Tekst źródłowy strony Płaski stan naprężenia

'''Płaski stan naprężenia''' – stan, w którym na wszystkich płaszczyznach [[przekroje poprzeczne|przekrojów]] o tej samej normalnej zewnętrznej <math>\vec n</math> [[naprężenie|naprężenia]] są równe zeru<ref>Gawęcki A., ''Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych'', Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985, s. 40.</ref>. Najprostszym przykładem takiego stanu jest cienka [[tarcza konstrukcyjna|tarcza]], o grubości h, obciążona na swym konturze siłami działającymi w jej płaszczyźnie środkowej <math>(\mathbf{x}_3 = 0).</math> Powierzchnie ograniczające tarczę (<math>\mathbf{x}_3 = \pm</math> h/2) są wolne od naprężeń.

W płaskim stanie naprężenia niezmienniki tego stanu<ref>Piechnik S., ''Wytrzymałość materiałów'', PWN, Warszawa 1980, s. 91.</ref> wyrażają się wzorami:
: <math>I_1=\sigma_{11} + \sigma_{22},</math>
: <math>I_2 = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22}\end{bmatrix},</math>
: <math>I_3 = 0,</math>

a równanie charakterystyczne, służące do obliczania wartości naprężeń głównych przybiera postać
: <math>\sigma^3 - (\sigma_{11} + \sigma_{22})\sigma^2 + (\sigma_{11}\sigma_{22} - \sigma^2_{12})\sigma = 0.</math>

Pierwiastkami tego równania są
: <math>\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_{11} + \sigma_{22}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_{11} - \sigma_{22}}{2}\right)^2 + \sigma^2_{12}}.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Wytrzymałość materiałów]]