Tekst źródłowy strony P-grupa

{{DISPLAYTITLE:''p''-grupa}}

'''<math>p</math>-grupa''' (także ''grupa pierwsza'', ''grupa <math>p</math>-pierwsza'') – [[grupa (matematyka)|grupa]], której [[rząd (teoria grup)|rząd]] jest równy <math>p^n,</math> gdzie <math>p</math> jest [[Liczby pierwsze|liczbą pierwszą]] a <math>n</math> jest dodatnią liczbą całkowitą.

Konkretne wartości <math>p</math> podstawia się do nazwy, np. dla <math>p=11</math> mówi się o 11-grupie.

Podgrupę grupy <math>G</math> nazywa się '''<math>p</math>-podgrupą''', jeżeli jest ona <math>p</math>-grupą. Podgrupę <math>H</math> grupy skończonego rzędu <math>G</math> nazywa się '''<math>p</math>-podgrupą Sylowa''', jeśli jest największego możliwego rzędu. Z [[twierdzenie Sylowa|twierdzenia Sylowa]] wynika, że jeśli <math>|G| = p^k \cdot r,</math> gdzie <math>p \not| r,</math> to <math>|H| = p^k.</math>

== Własności ==
* Niech <math>G</math> będzie grupą skończoną oraz <math>|G|=pq,</math> gdzie <math>p, q</math> są pewnymi liczbami pierwszymi. Jeżeli <math>G</math> nie zawiera elementu rzędu <math>pq,</math> to prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń:
# <math>p</math>-podgrupy Sylowa lub <math>q</math>-podgrupy Sylowa grupy <math>G</math> są [[grupa przemienna|abelowe]].
# <math>G/O_{\{p, q\}'}(G) = M</math> oraz <math>\{p, q\} = \{5, 13\}</math> lub <math>\{p, q\} = \{7, 13\},</math> gdzie <math>M</math> jest [[grupa monstrum|grupą monstrum]].

=== Twierdzenie o centrum p-grupy ===
[[Centralizator i normalizator|Centrum]] <math>p</math>-grupy jest nietrywialne, to znaczy, że <math>Z(G)\neq \{e\},</math> gdzie <math>e</math> jest [[element neutralny|elementem neutralnym]] <math>p</math>-grupy (jak wiadomo, <math>e \in Z(G)</math>).

'''Dowód.''' Niech <math>G</math> będzie <math>p</math>-grupą, tj. <math>|G| = p^k</math> dla pewnej liczby <math>k</math> oraz niech funkcja
: <math>\phi\colon G\times G \to G</math>

dane wzorem
: <math>\phi(g,x)=gxg^{-1}.</math>

Odwzorowanie <math>\phi</math> jest [[Działanie grupy na zbiorze|działaniem grupy]] <math>G</math> na sobie (czyli na zbiorze <math>G</math>).

Ponieważ
: <math>x \in Z(G) \iff \forall_{g\in G} gxg^{-1}=x \iff \forall_{g\in G} \phi(g,x)= x,</math>

więc [[Działanie grupy na zbiorze#Stabilizator, orbita, punkt stały|orbita]] <math>G(x)</math> elementu <math>x</math> jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x</math> jest elementem centrum <math>Z(G).</math>

Jeśli [[Działanie grupy na zbiorze#Stabilizator, orbita, punkt stały|orbita]] <math>p</math>-grupy <math>G</math> ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez <math>p{:}</math>
: <math>\forall_{x\in G}|G(x)| > 1 \Rightarrow p | |G(x)|.</math>

Istotnie, [[Działanie grupy na zbiorze#Stabilizator, orbita, punkt stały|stabilizator]] <math>G_x</math> jest wtedy pogrupą <math>G</math> i jego rząd dzieli rząd G (wniosek z [[Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)|twierdzenia Lagrange’a]]), czyli <math>|G_x|=p^n,</math> gdzie <math>n < k</math> (bo gdyby <math>n = k,</math> to orbita byłaby jednoelementowa). Wówczas
: <math>|G(x)| = |G:G_x| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{p^k}{p^n} = p^{k-n} = p^t,</math> gdzie <math>t = k - n > 0,</math> czyli <math>p | |G(x)|.</math>

<math>G</math> jest sumą wszystkich [[Działanie grupy na zbiorze#Stabilizator, orbita, punkt stały|orbit]], więc:
: <math>G = \bigcup G(x) = \bigcup_{|G(x)| = 1}G(x) \cup \bigcup_{|G(x)| > 1}G(x).</math>

Stąd
: <math>p^k = |G| = \sum\limits_{|G(x)|=1}|G(x)| + \sum\limits_{|G(x)|>1}|G(x)| = |Z(G)| + p \cdot s</math>

dla pewnego s. Stąd <math>p | |Z(G)|,</math> ale <math>|Z(G)|>0,</math> bo <math>e\in Z(G),</math> więc <math>|Z(G)|\geqslant p.</math>

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Sylowa]]

== Bibliografia ==
* A. Bojanowska, P. Traczyk, ''Algebra I'', Skrypt WMIM, 2005.
* Cz. Bagiński, ''Wstęp do teorii grup'', SCRIPT, 2005, {{ISBN|83-904564-9-4}}.
* G. Malle, A. Moret’o, G. Navarro, ''Element orders and Sylow structure of finite groups'', Math. Z. 252, No.1, 223-230 (2006); {{ISSN|0025-5874}}, {{ISSN|1432-1823}}.

{{Teoria grup}}

[[Kategoria:Własności grup]]
[[Kategoria:Teoria grup skończonych]]