Tekst źródłowy strony Półnorma

'''Półnorma''' (lub '''seminorma''') – [[funkcja podaddytywna|podaddytywny]] i dodatnio jednorodny [[funkcjonał]] określony na [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]], tj. funkcja <math>p\colon X \to [0, \infty),</math> gdzie ''X'' jest przestrzenią liniową, spełniająca warunki
# <math>p(x+y)\leqslant p(x)+p(y),</math>
# <math>p(\alpha x)=|\alpha |p(x)</math>

dla wszystkich elementów <math>x,y</math> przestrzeni <math>X</math> oraz wszystkich skalarów <math>\alpha.</math>

== Własności ==
Jeżeli <math>p</math> jest półnormą w przestrzeni <math>X,</math> to
* <math>|p(x)-p(y)|\leqslant p(x-y)</math> dla wszystkich <math>x,y\in X,</math>
* <math>p(x)\geqslant 0</math> dla wszystkich <math>x,y\in X,</math>
* <math>p(0)=0.</math>

Ponadto zbiór
: <math>\{x\in X\colon\, p(x)=0\}</math>
jest [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenią liniową]] przestrzeni <math>X,</math> a zbiór

: <math>\{x\in X\colon\, p(x)<1\}</math>
jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego oraz <math>p</math> jest jego funkcjonałem Minkowskiego.

== Przykłady ==
* Jeżeli <math>A\subseteq X</math> jest [[Przestrzeń liniowo-topologiczna|zbalansowanym]] [[funkcjonał Minkowskiego|zbiorem Minkowskiego]], to [[funkcjonał Minkowskiego]] <math>\mu_A</math> jest półnormą.
* Każda [[norma (matematyka)|norma]] jest półnormą.

== Wprowadzanie topologii przez rodzinę półnorm ==
Jeśli <math>X</math> jest przestrzenią liniową, to rodzinę <math>\mathcal{P}</math> półnorm w przestrzeni <math>X</math> nazywamy '''rozdzielającą''' wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego <math>x\in X\setminus\{0\}</math> istnieje półnorma <math>p\in\mathcal{P},</math> że <math>p(x)\neq 0.</math>

Przykładem rozdzielającej rodziny półnorm w przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest rodzina funkcjonałów Minkowskiego
: <math>\{\mu_A\colon\, U\in \mathcal{B}\},</math>

gdzie <math>\mathcal{B}</math> jest bazą lokalną przestrzeni <math>X,</math> złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

=== Twierdzenie o wprowadzaniu topologii ===
Niech <math>\mathcal{P}</math> będzie rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni liniowej <math>X</math> oraz
: <math>U(p,n)=\{x\in X\colon\, p(x)<\tfrac{1}{n}\}</math> dla <math>p\in P</math> i <math>n\in\mathbb{N},</math>
: <math>\mathcal{B}=\big\{\bigcap_{k=1}^m U(p_k, n_k)\colon\, p_1,\dots, p_m\in\mathcal{P},\, n_1,\dots, n_m\in\mathbb{N},\, m\in\mathbb{N}\big\},</math>
: <math>\mathcal{B}(x)=\{x+U\colon\, U\in\mathcal{B}\}</math> dla <math>x\in X,</math>
: <math>\mathcal{T}=\big\{\bigcup \mathcal{R}\colon\, \mathcal{R}\subseteq \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}(x)\big\}.</math>

Wówczas
* <math>(X, +, \cdot, \mathcal{T})</math> jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a <math>\mathcal{B}</math> jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.
* Każda półnorma z rodziny <math>\mathcal{P}</math> jest funkcją ciągłą.
* Zbiór <math>A\subseteq X</math> jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej <math>p\in \mathcal{P}</math> istnieje <math>M\in (0,\infty),</math> że dla każdego <math>x\in A</math>
: <math>p(x)\leqslant M.</math>
* Ciąg <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> punktów przestrzeni <math>X</math> jest zbieżny do punktu <math>x\in X</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej półnormy <math>p\in\mathcal{P}</math>
: <math>\lim_{n\to\infty}p(x_n-x)=0.</math>

=== Uwaga o przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie-wypukłych ===
Jeżeli <math>X</math> jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a <math>\mathcal{B}</math> jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych, to topologia otrzymana z powyższego twierdzenia dla rodziny półnorm
: <math>\{\mu_A\colon\, U\in \mathcal{B}\}</math>

pokrywa się z wyjściową topologią przestrzeni <math>X.</math>

=== Metryzowalność topologii wprowadzonej przez rodzinę półnorm ===
Jeżeli <math>\mathcal{P}</math> jest [[zbiór przeliczalny|przeliczalną]] i rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni <math>X,</math> a <math>(p_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest ciągiem wszystkich jej wyrazów oraz <math>(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest zbieżnym do zera ciągiem liczb dodatnich, to funkcja <math>\varrho\colon X\times X\to [0,\infty)</math> dana wzorem
: <math>\varrho(x,y)=\max\{\varepsilon_n \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}\colon\, n\in\mathbb{N}\}</math>

jest metryką w zbiorze <math>X</math> wyznaczającą topologię otrzymaną z twierdzenia o wprowadzaniu topologii dla rodziny <math>\mathcal{P}.</math> Ponadto <math>\varrho</math> jest [[przestrzeń metryczna#Niezmienniczość na przesunięcia|metryką niezmienniczą na przesunięcia]], a każda kula o środku w zerze jest [[Przestrzeń liniowo-topologiczna|zbiorem zbalansowanym]] i wypukłym.

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Rudin |imię=Walter |autor link=Walter Rudin |tytuł=Analiza Funkcjonalna |miejsce=Warszawa |wydawca=PWN |rok=2001}}

== Linki zewnętrzne ==
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Semi-norm Semi-norm], Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].

[[Kategoria:Analiza funkcjonalna]]