Tekst źródłowy strony Płaszczyzna fazowa

{{dopracować|brak definicji}}
'''Płaszczyzna fazowa''' – sposób wizualizacji charakterystyki rozwiązań pewnej klasy [[równanie różniczkowe|równań różniczkowych]] – jednorodnych równań różniczkowych pierwszego rzędu w dwóch wymiarach.

Równanie jednorodne w dwóch wymiarach można zapisać jako [[układ równań]]:
: <math>\left\{\begin{matrix}
x'(t)=f(x, y)\\
y'(t)=g(x, y)
\end{matrix} \right.</math>

z zadanym warunkiem początkowym:
: <math>\left\{\begin{matrix}
x(0)=x_0\\
y(0)=y_0
\end{matrix} \right.</math>

Rozwiązując ten układ otrzymuje się dwie funkcje:
: <math>\left\{\begin{matrix}
x(t)=p(t)\\
y(t)=q(t)
\end{matrix} \right.</math>

spełniające warunek początkowy. Można narysować wykresy funkcji <math>x(t)</math> i <math>y(t)</math> osobno, można jednak także wyrugować parametr <math>t</math> i uzyskać wykres funkcji (trajektorię układu) w układzie współrzędnych <math>(x, y),</math> czyli w płaszczyźnie fazowej.

Dla równania jednorodnego wektor stały <math>(x, y)=(0,0)</math> jest rozwiązaniem. Oznacza to, że początek układu współrzędnych w płaszczyźnie fazowej jest zawsze [[punkt równowagi|punktem równowagi]]. W każdym innym punkcie płaszczyzny fazowej można narysować wektor o współrzędnych <math>(f(x, y), g(x, y))</math> – jest on styczny do trajektorii układu przez ten punkt przechodzącej. Rysując takie wektory dla wielu punktów płaszczyzny, rozpoczynając z dowolnego jej punktu, można narysować przybliżony przebieg trajektorii układu i zorientować się jaki charakter mają rozwiązania: czy zbiegają się do punktu równowagi, rozchodzą się od niego czy też są zamkniętymi orbitami wokół punktu równowagi.

Na przykład rozwiązując układ
: <math>\left\{\begin{matrix}
x'(t) = y(t)\\
y'(t) = -x(t)
\end{matrix} \right.</math>

z zadanym warunkiem początkowym
: <math>\left\{\begin{matrix}
x(0)=0\\
y(0)=1
\end{matrix} \right.</math>

otrzymuje się następujące funkcje:
[[Plik:Phase plane diff IC.png|thumb|350px|Trajektoria fazowa dla różnych [[Zagadnienie Cauchy’ego|warunków początkowych]] (x, y)]]
: <math>\left\{\begin{matrix}
x(t)=\sin{t}\\
y(t)=\cos{t}
\end{matrix} \right.</math>

Podnosząc je do kwadratu i sumując otrzymuje się [[jedynka trygonometryczna|jedynkę trygonometryczną]] <math>x^2(t)+y^2(t)=\sin^2{t}+\cos^2{t}=1,</math> a zatem w płaszczyźnie fazowej otrzymuje się rozwiązanie – '''trajektorię fazową''', która będzie okręgiem o środku w punkcie <math>(0,0)</math> i promieniu <math>1,</math> przechodzącą przez punkt początkowy <math>(0,1).</math>

Metoda płaszczyzny fazowej wykorzystywana bywa do określenia charakteru rozwiązań równań nieliniowych z niewielkimi i gładkimi nieliniowościami. Równania takie pojawiają się często w badaniu różnych [[układ dynamiczny|układów dynamicznych]]. Można ją też stosować do badania rozwiązań równań jednowymiarowych drugiego rzędu. Równania takie sprowadza się, przez wprowadzenie zmiennej <math>y = dx/dt</math> do układu dwóch równań pierwszego rzędu, które można zanalizować powyższą metodą.

== Zobacz też ==
* [[metoda płaszczyzny fazowej]]
* [[przestrzeń fazowa]]

[[Kategoria:Teoria układów dynamicznych]]