Tekst źródłowy strony PFA (aksjomat)

{{spis treści}}
'''PFA''' (z {{ang.|proper forcing axiom}}) – [[aksjomat]] [[forsing]]owy używany w [[teoria mnogości|teorii mnogości]], [[topologia|topologii]] i pokrewnych dziedzinach [[matematyka|matematyki]]. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych [[Częściowy porządek|porządków częściowych]].

== Definicje formalne ==
=== Pojęcia wstępne ===
Niech <math>\mathbb P=(\mathbb P,\leqslant)</math> będzie [[pojęcie forsingu|pojęciem forsingu]].
* Powiemy, że zbiór <math>G\subseteq \mathbb P</math> jest '''[[Filtr (matematyka)|filtrem]] w <math>\mathbb P</math>''' jeśli następujące warunki są spełnione:
: (i) <math>G\neq \varnothing,</math>
: (ii) jeśli <math>p,q\in \mathbb P,</math> <math>q\leqslant p</math> oraz <math>q\in G,</math> to również <math>p\in G,</math>
: (iii) jeśli <math>p,q\in G,</math> to można znaleźć <math>r\in G</math> taki że <math>r\leqslant p</math> oraz <math>r\leqslant q.</math>
* Zbiór <math>I\subseteq \mathbb P</math> jest [[Zbiór gęsty|gęstym]] podzbiorem <math>\mathbb P</math> jeśli <math>(\forall p\in \mathbb P)(\exists q\in I)(q\leqslant p).</math>
* Niech <math>\chi</math> będzie [[regularna liczba kardynalna|regularną liczbą kardynalną]] a <math>\mathcal H(\chi)</math> będzie [[rodzina zbiorów|rodziną]] wszystkich [[Zbiór|zbiorów]] dziedzicznie [[moc zbioru|mocy]] mniejszej niż <math>\chi.</math> Przypuśćmy, że <math>N</math> jest [[zbiór przeliczalny|przeliczalnym]] elementarnym podmodelem <math>(\mathcal H(\chi),\in)</math> takim, że <math>\mathbb P\in N.</math> Powiemy, że warunek <math>q\in \mathbb P</math> jest '''warunkiem <math>(N,\mathbb P)</math>-generycznym''' jeśli dla każdego maksymalnego [[antyłańcuch]]a <math>A\subseteq \mathbb P,</math> który należy do modelu <math>N</math> mamy:
:: dla każdego <math>r\in A,</math> jeśli <math>r,q</math> są niesprzeczne, to <math>r\in N.</math>
: (Przypomnijmy, że warunki <math>r,q</math> są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek <math>s\in \mathbb P</math> silniejszy niż oba te warunki.)
* Pojęcie forsingu <math>\mathbb P</math> jest [[proper forsing|'''proper''']], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej <math>\chi</math> istnieje <math>x\in \mathcal H(\chi)</math> taki, że:
:: jeśli <math>N</math> jest przeliczalnym elementarnym podmodelem <math>(\mathcal H(\chi),\in),</math> <math>\mathbb P,x\in N</math> oraz <math>p\in \mathbb P\cap N,</math>
:: to istnieje warunek <math>q\leqslant p</math> który jest <math>(N,\mathbb P)</math>-generyczny.

=== PFA i BPFA ===
'''PFA''' oznacza następujące zdanie:
: ''jeśli pojęcie forsingu <math>\mathbb P</math> jest proper, <math>\mathcal I</math> jest rodziną gęstych podzbiorów <math>\mathbb P</math> oraz <math>|\mathcal I|\leqslant\aleph_1,</math>''
: ''to istnieje filtr <math>G\subseteq \mathbb P,</math> który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z <math>\mathcal I</math> (tzn. <math>(\forall D\in \mathcal I)(D\cap G\neq\varnothing)</math>).''

'''BPFA''' jest następującym zdaniem:
: ''jeśli pojęcie forsingu <math>\mathbb P</math> jest proper, <math>\mathcal A</math> jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej [[algebra Boole’a|algebrze Boole’a]] <math>\mathrm{RO}(\mathbb P)</math> wyznaczonej przez to pojęcie forsingu oraz zarówno <math>|\mathcal A|\leqslant\aleph_1,</math> jak i każdy antyłańcuch w rodzinie <math>\mathcal A</math> jest mocy co najwyżej <math>\aleph_1,</math>''
: ''to istnieje filtr <math>G\subseteq \mathrm{RO}(\mathbb P),</math> który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z <math>\mathcal A</math> (tzn. <math>(\forall A\in \mathcal A)(A\cap G\neq\varnothing)</math>).''

Nazwa '''BPFA''' jest skrótem angielskiego zwrotu '' '''B'''ounded '''P'''roper '''F'''orcing '''A'''xiom''.

== Historia i niesprzeczność ==
* Idea forsingów proper i związanego z nimi aksjomatu forsingowego była stworzona przez [[izrael]]skiego matematyka [[Saharon Szelach|Saharona Szelacha]] w drugiej połowie [[lata 70. XX wieku|lat 70. XX wieku]]. W [[1978]] w czasie wykładów w [[Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley|Berkeley]] przedstawił on po raz pierwszy ten koncept, w druku ukazał się on w [[1980]]<ref>Szelach, Saharon: ''Independence results''. „J. Symbolic Logic” 45 (1980), s. 563–573.</ref>.
* W [[1982]], Szelach opublikował [[monografia|monografię]]<ref>Szelach, Saharon: ''Proper forcing.'' „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. {{ISBN|3-540-11593-5}}.</ref> przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.
* W [[1995]], Martin Goldstern i Saharon Szelach wprowadzają BPFA<ref>Goldstern, Martin; Szelach, Saharon: ''The bounded proper forcing axiom''. „J. Symbolic Logic” 60 (1995), s. 58–73.</ref> który zyskał sporą popularność w ostatnich latach (ze względu na słabsze założenia potrzebne aby wykazać jego niesprzeczność).

Podstawą do wykazania niesprzeczności '''PFA''' (czy też '''BPFA''') jest twierdzenie Szelacha mówiące, że iteracja z przeliczalnym nośnikiem forsingów proper jest forsingiem proper (a więc nie kolapsuje <math>\omega_1</math>)<ref>Szelach, Saharon: ''Proper and improper forcing''. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. {{ISBN|3-540-51700-6}}.</ref><ref>Goldstern, Martin: ''Tools for your forcing construction''. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.</ref><ref>Abraham, Uri: ''Proper forcing''. w: ''Handbook of Set Theory'' pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie [[DVI (plik TeX)|dvi]] na [http://www.cs.bgu.ac.il/~abraham/math.html stronie autora].</ref> Niestety, w iteracjach tego typu liczby kardynalne powyżej <math>\aleph_1</math> mogą być kolapsowane, jeśli więc chcemy ''przeiterować wszystkie możliwe forsingi proper'' to potrzebujemy dodatkowego narzędzia aby ''złapać swój własny ogon''. Narzędziem tym jest zwykle '''diament [[Richard Laver|Lavera]]''' związany z liczbą super-zwartą.
: '''Twierdzenie''' [Szelach]: Jeśli teoria „'''ZFC'''+istnieje [[Duże liczby kardynalne#Większe liczby|liczba super-zwarta]]” jest niesprzeczna, to również teoria „'''ZFC'''+'''PFA'''” jest niesprzeczna.

Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń:
: '''Twierdzenie''' [Goldstern-Szelach]: Jeśli teoria „'''ZFC'''+istnieje [[Duże liczby kardynalne#Liczby niesprzeczne z V=L|liczba Mahlo]]” jest niesprzeczna, to również teoria „'''ZFC'''+'''BPFA'''” jest niesprzeczna.

(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Szelach podali dokładną siłę niesprzeczności '''BPFA'''.)

== Przykłady forsingów proper ==
* Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
* Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o [[Pojęcie forsingu#Przykłady pojęć forsingu|pojęciach forsingu]]) są proper.
* Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą ''norm na możliwościach'' są proper przy naturalnych warunkach<ref>[[Andrzej Rosłanowski|Rosłanowski, Andrzej]]; Szelach, Saharon: ''Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures''. „Mem. Amer. Math. Soc.” 141 (1999), no. 671, {{ISBN|0-8218-1180-0}}.</ref>.

== Przykłady konsekwencji ==
Załóżmy '''PFA'''. Wówczas:
* <math>2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}=\aleph_2,</math>
* '''[[Aksjomat Martina|MA]]''',
* '''[[Arytmetyka liczb kardynalnych#GCH i SCH|SCH]]''',
* nie istnieją [[hipoteza Kurepy|drzewa Kurepy]],
* [[Suma zbiorów|suma]] <math>\aleph_1</math> [[Zbiór nigdziegęsty#Uogólnienia|(''s<sub>0</sub>'')-zbiorów]] [[Edward Marczewski|Marczewskiego]] jest <math>(s_0)</math>-zbiorem.

Aby przedstawić kolejną konsekwencję '''PFA''' musimy wprowadzić następującą definicję. Powiemy, że podzbiór <math>A\subseteq \mathbb R</math> [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] jest ''<math>\aleph_1</math>-gęsty w <math>\mathbb R</math>'' jeśli dla każdego niepustego [[Przedział (matematyka)|przedziału otwartego]] <math>P\subseteq\mathbb R</math> mamy, że <math>|A\cap P|=\aleph_1.</math>
* Zakładając '''PFA''', każde dwa <math>\aleph_1</math>-gęste podzbiory prostej są porządkowo [[izomorfizm|izomorficzne]]<ref>Baumgartner, James: ''Applications of the proper forcing axiom'', w: ''Handbook of set-theoretic topology'', s. 913–959. North-Holland, Amsterdam, 1984.</ref>.

== Zobacz też ==
* [[aksjomat Martina]]
* [[duże liczby kardynalne]]
* [[forsing]]
* [[hipoteza continuum]]
* [[pojęcie forsingu]]
* [[proper forsing]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Aksjomaty teorii mnogości}}

[[Kategoria:Forsing]]
[[Kategoria:Aksjomaty teorii mnogości]]