Płaski stan naprężenia

Płaski stan naprężenia – stan, w którym na wszystkich płaszczyznach przekrojów o tej samej normalnej zewnętrznej $\overrightarrow{n}$ naprężenia są równe zeru. Najprostszym przykładem takiego stanu jest cienka tarcza, o grubości h, obciążona na swym konturze siłami działającymi w jej płaszczyźnie środkowej $({𝐱}_3=0).$ Powierzchnie ograniczające tarczę (${𝐱}_3=\pm$ h/2) są wolne od naprężeń.

W płaskim stanie naprężenia niezmienniki tego stanu wyrażają się wzorami:

$I_1={\sigma }_{11}+{\sigma }_{22},$

$I_2=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}\end{array}\right],$

$I_3=0,$

a równanie charakterystyczne, służące do obliczania wartości naprężeń głównych przybiera postać

${\sigma }^3-({\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}){\sigma }^2+({\sigma }_{11}{\sigma }_{22}-{\sigma }_{12}^2)\sigma =0.$

Pierwiastkami tego równania są

${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{11}-{\sigma }_{22}}{2}\right)}^2+{\sigma }_{12}^2}.$