Tekst źródłowy strony Potęgowanie

[[Plik:Exponentials.svg|mały|Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie [[10]], kolorem czerwonym przy podstawie [[Podstawa logarytmu naturalnego|logarytmu naturalnego]], a niebieskim przy podstawie 1,7]]
'''Potęgowanie''' – typ [[Funkcja|funkcji]] dwóch [[Zmienna (matematyka)|zmiennych]], różnie definiowanych w różnych kontekstach; w najprostszych przypadkach – kiedy drugim [[Argument funkcji|argumentem]] tej funkcji jest [[Liczby naturalne|liczba naturalna]] – potęgowanie to wielokrotne [[mnożenie]] elementu przez siebie<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3961045 | tytuł = potęga | data dostępu = 2023-09-01 }}</ref>. Podstawowe pojęcia związane z tą operacją to:
* '''podstawa potęgi''' – potęgowany element;
* '''wykładnik''' – drugi argument, w najprostszym przypadku równy liczbie czynników w mnożeniu;
* '''potęga elementu''' – wynik potęgowania;
* '''[[Kwadrat (algebra)|kwadrat]]''' – druga potęga;
* '''[[Sześcian (algebra)|sześcian]]''' – trzecia potęga.

Potęgę zwykle zapisuje się, pisząc wykładnik po prawej stronie podstawy w [[Indeks górny|indeksie górnym]]{{u|Kartezjusz}}; przykładowo jeśli podstawą jest liczba 3, a wykładnikiem – liczba 4, to pisze się:
: <math>3^4 := 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81</math>.

Nazwy drugiej i trzeciej potęgi nawiązują do [[Geometria|geometrii]], gdyż [[pole powierzchni]] [[kwadrat]]u o boku długości <math>a</math> wynosi <math>a^2</math>, a [[objętość]] [[Sześcian (geometria)|sześcianu]] o tym samym boku jest równa <math>a^3</math>.

[[Dziedzina (matematyka)|Dziedziną]] potęgowania mogą być rozmaite [[Zbiór|zbiory]] oraz inne [[Klasa (matematyka)|klasy]]:
* podstawą potęgi może być element dowolnej klasy, w której określono mnożenie: [[Liczby rzeczywiste|liczba rzeczywista]], jej uogólnienie jak [[Liczby zespolone|liczba zespolona]] lub [[Liczby hiperzespolone|hiperzespolona]], [[Moc zbioru|liczba kardynalna]], [[Liczby porządkowe|porządkowa]] czy [[funkcja]] o wartościach w podanych zbiorach. W podstawie może się też znajdować [[Macierz|macierz kwadratowa]] lub dowolny zbiór, ponieważ pewne działania na tych obiektach – niezwiązane wprost z [[Arytmetyka|arytmetyką]] – nazywa się odpowiednio [[Mnożenie macierzy|mnożeniem macierzy]] oraz [[Iloczyn kartezjański|iloczynem kartezjańskim]];
* wykładniki potęgi są już bardziej ograniczone; zawsze może nim być dodatnia [[Liczby naturalne|liczba naturalna]], a przy pewnych podstawach mogą nimi być także dowolne liczby rzeczywiste, [[liczby zespolone]] oraz kardynalne. W wykładniku może też pojawić się macierz kwadratowa (por. [[eksponenta macierzy]]) lub dowolny zbiór.

Jeśli klasy obu argumentów pokrywają się, to potęgowanie może być ściśle rozumianym [[Działanie dwuargumentowe|działaniem dwuargumentowym]], np. na zbiorze dodatnich liczb naturalnych. W tym ostatnim wypadku potęgowanie bywa uznawane za piąte działanie arytmetyczne i włączane w zakres [[Arytmetyka elementarna|arytmetyki elementarnej]]{{fakt|data=2023-07}}.

Za pomocą potęgowania definiuje się inne funkcje jak [[pierwiastkowanie]], [[logarytm]]y, [[wielomian]]y, [[tetracja]] i inne działania, które opisuje [[notacja strzałkowa]]. Między innymi przez to potęgowanie jest używane w różnych działach matematyki jak [[teoria liczb]], [[kombinatoryka]], [[algebra]], geometria – zwłaszcza [[Geometria analityczna|analityczna]] i [[Geometria algebraiczna|algebraiczna]] – oraz [[Analiza matematyczna|analiza]] i [[teoria mnogości]].

== Etymologia ==
{{Dopracować|sekcja=1|źródła=2024-03|tłumaczenie=2024-03}}
Termin „''wykładnik''” (ang. ''exponent'') wywodzi się z łacińskiego „''exponentem''”, czasownika w formie imiesłowu teraźniejszego, od „''exponere''”, co oznacza „''wystawiać''”. Termin „''potęga''” (łac. potentia, potestas, dignitas. ang. ''power'') to błędne tłumaczenie starogreckiego słowa δύναμις (dúnamis, tutaj: „wzmacnianie”), używanego przez greckiego matematyka [[Euklides]]a do kwadratu linii, naśladując [[Hipokrates z Chios|Hipokratesa z Chios]]{{fakt|data=2023-11}}.

== Definicje dla różnych przypadków ==
=== Wykładnik naturalny ===
Niech <math>a\in \mathbb R</math> oraz <math>n\in \mathbb N</math>. Potęgę <math>a^n</math> definiuje się jako pomnożenie n takich samych elementów <math>a</math> przez siebie, czyli<ref name=cke>{{Cytuj |url = https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf |tytuł = Wybrane wzory matematyczne |miejsce = Warszawa |data = 2015 |wydawca = Centralna Komisja Egzaminacyjna |isbn = 978-83-940902-1-0 |s = 1}}</ref>
: <math>a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_n</math>

i czyta się go „<math>a</math> podniesione do <math>n</math>-tej potęgi”, „<math>a</math> do <math>n</math>-tej potęgi” lub nawet „<math>a</math> do <math>n</math>-tej”. W szczególności
: {{wzór|<math>a^1 = a</math>.|1}}

Dodatkowo przyjmuje się
: {{wzór|<math>a^0 = 1</math>.|3}}

Z definicji potęgi wynika, iż <math>0^n = 0</math> oraz <math>1^n = 1</math> dla dowolnego <math>n \in \mathbb N_+</math>.

Z definicji wynika też <math>0^0=1</math>, chociaż w niektórych działach matematyki wyrażenie <math>0^0</math> jest traktowane jako niejednoznaczne (patrz [[#Zero do potęgi zerowej|oddzielna sekcja]]).

Potęgę naturalną można zdefiniować indukcyjnie
: <math>a^n=\begin{cases}
1 & \mbox{ dla }n=0 \\[2pt]
a^{n-1} \cdot a & \mbox{ dla }n\geqslant1
\end{cases}</math>

Definicję tę można wprowadzić w dowolnym [[monoid]]zie z [[mnożenie]]m <math>\cdot</math>; może to być mnożenie [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] czy [[liczby zespolone|zespolonych]], może to być [[złożenie funkcji|składanie]] funkcji określonych na zbiorze.

Dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb N</math> zachodzą własności:
<ul>
<li>{{wzór|<math>a^{m + n} = a^m \cdot a^n</math>|2|odstęp=0}}
Dowód:<br />
<math>a^m \cdot a^n =
\overbrace{
    \underbrace{ a \cdot a \cdots a }_m \cdot
    \underbrace{ a \cdot a \cdots a }_n
}^{m + n}</math>
</li>
<li><math>(a^m)^n=a^{m \cdot n}</math><br />
Dowód:<br />
<math>(a^m)^n =
\overbrace{
    \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdot
    \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdots
    \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m
}^n</math><br />
<math>a</math> jest tu powtórzone <math>m \cdot n</math> krotnie.
</li>
</ul>
Ponadto dla [[Grupa przemienna|grupy przemiennej]]:
<ul>
<li><math>(a\cdot b)^m = a^m\cdot b^m</math><br />
Dowód:<br />
<math>(a \cdot b)^m =
\underbrace{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b) }_m =
\underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdot \underbrace{ b \cdot b\cdots b }_m =
a^m \cdot b^m</math><br />
Jest tak, ponieważ gdy zamienimy mnożone liczby miejscami, to wynik się nie zmieni.
</li>
</ul>

=== Wykładnik całkowity ===
Niech <math>a\in \mathbb R, a\ne 0</math>. Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki całkowite:

niech <math>n \in \mathbb Z</math>, wówczas
: <math>a^n=\begin{cases}
a^n & \mbox{ dla }n\geqslant 0 \\[2pt]
\frac{1}{a^{-n}} & \mbox{ dla }n<0
\end{cases}</math>

Z definicji wynika, że dla <math>n \in \mathbb N</math> zachodzi:<ref name=cke />
: <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math>

w szczególności
: <math>a^{-1} = \frac{1}{a}</math>.

Definicję można wprowadzić w dowolnej [[Grupa (matematyka)|grupie]], tzn. od elementu <math>a</math> wymaga się, aby był [[element odwracalny|elementem odwracalnym]].

Dla <math>m, n \in \mathbb Z</math> zachodzą własności:
: <math>a^{m + n} = a^m \cdot a^n</math>,
: {{wzór|<math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}</math>.|4}}

Ponadto dla grupy przemiennej
: <math>(a\cdot b)^m = a^m\cdot b^m</math>,
: <math>\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m},\qquad{}</math> gdzie <math>\frac{x}{y}</math> oznacza zdefiniowane w grupie dzielenie <math>x\cdot y^{-1}</math>.

=== Wykładnik wymierny ===
Niech <math>a\in \mathbb R, a> 0</math>. Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki wymierne.
Niech <math>w\in \mathbb Q</math> oraz <math>w=\frac{m}{n},\; m \in \mathbb Z, n\in \mathbb N_+</math> i przyjmując <math>\sqrt[1]{a}=a</math>:
: {{wzór|<math>a^w=a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}</math>|6}}

Dowód:

<math>(\sqrt[n]{a^m})^n = a^m</math> ponieważ <math>\sqrt[n]{a^m}</math> to liczba która z definicji podniesiona do n-tej daje <math>a^m</math>. Natomiast <math>a(^\frac{m}{n})^n = a^m</math> (patrz początek artykułu o potędze naturalnej: wynika z tego, że lewe strony obu równań są sobie równe, ponieważ podniesione do tej samej potęgi muszą dawać taki sam wynik).

W szczególności
: <math>a^{\frac{1}{n}} =\sqrt[n]{a}</math>

W powyższych definicjach <math>\sqrt[n]{c}</math> oznacza arytmetyczny [[pierwiastkowanie|pierwiastek]] z liczby dodatniej <math>c</math>. Definicja jest poprawna i jednoznacznie określa potęgę, bowiem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste dodatnie równania <math>x^n=c</math>.

Dla <math>m, n \in \mathbb Q,\; a,b>0</math> zachodzą własności:
: <math>a^{m + n} = a^m \cdot a^n</math>,
: <math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}</math>,
: <math>(a\cdot b)^m = a^m\cdot b^m</math>,
: <math>\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}</math>.

=== Wykładnik rzeczywisty ===
Dla wykładników wymiernych potęgowanie można było traktować (o ile było wykonalne) jako złożenie potęgowania naturalnego (wielokrotne mnożenie), potęgi o wykładniku -1 (odwracania elementu) i odwrotności potęgi (pierwiastkowania). Definicja potęgowania dodatniej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym jest nieco bardziej zawiła, gdyż liczba niewymierna nie może być uzyskana tą drogą.

Wystarczy jednak w niej uwzględnić, iż [[liczby rzeczywiste]] są możliwe do uzyskania jako [[granica ciągu|granice ciągów]] [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] (tzw. [[Ciąg Cauchy’ego|ciągi Cauchy’ego]]). Na podstawie powyższych rozważań zdefiniowana jest potęga <math>x^y</math> dla nieujemnych <math>x \in \mathbb R,</math> oraz <math>y \in \mathbb Q.</math> Jeżeli <math>y</math> jest [[liczby niewymierne|liczbą niewymierną]], tzn. <math>y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q,</math> to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych <math>y_1, y_2, \dots</math> o [[granica ciągu|granicy]] w <math>y</math> i przyjąć
: <math>x^y = \lim_{n \to \infty}~x^{y_n}.</math>

Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1–6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako
: <math>x^y = \sup \{x^p\colon p < y \mbox{ i } p \in \mathbb Q\}.</math>

W obu przypadkach korzysta się z [[Funkcja ciągła|ciągłości]].

=== Funkcja wykładnicza ===
{{osobny artykuł|funkcja wykładnicza}}

Jeżeli <math>a > 0,</math> to [[Układ równań|układ]] [[Równanie funkcyjne|równań funkcyjnych]] (por. {{LinkWzór|1}} i {{LinkWzór|2}}):
: <math>\begin{cases} f_a(x + y) = f_a(x) \cdot f_a(y) \\ f_a(1) = a \end{cases}</math>

definiuje jedyną (wszędzie) [[funkcja ciągła|ciągłą]]{{u|les}} [[funkcja|funkcję]] <math>f_a\colon \mathbb R \to \mathbb R,</math> gdzie <math>a \in \mathbb R,</math> dla której zachodzi
: <math>f_a(x) = a^x.</math>

Funkcję <math>f_a</math> nazywa się '''funkcją wykładniczą''' o podstawie <math>a.</math> Z powodu dogodnych własności liczby <math>e</math> ([[podstawa logarytmu naturalnego|podstawy logarytmu naturalnego]]) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocą [[logarytm naturalny|logarytmu naturalnego]], definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np. [[macierz|macierze kwadratowe]], zob. [[#Macierze|dalej]]). Funkcja ([[funkcje elementarne|elementarna]]) <math>\exp</math> może być zadana za pomocą [[szereg potęgowy|szeregu potęgowego]]
: <math>\exp(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!},</math>

który jest zbieżny dla dowolnego <math>x \in \mathbb R</math> (a nawet <math>x \in \mathbb C</math>). Zachodzą własności (1–6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2–3):
: <math>\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math>

oraz
: <math>\exp(0) = 1.</math>

Dowodzi się również [[funkcja ciągła|ciągłości]] i [[funkcja monotoniczna|monotoniczności]] funkcji <math>\exp</math> oraz tego, iż
: <math>\exp(1) = e.</math>

Mając daną funkcję wykładniczą, definiuje się funkcję [[logarytm naturalny|logarytmu naturalnego]] <math>\ln(x),</math> będącą przypadkiem szczególnym [[funkcja logarytmiczna|funkcji logarytmicznej]], jako [[funkcja odwrotna|funkcją odwrotną]] do <math>\exp(x)</math>{{u|ln}} dla <math>x \in \mathbb R</math> (stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem
: <math>x^y = \exp(y \ln(x)),</math>

który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla <math>x > 0</math> oraz <math>y \in \mathbb R.</math>

=== Ujemna podstawa ===
Równanie <math>x^n = a</math> nie ma rozwiązań rzeczywistych dla <math>a < 0</math> oraz parzystego <math>n,</math> choć ma jedno dla <math>n</math> nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków. Zasadniczym problemem jest fakt, iż nie istnieje liczba rzeczywista <math>x</math> będąca rozwiązaniem równania <math>x^2 = -1,</math> dlatego definicja potęgi dla wykładnika będącego liczbą parzystą (licznik i mianownik są [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwsze]]) wymaga użycia [[jednostka urojona|jednostki urojonej]] <math>i</math> będącej jednym z rozwiązań wspomnianego równania.

Metoda korzystająca z logarytmów zawodzi, ponieważ <math>e^x > 0</math> dla dowolnej <math>x \in \mathbb R,</math> stąd dla <math>a \leqslant 0</math> liczba <math>\ln y</math> nie jest rzeczywista (z drugiej strony można zdefiniować potęgi zespolone [[Znak liczby|liczb ujemnych]], wybierając logarytm zespolony z <math>y.</math>

Do określenia potęgi ujemnej liczby rzeczywistej nie można również skorzystać z metody wykładnika wymiernego, gdyż opiera się ona na [[funkcja ciągła|ciągłości]]. Funkcja <math>f(x) = a^x</math> ma dokładnie jedno rozszerzenie ciągłe z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste dla dowolnego <math>a > 0,</math> lecz okazuje się, że jeżeli <math>a < 0,</math> to funkcja <math>f</math> nie jest ciągła nawet w zbiorze liczb wymiernych, w którym została określona.

Na przykład jeśli <math>a = -1,</math> to pierwiastkiem <math>n</math>-tego stopnia z <math>-1</math> dla każdej nieparzystej liczby naturalnej <math>n > 0</math> jest <math>-1.</math> Niech <math>n</math> będzie nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą, wówczas <math>(-1)^{m/n} = -1</math> dla <math>m</math> nieparzystych i <math>(-1)^{m/n} = 1</math> dla <math>m</math> parzystych. Stąd zbiór liczb wymiernych <math>q,</math> dla których <math>(-1)^q = 1</math> jest [[zbiór gęsty|gęsty]] w zbiorze liczb wymiernych, podobnie zbiór tych <math>q,</math> dla których <math>(-1)^q = -1,</math> co oznacza, że funkcja <math>(-1)^q</math> jest nieciągła w dowolnym punkcie <math>q</math> należącym do zbioru liczb wymiernych, w którym została zdefiniowana.

== Liczby zespolone ==
=== Wykładnik zespolony ===
[[Plik:ExpIPi.gif|mały|300px|[[Funkcja wykładnicza]] <math>e^z</math> może być zdefiniowana jako [[granica (matematyka)|granica]] [[ciąg (matematyka)|ciągu]] <math>(1+z/N)^N,</math> dla <math>N</math> dążącego do nieskończoności, stąd <math>e^{i\pi}</math> jest granicą ciągu <math>(1+i\pi/N)^N e^{i\pi}.</math> W animacji przedstawiono zwiększające się w zakresie od 1 do 100 wartości <math>N.</math> Wartość <math>(1+i\pi/N)^N</math> jest przedstawiona jako wynik <math>N</math> kolejnych mnożeń na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]], gdzie ostatni punkt jest właściwą wartością tego ciągu. Można zaobserwować, że ciąg <math>(1+i\pi/N)^N</math> dąży do −1 wraz ze wzrostem <math>N.</math> Stąd <math>1 = e^{i\pi} = -1,</math> równanie to znane jest jako [[Wzór Eulera#Tożsamość Eulera|tożsamość Eulera]].]]
Kluczem do zrozumienia <math>\exp(ix)</math> dla rzeczywistych wartości <math>x</math> jest interpretacja geometryczna działań na liczbach zespolonych oraz definicja potęg liczby <math>e,</math> czyli funkcji wykładniczej <math>\exp.</math> Niech dany będzie na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] [[trójkąt prostokątny]] o wierzchołkach <math>(0, 1, 1 + \tfrac{ix}{n}).</math> Dla dużych wartości <math>n</math> jest nieomalże [[wycinek kołowy|wycinkiem kołowym]] o rozwartości kąta środkowego równej <math>\tfrac{x}{n}</math> [[radian]]ów. Trójkąty <math>(0, (1 + \tfrac{ix}{n})^k, (1 + \tfrac{ix}{n})^{k + 1})</math> są [[podobieństwo|podobne]] dla wszystkich <math>k.</math> Stąd dla dużych <math>n</math> punkt graniczny ciągu <math>(1 + \tfrac{ix}{n})^n</math> jest punktem [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]], którego kąt liczony od dodatniej osi rzeczywistej wynosi <math>x</math> radianów. [[układ współrzędnych biegunowych|Współrzędnymi biegunowymi]] (postacią trygonometryczną) tego punktu są <math>1 = (r, \theta) = (1, x),</math> a [[układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędnymi prostokątnymi]] (postacią algebraiczną) para <math>(\cos x, \sin x).</math> W ten sposób <math>1 = e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math> Zależność ta nazywana jest [[wzór Eulera|wzorem Eulera]] i łączy ona [[algebra|algebrę]] z [[trygonometria|trygonometrią]] poprzez [[liczby zespolone]].

Rozwiązaniem równania <math>e^z = 1</math> są całkowite wielokrotności <math>2\pi i{:}</math>
: <math>\{z\colon e^z = 1\} = \{2k\pi i\colon k \in \mathbb Z\}.</math>

Ogólniej, jeśli <math>e^b = a,</math> to każde rozwiązanie <math>e^z = a</math> może być uzyskane przez dodanie całkowitej wielokrotności <math>2\pi i</math> do <math>b{:}</math>
: <math>\{z\colon e^z = a\} = \{b + 2k\pi i\colon k \in \mathbb Z\}.</math>

Zespolona funkcja wykładnicza jest zatem [[funkcja okresowa|funkcją okresową]] o okresie głównym <math>2\pi i.</math>

Ostatecznie:
: <math>e^{\pi i} = -1,</math>
: <math>e^{x + iy} = e^x(\cos y + i \sin y).</math>

Ze wzoru Eulera wynika też, że [[funkcje trygonometryczne]] sinusa i cosinusa spełniają zależności:
: <math>\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}.</math>

Przed odkryciem liczb zespolonych funkcje sinusa i cosinusa definiowano geometrycznie, powyższe wzory upraszczają skomplikowane [[Tożsamości trygonometryczne#Funkcje sumy i różnicy kątów|wzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznych]] do prostego wzoru na potęgowanie:
: <math>e^{i(x+y)} = e^{ix} e^{iy}.</math>

W ten sposób potęgowanie wykładników zespolonych sprowadza wiele problemów trygonometrycznych do zagadnień algebraicznych.

Potęgę <math>e^{x + iy}</math> oblicza się jako <math>e^x e^{iy},</math> gdzie czynnik rzeczywisty <math>e^x</math> jest [[Wartość bezwzględna|modułem]], zaś <math>e^{iy}</math> to [[Kierunek w geometrii elementarnej|kierunek]] (wraz ze zwrotem, <math>y</math> nazywany jest [[argument liczby zespolonej|argumentem]]) liczby <math>e^{x + iy}.</math>

=== Potęga zespolona ===
{{Dopracować|sekcja|opisać dokładniej logarytm i pierwiastki z jedynki}}
Jeżeli <math>a</math> jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a <math>z</math> dowolną liczbą zespoloną, to potęgę <math>a^z</math> definiuje się wzorem
: <math>a^z = e^{z \ln a},</math>

gdzie <math>x = \ln a</math> jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania <math>e^x = a.</math>

Jeżeli <math>a</math> jest liczbą zespoloną, to napotyka się pewne trudności: definiuje się albo funkcje nieciągłe, albo wielowartościowe. W dziedzinie zespolonej <math>\ln(x)</math> jest funkcją wielowartościową, a różnica między jej wartościami wynosi <math>2k\pi i</math> dla <math>k \in \mathbb Z,</math> to i funkcja wykładnicza jest określona niejednoznacznie, miewając nieskończoną liczbę wartości.

Niech <math>z = \mathrm{Ln}(x)</math> będzie dowolnie wybraną gałęzią logarytmu <math>x,</math> wówczas:
: <math>x^y = e^{y (z + 2k\pi i)} = e^{yz} e^{y 2k\pi i},</math>

czyli [[Wartość bezwzględna|moduł]] <math>x^y</math> wynosi wtedy <math>\exp(y \mathrm{Ln}(x)) \in \mathbb R,</math> zaś jej [[argument liczby zespolonej|argument]] przyjmuje dowolną z wartości <math>2k\pi y.</math> Potęga będzie miała <math>n</math> wartości tylko wtedy, gdy <math>y = c/n,</math> gdzie <math>c</math> i <math>n</math> są [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwsze]]). Jeżeli <math>y \in \mathbb Z,</math> to wygodnie jest korzystać ze [[Wzór de Moivre’a|wzoru de Moivre’a]].

Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym <math>0^0</math> i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie tych warunków i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.
: <math>((-1)^2)^{\tfrac{1}{2}} = 1 \ne -1 = (-1)^{2 \cdot \tfrac{1}{2}}.</math>

== Funkcja potęgowa ==
{{osobny artykuł|funkcja potęgowa}}
Funkcja wykładnicza zdefiniowana jest przez potęgowanie, gdzie zmienną jest wykładnik, a podstawa jest stałą. Sytuacja odwrotna, w której ustalony jest wykładnik, a podstawa jest zmienna, również jest funkcją potęgową, co można było zaobserwować wyżej (wzór {{LinkWzór|5}}). Określenie funkcji pierwiastkowej, czyli funkcji potęgowej o wykładniku będącym odwrotnością niezerowej liczby całkowitej przebiega identycznie jak wyżej. Problemem znowu staje się zdefiniowanie funkcji o wykładniku niewymiernym, jednak pokonuje się ją analogicznie i dowodzi się wielu jej własności ([[funkcja ciągła|ciągłość]], [[funkcja monotoniczna|monotoniczność]] na [[przedział (matematyka)|przedziałach]]).

== Własności ==
{{Dopracować|sekcja|opisać dokładnie założenia poszczególnych własności}}
Potęgowanie nie jest działaniem [[przemienność|przemiennym]], np. <math>8 = 2^3 \neq 3^2 = 9.</math> Nie jest także [[łączność (matematyka)|łączne]], np. <math>2^{(3^2)} = 2^9 = 512,</math> lecz <math>{(2^3)}^2 = 8^2 = 64.</math>

Złożone potęgowanie, zgodnie z regułami [[kolejność wykonywania działań|kolejności wykonywania działań]], traktuje się jako prawostronnie łączne, np. <math>2^{3^2} = 2^{(3^2)}.</math>

Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika właśnie z nieprzemienności potęgowania. Zachodzą następujące wzory<ref name=cke />:
* <math>a^{r+s} = a^r \cdot a^s,</math>
* <math>(a^r)^s = a^{r \cdot s}.</math>

Jeżeli mnożenie jest [[przemienność|przemienne]], to zachodzi również<ref name=cke />
* <math>(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r.</math>

Jeżeli <math>a^s</math> jest elementem odwracalnym, to<ref name=cke />
* <math>a^{r-s} = \frac{a^r}{a^s}.</math>

Dla <math>r = 0</math> powyższy wzór oznacza:
* <math>a^{-s} = \frac{1}{a^s}.</math>

Jeżeli tak <math>b,</math> jak i <math>b^r</math> są odwracalne, to<ref name=cke />
* <math>\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}.</math>

{| class="wikitable"
! Podstawa !! Wykładnik !! Potęga
|-
| całkowita dodatnia || całkowity nieujemny || całkowita dodatnia
|-
| całkowita || całkowity nieujemny || całkowita
|-
| wymierna dodatnia || całkowity || wymierna dodatnia
|-
| niewymierna dodatnia || rzeczywisty || rzeczywista dodatnia{{u|wym}}
|-
| algebraiczna || wymierny || algebraiczna
|-
| algebraiczna różna od 0 i 1 || zespolony, który nie jest liczbą wymierną || przestępna{{u|gelf}}
|-
| przestępna || wymierny różny od 0 || przestępna
|-
| rzeczywista dodatnia || rzeczywisty || rzeczywista dodatnia
|-
| rzeczywista ujemna || rzeczywisty || zespolona{{u|zesp}}
|-
| zespolona || całkowity || zespolona (jednoznaczna)
|-
| zespolona || wymierny || zespolona (skończenie wiele wartości)
|-
| zespolona || zespolony niebędący liczbą wymierną || zespolona (nieskończenie wiele wartości)
|}

== Zero do potęgi zerowej ==
[[Plik:X^y.png|mały|300px|Wykres <math>z = |x|^y;</math> czerwone krzywe dają różne granice, gdy <math>(x, y)</math> dąży do <math>(0, 0),</math> podczas gdy wszystkie zielone krzywe dają w granicy ''1''.]]
Większość autorów zgadza się z zamieszczonymi w poniższych listach stwierdzeniami dotyczącymi <math>0^0,</math> lecz dochodzą do różnych wniosków, czy ''definiować'' wyrażenie <math>0^0,</math> czy też nie (zob. następną podsekcję).

W większości przypadków, które ''nie wykorzystują ciągłości'' (na przykład ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie <math>0^0</math> jako <math>1</math> upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, które ''wykorzystują ciągłość''). Na przykład:
* postrzeganie <math>0^0</math> jako [[iloczyn pusty|iloczynu pustego]] zer sugeruje wartość równą <math>1;</math>
* [[Potęgowanie#Interpretacja kombinatoryczna|interpretacją kombinatoryczną]] <math>0^0</math> jest liczba pustych [[Para uporządkowana#Trójki, czwórki, …, n-ki uporządkowane|krotek]] elementów [[Zbiór pusty|zbioru pustego]]: istnieje dokładnie jedna pusta krotka;
* równoważnie [[#Potęgowanie zbiorów|interpretacją teoriomnogościową]] <math>0^0</math> jest liczba funkcji ze zbioru pustego w zbiór pusty: istnieje dokładnie jedna taka funkcja – [[funkcja pusta]]<ref name="Bourbaki">N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III. §&nbsp;3.5.</ref>;
* znacząco upraszcza teorię [[wielomian]]ów i [[szereg potęgowy|szeregów potęgowych]] dzięki temu, iż wyraz wolny może być zapisany jako <math>ax^0</math> dla dowolnego <math>x,</math> np.
** wzór na współczynniki iloczynu wielomianów straciłby na prostocie, gdyby wyrazy wolne musiałyby być traktowane oddzielnie;
** dla [[dzielnik zera|dzielników zera]] (elementów [[pierścień (matematyka)|pierścieni]] spełniających <math>a, b \ne 0,</math> ale <math>ab=0</math>) z własności potęgowania otrzymuje się <math>1 = a^0 b^0 = (ab)^0 = 0^0;</math>
** tożsamości postaci <math>\textstyle \tfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n</math> i <math>\textstyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{x^n}{n!}</math> nie są poprawne dla <math>x = 0,</math> jeśli <math>0^0 \ne 1.</math>
** [[Dwumian Newtona|twierdzenie o dwumianie]] <math>\textstyle(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k</math> nie jest poprawne dla <math>x = 0,</math> jeżeli <math>0^0 \ne 1</math><ref>„Some textbooks leave the quantity <math>0^0</math> undefined, because the functions <math>x^0</math> and <math>0^x</math> have different limiting values when <math>x</math> decreases to <math>0.</math> But this is a mistake. We must define <math>x^0 = 1,</math> for all <math>x,</math> if the binomial theorem is to be valid when <math>x = 0, y = 0,</math> and/or <math>x = -y.</math> The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function <math>0^x</math> is quite unimportant” (Niektóre podręczniki pozostawiają wielkość <math>0^0</math> niezdefiniowaną, ponieważ funkcje <math>x^0</math> i <math>0^x</math> mają inne wartości w granicy dla <math>x</math> malejącego do <math>0.</math> Jest to jednak błąd. Musimy zdefiniować <math>x^0 = 1</math> dla wszystkich <math>x,</math> jeżeli twierdzenie o dwumianie ma być poprawne dla <math>x = 0, y = 0,</math> czy <math>x = -y.</math> Twierdzenie o dwumianie jest zbyt ważne, by było jakkolwiek ograniczane! Z drugiej strony funkcja <math>0^x</math> jest dość mało ważna){{cytuj książkę |autor = [[Ronald Graham]], [[Donald Knuth]], [[Oren Patashnik]] |tytuł = [[Matematyka konkretna]] |wydanie = pierwsze |wydawca = Addison Wesley Longman Publishing Co |data = 1989-01-05 |isbn = 0-201-14236-8 |strony = 162 |rozdział = Binomial coefficients}}</ref>;
* w [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunku różniczkowym]] wzór na różniczkę jednomianu <math>\tfrac{\operatorname d}{\operatorname dx} x^n = nx^{n-1}</math> nie jest poprawny dla <math>n = 1</math> w punkcie <math>x = 0,</math> gdy <math>0^0 \ne 1.</math>

Z drugiej strony <math>0^0</math> musi być uważane za [[symbol nieoznaczony|wyrażenie nieoznaczone]] w kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:
* jeżeli <math>f(t)</math> i <math>g(t)</math> są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do <math>0</math> (gdy <math>t</math> zbiega do liczby rzeczywistej bądź <math>\pm\infty</math>), gdzie <math>f(t) > 0,</math> to funkcja <math>f(t)^{g(t)}</math> nie musi zbiegać do <math>1.</math> Rzeczywiście, w zależności od <math>f</math> i <math>g</math> granica <math>f(t)^{g(t)}</math> może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź <math>+\infty</math> albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa się [[Symbol nieoznaczony|nieoznaczonym]] (ma postać nieoznaczoną)<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Malik |imię = S.C. |autor2 = Savita Arora |tytuł = Mathematical Analysis |rok = 1992 |strony = 223 |isbn = 978-8122403237 |cytat = ''In general the limit of <math>\varphi(x)/\psi(x)</math> when <math>x = a</math> in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division <math>(0/0)</math> then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are <math>\infty/\infty,\; 0 \times \infty,\; \infty - \infty,\; 0^0,\; 1^\infty</math> and <math>\infty^0</math>'' (''W ogólności granica <math>\varphi(x)/\psi(x)</math> dla <math>x = a</math> w przypadku, gdy granice obu funkcji są równe granicy licznika podzielonego przez mianownik. Co dzieje się, gdy obie granice są zerowe? Dzielenie <math>(0/0)</math> traci wtedy sens. Każdy przypadek podobny do poprzedniego nazywa się postacią nieoznaczoną. Innymi postaciami tego typu są <math>\infty/\infty,\; 0 \times \infty,\; \infty - \infty,\; 0^0,\; 1^\infty</math> oraz <math>\infty^0</math>'') |wydawca = Wiley |miejsce = New York}}</ref>

: Przykładowo funkcje niżej są postaci <math>f(t)^{g(t)},</math> gdzie <math>f(t), g(t) \to 0</math> dla <math>t \to 0^+</math> (zob. [[Granica funkcji|granica jednostronna]]), ale ich granice nie są równe:
:: <math>\lim_{t \to 0^+} t^t = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t})^{at} = e^{-a}.</math>
: Tak więc <math>0^0</math> jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja <math>x^y</math> dwóch zmiennych choć jest [[funkcja ciągła|ciągłą]] na zbiorze <math>\{(x, y)\colon x > 0\},</math> nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym <math>(0, 0),</math> nie ważne jak zdefiniuje się <math>0^0</math><ref>{{Cytuj pismo |autor = L.J. Paige |tytuł = A note on indeterminate forms |czasopismo = American Mathematical Monthly |wolumin = 61 |wydanie = 3 |miesiąc = marzec |rok = 1954 |strony = 189–190 |doi = 10.2307/2307224}}</ref>.

* Funkcja <math>z^z</math> jest określona dla niezerowych [[liczby zespolone|liczb zespolonych]] <math>z</math> przez wybranie [[logarytm zespolony#Gałęzie|gałęzi]] <math>\log z</math> i przyjęcie <math>z^z := e^{z \log z},</math> ponieważ nie ma gałęzi <math>\log z</math> zdefiniowanej w <math>z = 0,</math> tylko w otoczeniu zera<ref>„''(…) Let’s start at <math>x = 0.</math> Here <math>x^x</math> is undefined.”'' (Zacznijmy od <math>x = 0.</math> <math>x^x</math> jest tutaj nieokreślone.”) Mark D. Meyerson, The ''X''<sup>''x''</sup> Spindle, „Mathematics Magazine” 69, nr 3 (czerwiec 1996), s. 198–206.</ref>. Nie istnieje [[funkcja holomorficzna]] określona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z <math>z^z</math> dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych <math>z.</math>

=== Historia różnych punktów widzenia ===
Różni autorzy interpretują powyższą sytuację na różne sposoby:
* Niektórzy argumentują, że najlepsza wartość <math>0^0</math> zależy od kontekstu, przez co [[określenie i nieokreślenie|zdefiniowanie]] jej raz na zawsze jest problematyczne<ref>Wśród przykładów można wymienić Edwardsa i Penny’ego (1994). ''Calculus'', wyd. IV, Prentice-Hall, s. 466 oraz Keedy’ego, Bittingera i Smitha (1982). ''Algebra Two.'' Addison-Wesley, s. 32.</ref>. Zgodnie z przekonaniami Bensona (1999), ''„The choice whether to define <math>0^0</math> is based on convenience, not on correctness.”''<ref>Donald C. Benson, ''The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies''. New York Oxford University Press (UK), 1999. {{ISBN|978-0-19-511721-9}}.</ref> (Wybór czy definiować <math>0^0</math> jest podyktowany wygodą, a nie poprawnością).
* Inni twierdzą, że <math>0^0</math> jest równe <math>1.</math> Zgodnie ze s. 408 pracy [[Donald Knuth|Knutha]] (1992), „''[it]'' has ''to be'' <math>1</math>” (musi być równa <math>1</math>), choć kontynuuje on: „Cauchy had good reason to consider <math>0^0</math> as an undefined ''limiting form''” (Cauchy miał dobry powód, by uważać <math>0^0</math> za nieokreśloną ''postać graniczną'') oraz ''„in this much stronger sense, the value of <math>0^0</math> is less defined than, say, the value of <math>0 + 0</math>”'' (''w tym dużo silniejszym sensie wartość <math>0^0</math> jest słabiej określona, niż powiedzmy wartość <math>0 + 0</math>''; wyróżnienia oryginalne)<ref name="Knuth1992">[[Donald Knuth|Donald E. Knuth]], ''Two notes on notation'', „[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]” 99 nr 5 (maj 1992), s. 403–422.</ref>

Debata trwa od przynajmniej początków XVII wieku. Wówczas większość matematyków zgadzała się z tym, że <math>0^0 = 1,</math> jednak w 1821 [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]<ref>[[Augustin Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]], ''Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique'' (1821). W jego ''Oeuvres Complètes'', seria 2, tom 3.</ref> umieścił <math>0^0</math> wraz z wyrażeniami postaci <math>\tfrac{0}{0}</math> w tablicy wyrażeń nieoznaczonych. W latach 30. XIX wieku Libri<ref>Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 0<sup>0<sup>x</sup></sup>, „[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]” 6 (1830), 67–72.</ref><ref>Guillaume Libri, ''Mémoire sur les fonctions discontinues'', „[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]” 10 (1833), 303–316.</ref> opublikował nieprzekonujący dowód, iż <math>0^0 = 1,</math> w czym wsparł go [[August Ferdinand Möbius|Möbius]]<ref>[[August Ferdinand Möbius|A.F. Möbius]], Beweis der Gleichung <math>0^0 = 1,</math> nach [[Johann Friedrich Pfaff|J.F. Pfaff]], „Journal für die reine und angewandte Mathematik” 12 (1834), 134–136.</ref> błędnie twierdząc, że <math>\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1,</math> jeżeli <math>\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0.</math> Komentator, który podpisał się wyłącznie literą „S” podał kontrprzykład <math>(e^{-1/t})^t</math> (który może być uzyskany z jednego z powyższych przykładów, przyjmując <math>a = 1</math>), który uciszył na jakiś czas debatę z oczywistym wnioskiem, iż <math>0^0</math> nie powinno być definiowane. Więcej szczegółów można znaleźć w pracy Knutha (1992)<ref name="Knuth1992" />.

=== Języki programowania i kalkulatory ===
Wśród języków programowania komputerów, które przypisują <math>0^0</math> wartość <math>1</math><ref>For example, see {{Cytuj |autor = John Benito |tytuł = Rationale for International Standard – Programming Languages – C |url = http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf |data = April 2003 |s = 182}}</ref>, można wymienić [[Bc (Unix)|bc]], [[Common Lisp]], [[Haskell]], [[J (język programowania)|J]], [[Java]], [[JavaScript]], [[Lisp|LISP]], [[MATLAB]], [[Meta Language|ML]], [[Perl]], [[PHP]], [[Python]], [[R (język programowania)|R]], [[Ruby (język programowania)|Ruby]], [[Scheme]] czy [[SQL]]. W [[.NET Framework]] [[metoda (programowanie obiektowe)|metoda]] <code>System.Math.Pow</code> traktuje <math>0^0</math> jak <math>1.</math>

Wśród aplikacji arkuszy kalkulacyjnych [[Microsoft Excel]] generuje błąd przy próbie wyznaczenia <math>0^0,</math> podczas gdy [[Apache OpenOffice|OpenOffice.org]] w wersji 3 zwraca <math>1.</math> [[Dysk Google|Google Docs]] Spreadsheet również zwraca <math>1.</math>

Kalkulator systemu [[Microsoft Windows]], [[Wyszukiwarka Google]]<ref>{{Cytuj |url = http://www.google.co.uk/search?q=0%5E0 |tytuł = 0^0 – Recherche Google |opublikowany = www.google.co.uk |język = fr |data dostępu = 2017-11-26}}</ref>, [[Derive]] oraz [[PARI/GP]] obliczają <math>0^0</math> równe <math>1.</math>

[[Maple]] upraszcza <math>a^0</math> do <math>1,</math> zaś <math>0^a</math> do <math>0</math> nawet, gdy nie nałożono żadnych ograniczeń na <math>a</math> (uproszczenia te są poprawne tylko dla <math>a \ne 0</math>), z kolei <math>0^0</math> ma wartość <math>1.</math>

[[Mathematica]] upraszcza <math>a^0</math> do <math>1</math> nawet, gdy brak ograniczeń dla <math>a.</math> Nie upraszcza jednak <math>0^a</math> i przyjmuje, iż <math>0^0</math> jest symbolem nieoznaczonym.

[[Sage (system algebry komputerowej)|Sage]] upraszcza <math>a^0</math> do <math>1</math> nawet, jeżeli nie ograniczono w żaden sposób <math>a.</math> Nie upraszcza <math>0^a</math> i przyjmuje, że <math>0^0</math> ma wartość <math>1.</math>

Kalkulatory [[TI-83|TI-83 Plus]] i [[TI-84]] zwracają błąd dziedziny (Domain Error) podczas rozwiązywania <math>0^0,</math> lecz [[Seria TI-89|TI-89]] zwraca <math>1.</math> [[Seria TI-89|TI-89 Titanium]] zwraca wartość <code>undef</code>.

== Notacja ==
Jak wspomniano na początku, potęgowanie zapisuje się zwykle, umieszczając wykładnik w indeksie górnym za podstawą, np. <math>x^y.</math> Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosuje się często zapisy <math>x\hat{\ }y,</math> <math>x**y</math> lub <math>x\uparrow y.</math>

W przypadku, gdy podstawą potęgi jest liczba <math>e</math> ([[podstawa logarytmu naturalnego]]), to zamiast zapisu <math>e^x</math> stosuje się często zapis <math>\exp(x)</math> (pomijając niekiedy nawiasy), gdyż dla liczb rzeczywistych potęgi liczby <math>e</math> pokrywają się z wartościami funkcji <math>\exp.</math>

=== Funkcje ===
Choć zapis <math>f^n(x)</math> dla <math>n \in \mathbb N</math> może oznaczać <math>(f(x))^n,</math> czyli potęgę [[Obraz (matematyka)|obrazu]] (patrz niżej), to jednak jeśli [[przeciwdziedzina]] funkcji zawiera się w jej [[Dziedzina (matematyka)|dziedzinie]], to zapis <math>f^n(x)</math> oznacza zwykle <math>n</math>-krotne [[złożenie funkcji]] samej ze sobą, czyli jej <math>n</math>-tą [[Iteracja funkcji|iterację]], tzn.
: <math>f^3 = f \circ f \circ f</math>

lub dokładniej
: <math>f^3(x) = f(f(f(x))).</math>

Wtedy w szczególności, <math>f^{-1}</math> oznacza [[funkcja odwrotna|funkcję odwrotną]] do funkcji <math>f,</math> oznaczeniem tym zapisuje się również [[przeciwobraz]] funkcji. Ujemny, różny od -1, indeks górny oznacza już zwykle potęgę obrazu.

W przypadku [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] i [[funkcje hiperboliczne|hiperbolicznych]] przyjęła się konwencja według której <math>\sin^n x</math> oznacza <math>(\sin x)^n</math> dla <math>n>0</math> oraz <math>\sin^{-1} x = \arcsin x.</math> Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu: <math>\log^3(x) = (\log x)^3.</math>

Z kolei podobny zapis <math>f^{(n)}(x)</math> oznacza najczęściej <math>n</math>-tą [[Pochodna funkcji|pochodną funkcji]].

=== Programowanie ===
Niżej znajdują się oznaczenia potęgowania stosowane w niektórych [[język programowania|językach programowania]]:
* <code>x ↑ y</code>: [[ALGOL|Algol]], [[Commodore BASIC]]
* <code>x ^ y</code>: [[BASIC]], [[J (język programowania)|J]], [[MATLAB|Matlab]], [[Microsoft Excel]], większość systemów [[System algebry komputerowej|Computer Algebra System]] ([[TeX]], jak większość jego rozszerzeń, używa tego oznaczenia dla [[indeks górny|indeksu górnego]] <math>x^y</math>)
* <code>x ** y</code>: [[Ada (język programowania)|Ada]], [[Fortran]], [[Visual FoxPro|FoxPro]], [[Perl]], [[Python]], [[Ruby (język programowania)|Ruby]], [[SAS (program)|SAS]]
* <code>x * y</code>: [[APL (język programowania)|APL]]
* <code>Power(x, y)</code>: Microsoft Excel
* <code>pow(x, y)</code>: [[C (język programowania)|C]], [[C++]], [[PHP]]
* <code>Math.pow(x, y)</code>: [[Java]], [[JavaScript]], [[Modula-3]]
* <code>Math.Pow(x, y)</code>: [[C Sharp|C#]]
* <code>(expt x y)</code>: [[Common Lisp]], [[Scheme]]
* <code>GLib.Math.pow(x, y)</code> (skracane do <code>Math.pow(x, y)</code>): [[Vala (język programowania)|Vala]]

Choć w języku ([[Turbo Pascal|Turbo]]) [[Pascal (język programowania)|Pascal]] nie ma standardowej funkcji potęgowania, można ją zdefiniować następująco:
<syntaxhighlight lang="Pascal">
function power(x, y : real) : real;
begin
   power := exp(ln(abs(x))*y);
end;
</syntaxhighlight>

== Uogólnienia ==
=== Macierze ===
{{osobny artykuł|potęgowanie macierzy|eksponenta macierzy}}
Potęgę naturalną, a nawet całkowitą, łatwo zdefiniować dla [[macierz]]y kwadratowych, naśladując powyższe obserwacje: jest to wielokrotne mnożenie dla wykładników dodatnich i odwracanie dla wykładników ujemnych. Podniesienie dowolnej macierzy do potęgi zerowej to zgodnie z oczekiwaniami [[macierz jednostkowa]].

Dla macierzy kwadratowych można określić funkcję <math>\exp</math> wzorem
: <math>\exp \mathbf A = \sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf A^k}{k!}.</math>

Tak jak dla liczby rzeczywistych czy zespolonych, szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu [[równanie różniczkowe|równań różniczkowych]] liniowych.

Dla [[macierz diagonalna|macierzy diagonalnych]] wystarczy obliczyć wartości <math>\exp x</math> na przekątnej: jeżeli
: <math>\mathbf A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix},</math>

to
: <math>\exp \mathbf A = \begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.</math>

Jeżeli <math>\mathbf A = \mathbf {UDU}^{-1}</math> i <math>\mathbf D</math> jest diagonalna, to:
: <math>\exp \mathbf A = \mathbf U \exp(\mathbf D) \mathbf U^{-1}</math>

Dla [[macierz nilpotentna|macierzy nilpotentnej]] <math>\mathbf N</math> wartość <math>\exp \mathbf N</math> można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na [[szereg potęgowy]], gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:
: <math>\exp \mathbf N = \mathbf I + \mathbf N + \tfrac{1}{2!} \mathbf N^2 + \tfrac{1}{3!} \mathbf N^3 + \ldots + \tfrac{1}{(q-1)!} \mathbf N^{q-1},</math>

jeśli <math>\forall_{k \geqslant q}\; \mathbf N^k = \mathbf 0.</math>

=== Zbiory i liczby kardynalne ===
Zapis <math>A^n,</math> gdzie <math>A</math> jest [[zbiór|zbiorem]], a <math>n</math> [[Liczby naturalne|liczbą naturalną]] oznacza najczęściej <math>n</math>-krotny [[iloczyn kartezjański]] zbioru <math>A.</math>

Zapis <math>A^B,</math> gdzie <math>A</math> i <math>B</math> są zbiorami, oznacza zbiór wszystkich [[funkcja|funkcji]] <math>f</math> o dziedzinie <math>B</math> i przeciwdziedzinie <math>A.</math> Zastępując zbiory ich [[moc zbioru|mocami]], otrzymuje się [[arytmetyka liczb kardynalnych|definicje potęgowania]] [[Moc zbioru|liczb kardynalnych]].

=== Wielokrotne potęgowanie ===
{{osobny artykuł|notacja strzałkowa}}

== Zastosowania ==
{{Dopracować|sekcja|Sekcja wymaga poszerzenia}}
Potęgi liczby 10 to liczby kończące się pewną liczbą zer. Dla skrócenia ich zapisu stosuje się tzw. [[przedrostek SI|przedrostki układu SI]], w szczególności w [[notacja naukowa|notacji naukowej]] do zapisywania wielkich liczb i [[Wielkość fizyczna|wielkości fizycznych]].

Z racji konstrukcji współczesnych komputerów w [[informatyka|informatyce]] często spotyka się potęgi liczby 2. Na przykład <math>2^n</math> jest liczbą możliwych wartości zmiennej składającej się z <math>n</math> [[bit]]ów (każdy bit może mieć wartość 0 lub 1, razem jest ich <math>n</math>). Z tego powodu zwykle operuje się też [[Wielokrotność|wielokrotnościami]] liczby 2 (bądź jej pewnej potęgi). Osiem bitów tworzy [[oktet (informatyka)|oktet]] (lub [[bajt]]), szesnaście – [[słowo (informatyka)|słowo]]. Większe wartości również są wielokrotnościami liczby 2, nie zaś 10, jak wskazywałyby ich nazwy, np. [[kilobajt]] to 1024, a nie 1000 bajtów (Dla odróżnienia tych wielkości opracowano tzw. [[przedrostek dwójkowy|przedrostki dwójkowe]]).

Funkcji wykładnicza <math>\exp,</math> czyli funkcja wykładnicza o podstawie <math>e,</math> jest szeroko stosowana w matematyce, pojawiając się szczególnie często w [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]] czy [[Teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]].

Potęgowanie modulo jest używane w [[Kryptologia|kryptografii]], np. w algorytmie [[RSA (kryptografia)|RSA]].

== Algorytmika ==
[[Złożoność obliczeniowa]] naiwnego [[algorytm]]u potęgowania (zob. wzór po {{LinkWzór|2}}) wynosi <math>\operatorname{O}(n)</math>. Istnieje znacznie szybszy algorytm, nazywany ''[[algorytm szybkiego potęgowania|algorytmem szybkiego potęgowania]]'', korzystający z metody ''[[dziel i zwyciężaj]]'', którego złożoność obliczeniowa jest rzędu <math>\operatorname{O}(\log n)</math>.

== Historia ==
Współczesny symbol potęgowania został wprowadzony przez [[René Descartes|Kartezjusza]] w dziele ''[[Geometria (Kartezjusz)|Geometria]]''<ref name="Geo">Kartezjusz, ''Geometria'', tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka, TAiWPN Uniwersitas, Kraków 2015, {{ISBN|978-83-242-2759-4}}, s. 15.</ref>. Oprócz współczesnej notacji Kartezjusz używał także zapisu wykładnika dokładnie nad wyrażeniem, które podnosił do potęgi<ref name="Geo" />.

Dawniej stosowano nazwy potęg oparte na kwadracie i sześcianie<ref>{{cytuj książkę |autor = Christian Wolff |tytuł = Elementa matheseos universae |url = http://books.google.pl/books?id=TmkVAAAAQAAJ&pg=PA81&lpg=PA81&dq=%22quadratum+surdesolidi%22&source=bl&ots=GyIk2NP1jt&sig=MSVuNmmBRCrN2XdJupdjxaWr5FM&hl=pl&sa=X&ei=rfPAT_-xO4rO4QS9pbHyCQ&redir_esc=y#v=onepage&q=%22quadratum%20surdesolidi%22&f=false |rok = 1742}}</ref>:
{| class="wikitable"
! Potęga || Nazwa arabska || Nazwa [[Diofantos]]a
|-
| a || Radix (''pierwiastek'') || Latus (''flanka'')/Radix
|-
| a<sup>2</sup> || Quadratum (''kwadrat'') || Quadratum
|-
| a<sup>3</sup> || Cubus (''sześcian'') || Cubus
|-
| a<sup>4</sup> || Quadratoquadratum/Biquadratum || Quadratoquadratum
|-
| a<sup>5</sup> || Surdesolidum (''głucha bryła'') || Quadratocubus
|-
| a<sup>6</sup> || Quadratum cubi || Cubobubus
|-
| a<sup>7</sup> || Surdesolidum secundum || Quadratoquadratocubus
|-
| a<sup>8</sup> || Quadrati quadrati quadratum || Quadratocubocubus
|-
| a<sup>9</sup> || Cubus cubi || Cubocubocubus
|-
| a<sup>10</sup> || Quadratum surdesolidi ||
|-
| a<sup>11</sup> || Surdesolidum tertium ||
|}

{{sekcja stub}}

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|potęgowanie}}
* [[funkcja W Lamberta]]

== Uwagi ==
{{Uwagi|
<ref name="Kartezjusz">Zapis potęgowania przy użyciu indeksu górnego wprowadził [[René Descartes|Kartezjusz]] w XVII wieku.</ref>
<ref name="ln">Można też przyjąć inną definicję, np. <math>\ln(x) = \int_1^x \tfrac{dt}{t}</math>.</ref>
<ref name="les">Lub: jedyną [[funkcja mierzalna|mierzalną]] [[Miara Lebesgue’a|w sensie Lebesgue’a]].</ref>
<ref name="wym">Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może dać w wyniku liczbę wymierną, np. <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> może być wymierna, jeśli nie jest, to na mocy [[twierdzenie Gelfonda-Schneidera|twierdzenia Gelfonda-Schneidera]] wymierna jest liczba <math>{(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} = {(\sqrt{2})}^2</math>.</ref>
<ref name="gelf">Zob. [[twierdzenie Gelfonda-Schneidera]].</ref>
<ref name="zesp">Potęga ujemnej liczby rzeczywistej wymaga osobnego potraktowania.<br />Potęgę <math>a^n</math> w ogólnym przypadku należy traktować jako <math>e^{n \ln a}</math>. Jednak gdy wykładnik jest wymierny i jego mianownik jest nieparzysty można napisać <math>a^{k/(2n+1)} = \sqrt[2n+1]{a^k}</math>, gdzie pierwiastek jest [[Pierwiastkowanie|pierwiastkiem arytmetycznym]]. Obejmuje to także wykładniki całkowite.<br />W przeciwnym wypadku potęga nie jest liczbą rzeczywistą. Dla wykładników postaci <math>1/(2n)</math> można przyjąć:
: <math>a^{\frac{1}{2n}} = \pm i (\sqrt[2n]{-a})</math>.
Zauważmy, że ta potęga ma dwie wartości (tworzą one wraz z pozostałymi [[Pierwiastkowanie|pierwiastek algebraiczny]]).</ref>
}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{otwarty dostęp}} Tomasz Miller, ''[https://www.youtube.com/watch?v=HaVNKm7-nZc Potęgowanie i „najpiękniejszy wzór matematyki” | Zacznijmy od zera #4]'', [[Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych]] – [[Uniwersytet Jagielloński]], kanał „Copernicus” na [[YouTube]], 23 listopada 2021 [dostęp 2023-11-26].

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld | adres = Power | tytuł = Power }} [dostęp 2024-02-02].
* {{MathWorld | adres = ExponentLaws | tytuł = Exponent Laws }} [dostęp 2024-02-02].
* {{MathWorld | adres = ComplexExponentiation | tytuł = Complex Exponentiation }} [dostęp 2024-02-02].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Power Power]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].

{{Arytmetyka elementarna}}
{{Wielomiany}}
{{Funkcje elementarne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
[[Kategoria:Potęgowanie| ]]
[[Kategoria:Działania dwuargumentowe]]