunek: <math>\vec{A_P'A'}=s\cdot\vec{A_PA},</math> gdzie punkty <math>A_P</math> i <math>A'_P</math> są rzutami prostokątnymi punktu <math>A</math> i jego obrazu <math>A'</math> na oś <math>k.</math><br>
Powinowactwo prostokątne można opisać w prostokątnym układzie współrzędnych wzorem  analitycznym<ref>{{Cytuj książkę | autor = P.S. Modienow, A.S. Parchomienko | tytuł = Przekształcenia geometryczne | strony = 96 | miejsce = Warszawa | rok = 1967 | wydawca = Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych}}</ref>:<br>
<math>\begin{cases}x' = x\\
y' = sy\end{cases}</math>

== Własności ==
* Dla dowolnych punktów <math>A</math> i <math>B</math> niebędących [[Punkt stały|punktami stałymi]] powinowactwa prostokątnego <math>f</math> proste <math>Af(A)</math> i <math>Bf(B)</math> są równoległe.
* Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy <math>(A=A'),</math> to powinowactwo prostokątne staje się przekształceniem tożsamościowym.
* Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie prostokątnym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa <math>k.</math>
* Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa prostokątnego nietożsamościowego jest oś powinowactwa <math>k</math> i wszystkie proste prostopadłe do osi powinowactwa.
* Powinowactwo prostokątne jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa <math>k</math> i wektor powinowactwa prostopadły do osi.
* Powinowactwo prostokątne jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa <math>k,</math> oraz stosunek powinowactwa <math>s.</math>
* [[Symetria osiowa]] jest powinowactwem prostokątnym, w którym środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa.

== Niezmienniki ==
* stosunek długości równoległych odcinków
* stosunek podziału wektora
* stosunek pól figur

== Fakty ==
Można udowodnić, że każde [[przekształcenie afiniczne]] daje się przedstawić jako [[Złożenie funkcji|złożenie]] pewnego '''powinowactwa prostokątnego''' i pewnego [[Podobieństwo|podobieństwa]]{{odn|Bednarczuk|1978|s=51}}.

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem prostokątnym lub złożeniem dwóch albo trzech powinowactw prostokątnych. Z tego wynika, że powinowactwa prostokątne generują grupę przekształceń afinicznych.

== Zobacz też ==
* [[grupa (matematyka)|grupa]]
* [[powinowactwo osiowe]]
* [[symetria osiowa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bednarczuk |imię = Jerzy |tytuł = Urok przekształceń afinicznych |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne |miejsce = Warszawa |rok = 1978 |odn = tak}}

[[Kategoria:Przekształcenia geometryczne]]